河南省南阳市宛城区等2地2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页河南省南阳市宛城区等2地2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的公共点有（

）A．0个 B．1个C．0或1个 D．无数个3．向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．若直线与直线垂直，则（

）A．或 B． C．或 D．5．已知角的终边在直线上，则的值是（

）A． B． C． D．6．在直角梯形中，已知，，，点是边靠近点的三等分点，点是边上一个动点．则的取值范围是（

）

A． B． C． D．7．设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则

②若，，则③若，，则

④若，，则其中正确命题的序号是（

）A．①② B．②③ C．③④ D．①④8．若满足，的有两个，则边长的取值范围为A． B． C． D．二、多选题9．如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图象作出以下判断，正确的是（

）A．图（1）的平均数中位数众数B．图（2）的众数<平均数<中位数C．图（2）的众数<中位数<平均数D．图（3）的中位数平均数众数10．小荣爱好篮球，他记录了在7月份的10次训练成绩和8月份的20次训练成绩.通过计算，他发现7月份的训练成绩的平均值为94，方差为2.3；8月份的训练成绩的平均值为97，方差为1.1.下列说法正确的是（

）A．小荣这两个月的30次训练成绩的平均值为96B．小荣这两个月的30次训练成绩的平均值为95.5C．小荣这两个月的30次训练成绩的方差为2.5D．小荣这两个月的30次训练成绩的方差为3.511．将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到函数的图象，则（

）A．的图象的对称轴方程为B．的图象的对称中心坐标为C．的单调递增区间为D．的单调递减区间为三、填空题12．一个圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为．13．已知函数，则14．已知都是锐角，且，则.四、解答题15．已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有．(1)求的值；(2)求证：在R上为增函数；16．已知a是正实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a.如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．17．如图所示，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，底面，为的中点.（Ⅰ）求证：平面平面（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值.

18．已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）若，其中，求的值.19．已知四棱锥的底面为边长为1的正方形，平面.(1)求证：平面；(2)若，平面与平面的交线为，求直线与直线所成角的余弦值；(3)若为中点，且直线与平面所成角的正弦值为，求．《河南省南阳市宛城区等2地2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题》参考答案题号12345678910答案DCABCDBDACAD题号11答案AC1．D【分析】先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出.【详解】因为，所以，故选：D.2．C【分析】根据函数的概念即可判断.【详解】解析：当x＝1在函数f(x)的定义域内时，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1有一个公共点(1，f(1))；当x＝1不在定义域内时，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1没有公共点．故选：C.3．A【分析】结合向量平行的坐标表示，根据“”与“”的相互推出情况判断出属于何种条件即可.【详解】先讨论充分性，当时，，，此时，，，充分性成立；再讨论必要性，当时，，即，，解得或，必要性不成立.综上，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.4．B【分析】由两直线垂直的等价条件列方程即可求解.【详解】因为直线与直线垂直，所以，解得：，故选：B.5．C【分析】先由三角函数的定义求出，把利用诱导公式化简后直接得到答案.【详解】因为角的终边在直线上，所以，所以.故选：C6．D【分析】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系，设，则，且，，从而得到，结合二次函数的性质即可求解.【详解】如图，以点为原点，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系，依题意，有，，，，设，则，且，，，因，当时，，当时，，故．

故选：D．7．B【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系，结合线面垂直的性质，逐项分析判断即可．【详解】对于①，且成立，可能平行，异面或者相交，①错误；对于②，由且，得，又，则，②正确；对于③，由，得存在过直线与平面相交的平面，令交线为，则，而，于是，，③正确；对于④，若，，可能平行，也可能相交，④错误.故选：B8．D【详解】因为，所以,因此，选D.点睛：判断三角形解的个数的两种方法①代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断．②几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数．9．AC【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断.【详解】图（1）的分布直方图是对称的，平均数中位数众数，A正确；图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，B错误，C正确；图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，D错误.故选：AC10．AD【分析】根据分层抽样的平均数公式及方差公式计算判断.【详解】由题意可得小荣这两个月的30次训练成绩的平均值为，则他这两个月的30次训练成绩的方差为.故选：AD11．AC【解析】首先根据图象平移求函数的解析式，再根据整体代入的方法判断函数的对称性和单调区间.【详解】的图象上所有点向左平移个单位长度，得到，再向上平移4个单位长度后得到，A.令，解得，函数的对称轴是，故A正确；B.令，解得：，所以函数的对称中心，故B不正确；C.令，解得：，所以函数的单调递增区间是，故C正确；D.令，解得：，所以函数单调递减区间是，，故D不正确.故选：AC【点睛】方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及的性质，属于中档题型，的横坐标伸长（或缩短）到原来的倍，得到函数的解析式是，若向右（或左）平移（）个单位，得到函数的解析式是或.12．【分析】根据题意，求得圆锥的底面圆的半径，结合圆锥的侧面积公式即可求解．【详解】设圆锥的底面半径为r，由题意可得：，解得，所以圆锥的表面积为．故答案为：.13．【分析】根据分段函数的定义域求解.【详解】因为,所以，故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数求值，属于基础题..14．【分析】利用两角和的正切公式先求出，再求出，从而可求出的值.【详解】因为，所以，因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以，所以，故答案为：15．(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用赋值法，求；（2）设，是上任意两个实数，且，令，，通过函数的单调性的定义直接证明在R上为增函数.【详解】（1）由，故此令，则，则.（2）设，是R上任意两个实数，且，令，，则，所以，由得，所以，故，即，故此函数为R上增函数.16．【详解】①函数在区间[─1，1]上只有一个零点，此时或解得1≤a≤5或a=（舍）②函数在区间[─1，1]上有两个零点，此时解得a5或a<（舍）综上所述，如果函数在区间[─1，1]上有零点，那么实数a的取值范围为[1,+∞)17．（Ⅰ）证明祥见解析；（Ⅱ）．【详解】试题分析：根据题意可以建立空间直角坐标系来解答.以点为坐标原点，求出向量的坐标，根据数量积得出，故平面，于是平面平面.求出平面的法向量，计算与的夹角，则直线与平面所成角的正弦值等于.试题解析：（Ⅰ）以点为坐标原点，以直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，.∴，，，∴，，∴，，又，平面，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面（Ⅱ），，设是平面的一个法向量，则，∴，令，则，，即，∴，，，∴.∴直线与平面所成角的正弦值为.

点睛：立体几何是高中数学的重要内容之一,也历届高考必考的题型之一.本题考查是空间的直线与平面的垂直性质及线面角的求解.解答时第一问充分借助已知条件建立直角坐标系，借助于数量积证明线线垂直，进而得到线面垂直，故面面垂直；.关于第二问中的直线与平面所成角的问题,解答时巧妙运用建构空间直角坐标系,将直线和平面所成角的正弦转化为直线与法向量的余弦即可.18．（1）单调递增区间为；（2）.【解析】（1）首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）依题意可得，再利用同角三角函数的基本关系求出，则利用两角差的余弦公式计算可得；【详解】解：（1）因为所以.令，得函数的单调递增区间为.（2）若，则，因为，所以，所以..【点睛】(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．19．(1)证明见解析(2)(3)或【分析】（1）根据线面垂直的判定定理进行证明.（2）先把直线与直线所成的角转化为直线与直线所成的角，即为或其补角，再利用直角三角形的边角关系求解.（3）将四棱柱补成正四棱柱，利用线面角的概念明确直线与平面所成的角，再利用直角三角形的边角关系求的长.【详解】（1）在四棱锥中，连接，，由平面，平面，得，由正方形，得，而，，平面，所以平面.（2）由正方形，得，而平面，平面，则平面，又平面，平面平面，因此.直线与直