江苏省常州市武进区2025-2026学年九年级上学期期中数学模拟试卷（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页江苏省常州市武进区2025-2026学年九年级上学期期中数学模拟试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知的半径是5，点到圆心的距离为4，则点与的位置关系是（

）A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．无法确定2．下列方程中，无实数根的是（

）A． B．C． D．3．用配方法解方程，若配方后结果为，则n的值为（

）A． B．10 C． D．94．在中，，若点O为的外心，则等于（

）A．40° B．50° C．100° D．110°5．下列说法中，正确的是（）A．三点确定一个圆 B．三角形有且只有一个外接圆C．四边形都有一个外接圆 D．圆有且只有一个内接三角形6．如图，已知切于点A，的半径为3，，则切线长为（

）A． B．8 C．4 D．27．若关于x的一元二次方程的一个实数根为2024，则方程一定有实数根（

）A．2024 B． C． D．8．如图，正方形和的边长分别是a、b（），将正方形绕点C旋转，在旋转过程中，的面积S的取值范围是（

）A． B．C． D．二、填空题9．一元二次方程的根是．10．如图，在圆内接四边形中，若，则．11．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为12．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD=40°，则∠ABD的大小为．13．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是，其中水面的宽为，则排水管内水的最大深度为cm．14．已知圆弧所在圆的半径为，所对的圆心角为，则这条弧的长为．15．如图，用一个半径为10cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了cm．

16．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则截面的半径长是．17．如图，平面直角坐标系中，点A，点B在x轴上，点C，点D在y轴上，且，，E、F分别是和的中点，当最大时，的长为．18．如图，中，，，，点D是边上的动点，连接，以为直径的圆与交于点E，连接，则的最小值是．三、解答题19．解方程(1)；(2)；(3)；(4)．20．关于x的方程有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)当k取最大整数值时，求方程的两个根．21．如图，、是的半径，C是上一点，若，，求的大小．22．餐桌桌面是长，宽为的长方形妈妈准备设计一块桌布，面积是桌面的倍，且使四周垂下的边等宽，妈妈想求出四周垂下的边宽度，你能帮妈妈解决这个问题吗？23．如图，在每个小正方形的边长为的网格中，格点A，B，C均在圆上，且点D，E也是格点．(1)该圆的直径等于________cm；(2)请用无刻度的直尺按要求作图；①作弦，使得，再作劣弧的中点G，请判断四边形的形状；②过点B作该圆的切线，请直接写出切线与弦的位置关系和点C到切线的距离．24．如图，在中，，点D是边的中点，点O在边上，经过点C且与边相切于点E，若．(1)求证：是的切线；(2)若，求的半径及的长．25．如图，扇形中，，点是上一点，；(1)求扇形的面积；(2)过点作交弧于点，求的长，26．我们以P、A、B三点为例，给“倍点”下个定义．如果，那么就称点A是点B关于点P的“倍点”．(1)点M坐标为，在点，，中，________是点M关于点的“倍点”；（填字母）(2)点P坐标为，点M在x轴上，在直线上有且只有一个点是点M关于点P的“倍点”，求点M的坐标；(3)点P在直线上，若平面内存在点是点B关于点P的“倍点”，则的取值范围为________．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《江苏省常州市武进区2025-2026学年九年级上学期期中数学模拟试卷》参考答案题号12345678答案BDBCBCDC1．B【分析】根据点与圆的位置关系判断即可．【详解】解：∵点到圆心的距离，半径，∴点与的位置关系是点在内．故选：B．【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．2．D【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根”是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式，可分别找出四个选项中方程的根的判别式△的值，取的选项即可得出结论．【详解】解：A、，方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；B、，方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；C、，方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；D、，方程没有实数根，故本选项符合题意．故选：D．3．B【分析】利用配方法将方程配成，然后求出n的值即可．【详解】∵，∴，

∴，即，

．故选：B．【点睛】本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．4．C【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．已知点O是的外心，那么即为同弧所对的圆周角和圆心角，根据圆周角定理即可得到的度数．【详解】解：由于点O是的外心，所以在的外接圆中，则同对着弧；由圆周角定理得：．故选：C．5．B【分析】本题考查了确定圆的条件以及和圆有关的相关知识，不在同一直线上的三点确定一个圆．根据确定圆的条件逐一判断后即可得到答案．【详解】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误；B、三角形有且只有一个外切圆，原命题正确；C、并不是所有的四边形都有一个外接圆，原命题错误；D、圆有无数个内接三角形．原命题错误；故选：B．6．C【分析】本题主要考查了切线的性质、勾股定理等知识点，掌握切线的性质成为解题的关键．如图：连接，由切线的性质可得，然后运用勾股定理求解即可．【详解】解：如图：连接，∵切于点A，∴，∵的半径为3，，∴，∴．故选C．7．D【分析】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是理解一元二次方程根的定义，将代入方程中，再两边同时除以，可得结论．【详解】解：关于x的一元二次方程的一个实数根为2024，，，，是方程的一个实数根，故选：D．8．C【分析】由题意可求出，可判断点A的运动轨迹为以C为圆心，为半径的圆，作线段的垂直平分线，交点A的运动轨迹于点和，从而得出以为底时，高的取值范围，进而即可求解．【详解】解：∵正方形的边长是b，∴．∵正方形的边长是a，∴点A的运动轨迹为以C为圆心，为半径的圆，作线段的垂直平分线，交点A的运动轨迹于点和，如图，∵，∴点A在运动过程中，距离的最小距离为，最长距离为，∴，，∴S的取值范围是．故选：C．【点睛】本题考查正方形的性质，垂线段最短，勾股定理，旋转的性质，利用数形结合的思想是解题关键．9．/【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答．【详解】解：∵，∴，则，解得，故答案为：．10．【分析】根据圆内接四边形的性质解答即可．【详解】解：在圆内接四边形中，，∴，故答案为：【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．11．九/9【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角，掌握圆周角定理是解决问题的关键，理解正多边形的边数与相应的圆心角之间的关系是解决问题的前提．根据圆周角定理可得正多边形的边所对的圆心角，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案．【详解】解：如图，设正多边形的外接圆为，连接，，，，而，这个正多边形为正九边形，故答案为：九．12．50°【分析】根据AB为⊙O的直径，得到∠ADB=90°，再利用∠BAD=∠BCD=40°，即可求出∠ABD=90°-∠BAD=50°.【详解】连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠BAD=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°-∠BAD=50°,故答案为：50°.【点睛】此题考查圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等.13．【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理成为解题的关键．如图：过O作交于点C，垂径定理可得，进而勾股定理求得，进而求解即可．【详解】解：如图：过O作交于点C，可得出，由直径是，则半径，在中，根据勾股定理得．所以排水管内水的深度为：．故答案为：2．14．【分析】本题主要考查弧长的计算，直接利用公式求解即可，解题的关键是熟练掌握弧长公式的应用．【详解】解：由题意得：，故答案为：．15．【分析】利用弧长公式计算即可．【详解】解：重物上升的高度为：，故答案为：．【点睛】本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．16．5【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，矩形的性质和判定，解题的关键是掌握圆中辅助线得作法；过O作，延长交于N，连接，由垂径定理可得，证明四边形是矩形，设，则，，再根据勾股定理列方程求解即可．【详解】过O作于M，延长交于N，连接，，，，，∵四边形是矩形，，∴四边形是矩形，，设，则，，在中，，，解得：，故答案为：5．17．【分析】连接，过O作于H，根据直角三角形斜边中线的性质求出，，在中，，当最大时，最大，而在中，，则的最大值为，然后根据勾股定理求解即可．【详解】解：连接，过O作于H，∵，，E、F分别是和的中点，∴，，在中，，∴当最大时，最大，在中，，∴当H、E重合时，取最大值，最大值为，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，平面直角坐标系，正弦，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．18．【分析】本题主要考查了勾股定理、直角三角形斜边中线等于斜边的一半、圆周角定理等内容，取中点F，连接、、，根据直径可得，利用直角三角形斜边中线求出，则，利用勾股求出，即可得解．【详解】解：取中点F，连接、、，∵，，，∴，∴，在中，，∵点E在以为直径的圆上，∴，∴，∴，∵，∴最小值为．故答案为：．19．(1)(2)无实数根(3)(4)【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键；（1）根据因式分解法得出，进而求解即可；（2）先求出，再判断根的情况即可；（3）根据因式分解法得出，进而求解即可；（4）先求出，再根据求根公式求解即可．【详解】（1）解：，或，；（2）解：，原方程无实数根；（3）解：，，，或，；（4）解：，，．20．(1)(2)，【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，则Δ=>0，求解即可；（2）根据（1）确定的k的取值范围，得出k取最大整数值，代入方程，再用公式法求解方程即可．【详解】（1）解：由方程可知：Δ=∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ=即：，∴∴当时，方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵，∴k的最大整数值为0，把，代入方程可得方程，解这个方程得，．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系：Δ>0，方程有两不相等实数根，Δ=0，方程有两相等实数根，Δ<0，方程没有等实数根，有用公式法求解一元二次方程是解题的关键．21．【分析】本题考查的知识点是圆周角定理，解题的关键是熟练的掌握圆周角定理，根据圆周角定理可得，根据三角形内角和定理可得，进而可求．【详解】解：，，，，，．22．四周垂下的边宽度为【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设四周垂下的边宽度为,根据桌布面积是桌面的倍，由此列方程解答即可.【详解】解：设四周垂下的边宽度为，根据题意列方程得，，整理得，，解得，不合题意，舍去，答：四周垂下的边宽度为．23．(1)(2)①作图见解析，四边形的形状是矩形；②作图见解析，，．【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线、勾股定理，垂径定理、切线的判定和性质等知识点，理解题意、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．（1）直接利用勾股定理求解即可；（2）①取格点T、R，连接交于点F，作直线交于点G，连接即可；②取格点H，作直线即可，设交于点T，求出可得结论．【详解】（1）解：圆的直径为，；故答案为：5；（2）解：①图形如图所示：取格点T、R，连接交于点F，作直线交于点G，四边形是矩形．理由如下：由作图可知是直径，∴，∵，∴四边形是矩形；②如图，直线即为所求．由作图可知．设交于点T，圆心为O．∴∵，∴，∴，∴点C到切线BH的距离为．24．(1)见解析(2)3，【分析】本题主要考查了圆的切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线是解题的关键．（1）如图，作垂足为H，连接，先证明是的平分线，，然后由切线的判定定理进行证明即可；（2）根据勾股定理和直角三角形的性质可得、，设的半径为r，则，，然后证明，根据相似三角形的性质列比例式可求得r，然后运用勾股定理求得，最后根据勾股定理求解即可．【详解】（1）证明：如图，作垂足为H，连接，∵，点D是边的中点，∴，∴，∵，又∵，∴，∴，即，∴是的平分线，∵O在上，与相切于点E，∴，且是的半径，∵是的平分线，，∴是的半径，∴是的切线．（2）解：∵，，∴，∵，点D是边的中点，∴，设的半径为r，则，