《高等代数专题研究》形成性考核册作业答案

《高等代数专题研究》形成性考核册作业答案（精选版）第一章代数运算与数学归纳法作业答案一、计算题设集合A=\{1,2,3\}，定义A上的代数运算\circ如下表，求2\circ(3\circ1)与(2\circ3)\circ1的值，判断运算是否满足结合律。\circ123112322313312解：计算3\circ1=3，故2\circ(3\circ1)=2\circ3=1；计算2\circ3=1，故(2\circ3)\circ1=1\circ1=1；经检验所有元素组合均满足(a\circb)\circc=a\circ(b\circc)，运算满足结合律。二、证明题用第二数学归纳法证明：对任意正整数n\geq2，n可表示为素数的乘积（算术基本定理的存在性）。证明：基础步：当n=2时，2是素数，结论成立；归纳步：假设对所有满足2\leqk<n的正整数k，结论均成立。若n是素数，则结论显然成立；若n是合数，则存在a,b\in\mathbb{N}^*，使得n=a\cdotb，且2\leqa,b<n。由归纳假设，a,b均可表示为素数乘积，故n=a\cdotb也可表示为素数乘积。由第二数学归纳法，对任意，结论成立。第二章一元多项式理论作业答案一、计算题设f(x)=x^4-2x^3-4x^2+4x-3，g(x)=x^2-2x-3，求(f(x),g(x))及多项式u(x),v(x)使得u(x)f(x)+v(x)g(x)=(f(x),g(x))。解：用带余除法：f(x)=(x^2+0x-1)g(x)+(-2x-6)（余式r_1(x)=-2x-6）g(x)=(-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2})r_1(x)+0（余式为0）最大公因式(f(x),g(x))=x+3（取首项系数为1）；回代得：x+3=-\frac{1}{2}f(x)+(\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2})g(x)故u(x)=-\frac{1}{2}，v(x)=\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}。判断多项式f(x)=x^3-3x+1在\mathbb{Q}上是否可约，说明理由。解：由艾森斯坦判别法，取素数p=3：3不整除首项系数1；3整除常数项1？不，3\nmid1，换用p=2：2\nmid1，2\mid0（x^2系数）、2\mid-3？不，2\nmid-3。验证次数\leq1的有理根：可能根为\pm1，f(1)=-1\neq0，f(-1)=3\neq0；因f(x)是3次多项式，无一次因式则不可约，故**f(x)在\mathbb{Q}上不可约**。第三章线性空间作业答案一、计算题在\mathbb{R}^3中，求向量\alpha=(1,2,3)在基\alpha_1=(1,1,1)，\alpha_2=(1,1,0)，\alpha_3=(1,0,0)下的坐标。解：设\alpha=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3，即：\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\\x_1+x_2=2\\x_1=3\end{cases}解得x_1=3，x_2=-1，x_3=-1，故坐标为。二、证明题证明：在n维线性空间V中，任意n个线性无关的向量都构成V的一组基。证明：设\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n\inV线性无关，任取\beta\inV；由V是n维空间，其维数为n，故向量组\alpha_1,\dots,\alpha_n,\beta线性相关；存在不全为零的数k_1,\dots,k_n,k，使得k_1\alpha_1+\dots+k_n\alpha_n+k\beta=0，且k\neq0（否则\alpha_1,\dots,\alpha_n线性相关，矛盾）；解得\beta=-\frac{k_1}{k}\alpha_1-\dots-\frac{k_n}{k}\alpha_n，即\beta可由\alpha_1,\dots,\alpha_n线性表出；故\alpha_1,\dots,\alpha_n是V的生成集且线性无关，构成的基。第四章线性变换作业答案一、计算题设\sigma是\mathbb{R}^3上的线性变换，\sigma(x_1,x_2,x_3)=(2x_1-x_2,x_2+x_3,x_3)，求\sigma在标准基\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3下的矩阵，并判断\sigma是否可对角化。解：求矩阵A：\sigma(\varepsilon_1)=(2,0,0)=2\varepsilon_1，\sigma(\varepsilon_2)=(-1,1,0)=-\varepsilon_1+\varepsilon_2，\sigma(\varepsilon_3)=(0,1,1)=\varepsilon_2+\varepsilon_3故A=\begin{pmatrix}2&-1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}；求特征值：|\lambdaE-A|=(\lambda-2)(\lambda-1)^2=0，特征值\lambda_1=2，\lambda_2=\lambda_3=1；特征子空间维数：\lambda=2：(2E-A)x=0的基础解系含1个向量；\lambda=1：(E-A)x=0的基础解系含1个向量（秩为2）；总维数1+1=2<3，故**\sigma不可对角化**。第五章欧几里得空间作业答案一、计算题在\mathbb{R}^2中，定义内积(α,β)=x_1y_1+2x_2y_2（α=(x_1,x_2)，β=(y_1,y_2)），求向量α=(1,-1)的长度及α与β=(2,1)的夹角\theta。解：长度||α||=\sqrt{(α,α)}=\sqrt{1^2+2\times(-1)^2}=\sqrt{3}；内积(α,β)=1\times2+2\times(-1)\times1=0；因(α,β)=0，故\theta=\frac{\pi}{2}（90°）。第六章双线性函数与二次型作业答案一、计算题用正交变换化二次型f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+4x_2x_3为标准形，并写出正交变换矩阵。解：二次型矩阵A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&2\\0&2&2\end{pmatrix}；特征值：|\lambdaE-A|=\lambda(\lambda-1)(\lambda-4)=0，得\lambda_1=0，\lambda_2=1，\lambda_3=4；特征向量（单位化后）：\lambda=0：\eta_1=(0,\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})；\lambda=1