黑龙江省哈尔滨市第九中学校2025-2026学年高二上学期9月月考数学试卷（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页黑龙江省哈尔滨市第九中学校2025-2026学年高二上学期9月月考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．若直线的倾斜角的大小为，则实数（

）A． B． C． D．3．若直线与平行，则（

）A． B． C． D．24．对某种电子元件使用寿命跟踪调查，所得样本的频率分布直方图如图．由图可知，这一批电子元件中寿命的分位数为（

）A． B． C． D．5．如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点，将此三棱柱沿、、截出一个棱锥，则棱锥的体积与剩下几何体体积的比值是（

）A． B． C． D．6．已知，若直线与线段没有公共点，则实数的取值范围是（

）.A． B．C． D．7．在平行四边形中，，，，点在上，，则A． B．C．1 D．28．数学家欧拉年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（

）A． B． C． D．二、多选题9．设，，是空间的一个基底，则下列说法不正确的是（

）A．则，，两两共面，但，，不可能共面B．若，，则C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使D．，，不一定能构成空间的一个基底10．（多选）已知两平行直线，分别过点，，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则，之间的距离的取值可为（

）A．2 B．3 C．4 D．611．已知点，，且点在直线：上，则（

）A．存在点，使得 B．若为等腰三角形，则点的个数是3个C．的最小值为 D．最大值为3三、填空题12．甲、乙两人投球命中率分别为和，则甲、乙两人各投一次，恰好命中一次的概率为．13．直线经过点，与轴、轴分别交于、两点，若，则直线的方程为.14．已知点，，点为直线上动点，当最大时，点的坐标为．四、解答题15．已知，，且，求：(1)；(2)．16．已知△的内角，，的对边分别为，，，若，__________，求△的周长和面积.在①，，②，，③，这三个条件中，任选一个补充在上面问题中的横线处，并加以解答.17．（1）已知直线，．若，求的值；（2）已知直线，点，求点关于直线的对称点的坐标；（3）已知直线，是否存在实数，使得直线与轴和轴的正半轴都相交？若存在，求出的范围，并求出与两坐标轴围成的三角形面积的最小值；若不存在，请说明理由．18．如图，在平面四边形中，为边长为2的正三角形，，点为的中点，沿将折起得到四棱锥，且.

(1)证明：；(2)点为线段上的动点（不含端点），当平面与平面的夹角为时，求的值.19．在平面直角坐标系中，是坐标原点，定义点与点的“曼哈顿距离”为．若点，点，(1)求；(2)已知直线，求点到直线上动点的“曼哈顿距离”最小值；(3)求平面内与两定点和的“曼哈顿距离”之和等于4的点的轨迹围成的面积．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《黑龙江省哈尔滨市第九中学校2025-2026学年高二上学期9月月考数学试卷》参考答案题号12345678910答案CDAACABDBDABC题号11答案BCD1．C【分析】先求出共轭复数再判断结果.【详解】由得则对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C．【点睛】本题考点为共轭复数，为基础题目．2．D【分析】先由直线倾斜角求出直线斜率，再由直线方程列出关于m的方程即可求解.【详解】若直线的倾斜角的大小为，则直线的斜率为，则，所以直线即直线，所以，解得.故选：D3．A【分析】根据直线平行列式求解，并代入检验即可.【详解】由题意可得：，解得，若，则直线、，两直线平行，综上所述：.故选：A.4．A【分析】根据频率分布直方图计算频率为的位置即可.【详解】，这一批电子元件中寿命的分位数为.故选：A.5．C【分析】首先利用相似比求出，再根据棱锥的高与棱柱的高相等，可求出，从而可得棱锥的体积与剩下几何体体积的比值.【详解】、分别为、的中点，//，，，，，，剩下几何体体积为，棱锥的体积与剩下几何体体积的比值是.故选：C【点睛】本题主要考查了棱柱、棱锥的体积公式，需掌握柱体、锥体的体积公式，求三棱锥的体积可采用换顶点法求解，属于基础题.6．A【分析】根据条件得直线过点，再数形结合，即可求解.【详解】直线过点，画出图象如下图所示，，由于直线与线段没有公共点，当时，直线与线段有公共点，不符合题意，当时，直线的斜率为，根据图象可知的取值范围是，所以的取值范围是.故选：A.7．B【分析】选取为基底，把其它向量用基底表示后计算数量积即可．【详解】，，，，，.故选：B．【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是选取为基底，用基底表示其它向量．8．D【分析】根据已知条件结合重心公式计算出重心坐标，再求两边上的高线方程并联立求出垂心坐标，最后利用重心和垂心坐标确定欧拉线方程.【详解】已知的顶点分别为，，，因为重心为三角形三个顶点对应坐标的平均数，即重心坐标为，即，因为，则边上的高线斜率为，因边上的高线过点，故其方程为，即①.同理，则边上的高线斜率，因边上的高线过点，故其方程为，即②.由①，②联立，解得，，即的垂心坐标为.由题意，欧拉线过重心和垂心，则的欧拉线方程为即.故选：D.9．BD【分析】利用空间向量基底的定义可判断选项A和B，根据空间向量基本定理可判断选项C和D．【详解】对于A，显然，，两两共面，但，，不可能共面，否则不能构成空间的一个基底，故A正确；对于B，由空间向量基底的定义可知，当，时，所以与所成角不一定为，故B错误；对于C，根据空间向量基本定理得到总存在有序实数组，使，故C正确；对于D，假设向量，，共面，则，化简得，因为，，不共面，所以，显然该方程组无解，所以，，不共面，一定能构成空间的一个基底，故D错误．故选：BD．10．ABC【分析】本题中两条平行动直线上有两个定点，在平行直线绕两个定点分别旋转时，求两平行直线间距离的可能取值，根据几何关系求解即可.【详解】当直线，与直线PQ垂直时，它们之间的距离d达到最大，即，∴．故答案为：ABC.11．BCD【分析】对于A，分类讨论，利用斜率公式以及两直线垂直的条件即可判断；对于B，分类讨论，讨论等腰三角形的顶点，结合点到直线的距离即可判断；对于C，求出点关于直线l的对称点，结合几何性质，数形结合，即可求解；对于D，结合几何性质，数形结合，即可判断；【详解】对于A，设，当PM斜率不存在时，，此时，则，即与不垂直；当PN斜率不存在时，，此时，则，即与不垂直；当且时，，，若，则，即，由于，方程无解，故与不垂直；综合可知不存在点，使得，A错误；对于B，若等腰的顶点为P，此时P在的垂直平分线上，则P点横坐标为，此时；当M为等腰的顶点时，由于点M到直线：的距离为，故直线l上必存在两点满足，设这两点为，由于l上纵坐标为1的点为，该点和M的距离为2，故和M，N不共线，适合题意，

由于N点到直线：的距离为，故以N点为顶点的等腰不存在，综合以上可知为等腰三角形，则点的个数是3个，B正确；对于C，设点关于直线l的对称点为，则，解得，即，故,当且仅当三点共线（P在之间）时取得等号，

即的最小值为，C正确；对于D，如图，，当且仅当P为的延长线与l的交点时等号成立，

即最大值为3，D正确，故选：BCD【点睛】方法点睛：（1）注意分类讨论方法的应用，比如选项A，B的判断；（2）注意数形结合思想的运用，比如选项C，D的求解.12．/0.5【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式求解即可．【详解】由题意，甲、乙两人各投一次，恰好命中一次的概率为.故答案为：.13．【分析】先由向量的坐标运算求出、两点的坐标，再利用直线的斜截式方程求解即可.【详解】依题意，设，，则，，则，由得，解得，则，，则直线的斜率为，方程为即.故答案为：.14．【分析】当或时，结合图形求出，当且时，利用正切的两角差公式求出的最大值，结合正切函数的单调性即可得解.【详解】以为直径的圆方程为，因为原点到直线的距离，所以圆与直线相离，所以，设，因为点为直线上，所以，1）当时，，此时；2）当时，，此时；3）当且时，因为，所以，记直线的斜率分别为，则，所以，当时，；当时，若，则，，当且仅当时等号成立，故若，则，，当且仅当时等号成立.综上，的最大值为2，因为单调递增，所以，此时取得最大值，点坐标为.故答案为：15．(1)12(2)【分析】（1）先根据向量模长公式求出，再结合向量运算法求解即可；（2）根据求解的值，再开方即可．【详解】（1），解得，．（2），所以．16．答案不唯一，具体见解析【解析】选择①：根据条件求出，，则可求出，再根据正弦定理可求出，进而可得周长面积；选择②：，，．由正弦定理可得：．由余弦定理可得：，联立解得：，进而可得周长面积；选择③：由余弦定理可得，则周长可求，再根据可得，通过面积公式可得面积.【详解】解：选①因为，，且，，所以，，在△中，，即，所以，由正弦定理得，，因为，所以，所以△的周长，△的面积.选②因为，所以由正弦定理得，因为，所以.又因为.由余弦定理得所以.解得.所以.所以△的周长.△的面积.选③因为，，所以由余弦定理得，.即.解得或（舍去）.所以△的周长，因为，所以，所以△的面积，故答案为：选①△的周长，面积为8；选②△的周长，面积为；选③△的周长9，面积为.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.17．（1）或；（2）；（3）存在，，三角形面积的最小值为8【分析】（1）根据两直线垂直列出方程即可求解；（2）设，结合对称性质列方程组求解即可；（3）先求出直线恒过定点，直线与轴和轴的交点分别为，结合题意即可求得的范围，再表示出，进而结合基本不等式即可求解.【详解】（1）由，得，解得或；（2）设，则，解得，即.（3）存在，由，得．由，得时，则直线恒过定点，如图，直线与轴和轴的交点分别为，由题意，，所以，此时直线与轴和轴的正半轴都相交.而，当且仅当，即时，的面积取得最小值8．18．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据三角形的边角关系可得线线垂直，进而根据线线垂直即可得线面垂直，即可求证，（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解.【详解】（1）为边长为2的正三角形，点为中点，连接交于点，

，，，又平面，平面，平面，在底面中，，所以,进而，平面，平面，平面，（2）由（1）可知，两两垂直，所以以为原点，分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

，易得为平面的一个法向量，设，，设平面的一个法向量为，则，取，则，平面与平面的夹角为，，解得，当平面与平面的夹角为时，.19．(1)2(2)2(3)6【分析】（1）由“曼哈顿距离”的定义直接求解即可；（2）根据“曼哈顿距离”表示出，然后分段去掉绝对值符号，利用一次函