（人教A版）必修一高一数学上学期同步考点讲练2.2 基本不等式（解析版）

1/12.2基本不等式（精讲）考点一直接型【例1-1】已知，则下列说法正确的是（

）A．有最大值0 B．有最小值为0C．有最大值为－4 D．有最小值为－4【答案】B【解析】由题意，，由均值不等式，当且仅当，即时等号成立故，有最小值0故选：B【例1-2】已知，且，则的最大值为（

）A．2 B．5 C． D．【答案】D【解析】因为，所以，当且仅当时，等号成立.所以的最大值为.故选：D【一隅三反】1．已知a>0，则当取得最小值时，a的值为（

）A． B． C． D．3【答案】C【解析】∵a>0，∴，当且仅当，即时，等号成立，故选：C2．（2022·江苏连云港·高一期末）函数的最大值是（

）A．7 B． C．9 D．【答案】B【解析】由题意可得函数的定义域为，则，所以，当且仅当，即时，取等号，所以函数的最大值是，故选：B3．当时，的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，又，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为故选：B考点二常数代换型【例2-1】已知x，y＞0，当x+y＝2时，求的最小值（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题，，当且仅当，即，即时取等号故选：C【例2-2】若，则的最小值为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】因为，所以，∴，当且仅当时，即时取等号，所以的最小值为1.故选：D.【例2-3】若，，则的最小值为__________.【答案】【解析】由得，则有，有，同理可得，由两边除以xy得：，于是得：，当且仅当时取“=”，由解得：，所以当时，取得最小值.故答案为：【一隅三反】1．已知，，且，则的最小值是（

）A． B．2 C．9 D．4【答案】A【解析】由题意可得．因为，，所以，则，当且仅当，时，等号成立．故选：A2．已知正数，满足，则的最小值为（

）A．8 B．12 C． D．【答案】B【解析】由已知，，均为正数，，故，即，所以，当且仅当时等号成立.故选：B.3．设，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，（当且仅当，即时取等号），的最小值为.故选：C.4．（多选）已知，且，则的取值可以是（

）A．8 B．9 C．11 D．12【答案】CD【解析】因为，所以，则.因为，所以，所以（当且仅当时，等号成立），则.因为，所以，即.故选：CD考点三配凑型【例3-1】已知，则的最小值是(

)A．5 B．4 C．8 D．6【答案】A【解析】∵，∴，∴，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值是5．故选：A．【例3-2】函数有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2【答案】D【解析】（方法1），，则，当且仅当，即时，等号成立.（方法2）令，，，.将其代入，原函数可化为，当且仅当，即时等号成立，此时.故选：D【例3-3】已知，且，则的最小值是（

）A．6 B．8 C．14 D．16【答案】A【解析】因为，所以.因为，所以，所以，即，当且仅当时，等号成立，故的最小值是6.故选：A【例3-4】设，为正数，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴，即，∴，当且仅当，且时，即，时等号成立.故选：.【一隅三反】1．已知x>3，则对于，下列说法正确的是（

）A．y有最大值7 B．y有最小值7 C．y有最小值4 D．y有最大值4【答案】B【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以有最小值；故选：B2．若，则的最小值为（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，故，的最小值为6．故选：C．3．已知正实数满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，当且仅当时，取等号，的最小值是.故选：D考点四消元型【例4】若正实数x，y满足，则的最小值为（

）A．3 B． C． D．【答案】C【解析】因为正实数x，y满足，所以.所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是，故选：C．【一隅三反】1．已知正数，满足，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】根据题意可得，由，所以，由，可得，即，，当且仅当，时取等号，所以的最小值为.故选：B.2．（多选）若，，，则的可能取值有（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】原式（当且仅当，时取等号）.故选：CD.3．若，且，则的最小值为_________．【答案】3【解析】因为，所以，，当且仅当时，等号成立．故答案为：3．考点五求参数【例5】当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，不等式恒成立，对均成立．由于，当且仅当时取等号，故的最小值等于3，，则实数a的取值范围是．故选：D．【一隅三反】1．已知，且，若有解，则实数m的取值范围为（

）A．（-∞，1）∪（9，+∞）B．（9，1） C．[9，1] D．（1，9）【答案】A【解析】因为，且，所以，当且仅当，即时取等号，此时的最小值为9，因为有解，所以，即，解得或，故选：A2．已知实数x、y满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，当且仅当时“”成立，又不等式恒成立，，的取值范围是．故选：B．3．已知，若不等式恒成立，则的最大值为（

）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】D【解析】因为，所以，所以恒成立，只需因为，所以，当且仅当时，即时取等号.所以.即的最大值为16.故选：D考点六综合运用【例6-1】（多选）已知是正实数，若，则（

）A．的最大值是B．的最小值是C．的最小值是D．的最小值是【答案】AB【解析】正实数，满足，由基本不等式得，，当且仅当且，即，时取等号，解得，，正确；，当且仅当时取等号此时取得最小值2，正确；∵，∴，当时，的最小值为，错误；当且仅当时取等号，此时，不符合题意，故等号取不到，即的最小值大于，故D错误.故选：AB【例6-2】如图，在半径为4(单位：cm)的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为________(单位：cm2)．【答案】16【解析】如图所示，连接OC，设OB＝x(0<x<4)，则BC＝eq\r(OC2－OB2)＝eq\r(16－x2)，AB＝2OB＝2x，所以由基本不等式可得，矩形ABCD的面积为S＝AB·BC＝2x·eq\r(16－x2)＝2eq\r(16－x2x2)≤(16－x2)＋x2＝16，当且仅当16－x2＝x2，即x＝2eq\r(2)时等号成立，所以矩形ABCD面积的最大值为16.【一隅三反】1．（多选）已知，是正实数，则下列选项正确的是（

）A．若，则有最小值2B．若，则有最大值5C．若，则有最大值D．有最小值【答案】AC【解析】对于A，，，，，当且仅当，即时取等号，则有最小值2，故A正确；对于B，，，，，当且仅当，即时取等号，则有最大值4，故B错误；对于C，，，，，当且仅当，即时取等号，则则有最大值，故C正确；对于D，当时，，故D错误；故选：AC2.（多选）若正实数a，b满足，则（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】依题意，正实数满足，所以，当且仅当时等号成立，所以A选项错误.，当且仅当时等号成立，所以B选项正确.，当且仅当时等号成立，所以C选项错误.，当且仅当时等号成立，所以D选项正确.故选：BD3.某农业科研单位打算开发一个生态渔业养殖项目，准备购置一块1800平方米的矩形地块(如图所示)，中间挖三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，池塘所占面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2.(1)试用x，y表示S；(2)若要使S最大，则x，y的值分别为多少？【答案】（1）y=1832－6x－eq\f(16,3)y(6<x<300,6<y<300)（2）x=40y=45【解析】(1)由题意得，xy＝1800，b＝2a，则y＝a＋b＋6＝3a＋6，S＝a(x－4)＋b(x－6)＝a(x－4)＋2a(x－6)＝(3x－16)a＝(3x－16)×eq\f(y－6,3)＝xy－6x－eq\f(16,3)y＋32＝1832－6x－eq\f(16,3)y，其中6<x<300,6<y<300.(2)由(1)可知，6<x<300,6<y<300，xy＝1800,6x＋eq\f(16,3)y≥2eq\r(6x·\f(16,3)y)＝2eq\r(6×16×600)＝480，当且仅当6x＝eq\f(16,3)y时等号成立，∴S＝1832－6x－eq\f(16,3)y≤1832－480＝1352，此时9x＝8y，xy＝1800，解得x＝40，y＝45，即x为40，y为45.2.2基本不等式（精练）1直接型1．当时，的最小值为（

）A．3 B． C． D．【答案】D【解析】由（当且仅当时等号成立．）可得当时，的最小值为故选：D2．若a，b都为正实数且，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，都为正实数，，所以，当且仅当，即时，取最大值.故选：D3．设正实数满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由基本不等式可得，即，解得，当且仅当，即，时，取等号，故选：C.4．若为正实数，且，则的最小值为（

）A． B． C．3 D．【答案】D【解析】因为为正实数，，所以，当且仅当，即，时取等号.所以的最小值为.故选：D5．已知，则的最大值为（

）A． B． C．0 D．2【答案】C【解析】时，（当且仅当时等号成立）则，即的最大值为0.故选：C6．已知函数，则（

）A．当且仅当时，有最小值为B．当且仅当时，有最小值为C．当且仅当时，有最大值为D．当且仅当时，有最大值为【答案】A【解析】因为，所以，当且仅当即时等号成立.故选：A.7．已知实数x，y满足，那么的最大值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】由，可得，当且仅当或时等号成立.故选：C.8．已知a>0，那么的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为a>0，所以，当且仅当，即时，等号成立，故选：D9．任意，下列式子中最小值为2的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】A.当时，，排除；B.，当且仅当时等号成立，符合；C.，当且仅当时等号成立，排除；D.，当且仅当时等号成立，故等号不能成立，则，排除.故选：B.2常数代换型1．已知，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，所以（当且仅当，即时取等号），即的最小值为4.故选：D.2．设，且，则的最小值是（

）A． B．8 C． D．16【答案】B【解析】由题意，故则当且仅当，即时等号成立故选：B3．已知，，且，则的最小值为（

）A．24 B．25 C．26 D．27【答案】B【解析】因为，，且，所以，当且仅当，即，，等号成立．所以的最小值为25，故选：B4．已知a，b＞0，且a＋2b＝1，则的最小值为（

）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】∵a＋2b＝1，∴＝＝9，当且仅当时即时等号成立,故选：C.5．已知，则的最小值是（

）A．2 B． C． D．3【答案】A【解析】由，得，即，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是2.故选：A.6．（多选）已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则对于，下列说法准确的是（

）A．取得最小值时a＝ B．最小值是5C．取得最小值时b＝ D．最小值是【答案】AD【解析】，当且仅当，即时取等号.故AD正确，BC错误.故选：AD.7．已知实数x，y>0，且，则的最小值是________．【答案】【解析】∵x，y>0，且，∴，∴，当且仅当，即时取等号，∴的最小值是，故答案为：8．当时，函数的最小值为___________．【答案】【解析】因为，则，则，当且仅当时，等号成立，所以，当时，函数的最小值为.故答案为：.3配凑型1．若，则函数的最小值为（

）A．4 B．6 C． D．【答案】B【解析】因为.所以.当且仅当“”即时取“=”.故选：B.2．已知正实数x，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，又因为，所以，所以，当且仅当时，即时等号成立，所以，即y的最大值是.故选：D.3．已知实数，则的最小值是（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【解析】因为，所以，所以，，当且仅当，即时取等号，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是2，故选：C4．已知正数，则的最大值为_________．【答案】【解析】（当且仅当，时取等号），的最大值为.故答案为：.5．已知，则的最小值为___

.【答案】1【解析】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以，，令，因为在上递增，所以，故答案为：16．已知，且，则的最小值为____________.【答案】【解析】由题意得：，当且仅当时取得等号，故答案为：4消元型1．已知，满足，则的最小值是（）A． B． C．2 D．2【答案】D【解析】由，得，而，则有，因此，，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为2.故选：D2．已知，且，则最大值为______．【答案】【解析】由且，可得，代入，又，当且仅当，即，又，可得，时，不等式取等，即的最大值为，故答案为：．3．已知，若，则的最大值为_______．【答案】【解析】由条件可知，则，，，，设，，当，即时，等号成立，所以的最大值是.故答案为：4.已知实数x，y满足x2+xy=1，则y2﹣2xy的最小值为___________.【答案】【解析】由x2+xy=1，得，所以，当且仅当时取等号.故答案为：.5．若正实数，满足，则的最小值为______.【答案】【解析】由可得，当且仅当时，等号成立.则的最小值为故答案为：6．已知，，且，则的最小值为【答案】【解析】因为，所以，因为，，所以，得，所以，记，所以，所以，且，所以，当且仅当即等号成立，此时，.7.若正数满足，则的最小值是。【答案】4【解析】因为正数满足，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立5求参数1．已知，，且，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意得，所以（当且仅当，即，时，等号成立），所以.由推得出，由推不出，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A2．若对任意正数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意得，当时，恒成立，又因为，当且仅当时取等号，所以，的最大值为，所以，解得的取值范围为．故选：B3．若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可得，对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，，设，则，再设，则，当且仅当时取得“=”.所以，即实数a的最小值为.故选：D.4．已知，若不等式恒成立，则的最大值为________．【答案】【解析】由得．又，当且仅当，即当时等号成立，∴，∴的最大值为．故答案为：5．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是______．【答案】或【解析】不等式有解，，，，且，，当且仅当，即，时取“”，，故，即，解得或，故答案为：或．6．已知x、y为两个正实数，且不等式恒成立，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】因为x、y为两个正实数，由可得，因为，当且仅当时，等号成立．所以，因此，实数a的取值范围是,故答案为：7．若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】根据题意先求得最小值，由，得，所以若要不等式恒成立，只要，即，解得，所以.故答案为：8．已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.【答案】36【解析】f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在(0，]上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝时取得最小值，由题意知＝3，∴a＝36.故答案为：6综合运用1．若，，，则下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于选项A：∵，当且仅当时取等号，∴A错误；对于选项B：，，∴B错误；对于选项C：，因为∴C错误；对于选项D：∵，当且仅当时取等号，∴，D正确；故选：D2．下列函数，最小值为2的函数是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】对A，可取负数，故A错误；对B，，故B错误；对C，，故C错误；对D，，等号成立当且仅当，故D正确；故选：D3.（多选）已知，则（

）A．的最大值为B．的最小值为4C．的最小值为D．的最小值为16【答案】BCD【解析】由得：，因为，所以，所以，由基本不等式可得：当且仅当时，等号成立，此时，解得：或，因为，所以舍去，故的最大值为2，A错误；由得：，因为，所以，所以，由基本不等式可得：，