《信号与系统教程》（第5版） 课件 第7章 离散系统的z域分析

第7章离散系统的z域分析宇宙原统一，规律相伴生；引进新z域，移植而旁通。这就是思想的力量，数学的力量，创新的力量。

单边z变换及其重要性质；系统差分方程的z变换解；系统函数H(z)及z域模拟；数字滤波器的概念。学习导言学习重点7.1z变换7.2z反变换7.3z变换的主要性质7.4离散系统的z域分析7.5系统的零、极点与稳定性7.6数字信号处理7.7离散时间信号的频谱（DTFT）本章目录7.1z变换1、z变换的定义

z变换是分析线性离散系统的重要数学工具。利用z变换，可以把差分方程变成代数方程。从拉氏变换到z变换的演变过程如下冲激信号串离散信号连续信号的离散化取样信号✖双边z变换狄莫弗(DeMoivre)首次提出拉氏变换7.1z变换考虑到工程实用，仅研究单边z变换，即式中：称为序列的象函数；称为的原函数。根据复变函数的理论，可得z变换对：（z反变换）收敛域：对于给定的任意有界序列f(n)，使得F(z)收敛的所有z值的集合。收敛的充要条件：2、典型序列的z变换①单位脉冲序列收敛域：整个z平面②单位阶跃序列收敛域：③实指数序列收敛域：单边序列的z变换其收敛域总在半径为某一R的圆外区域。7.1z变换收敛域示意图单边序列只要给定F(z)及其收敛域，则F(z)和f(n)就是一一对应的。单边z变换的收敛域总是在|z|>R的区域，故今后不再注明。补充说明：（1）左边序列的收敛域：|z|<|a|（圆内区域）；（2）双边序列的收敛域：|a1|<|z|<|a2|（圆环区域内）；（3）有限长序列的收敛域：0<|z|<∞的整个z平面。注意7.1z变换序号收敛域12345678910常见序列的z变换7.1z变换思考题（1）如何理解z变换的定义表达式？单边z变换的收敛域有何特点？（2）设有序列其z变换的收敛域在何处？（3）设有左边序列你能求出其双边z变换吗？结论是：当|z|<|a|时，你如何理解这一结果？7.1z变换1、幂级数展开法（长除法）7.2z反变换级数的系数就是f(n)。例1:已知象函数，求原序列f(n)

。解：做长除法如下特别提醒：对于因果序列的z变换，在做长除时，应将F(z)的分子、分母按z的降幂排列。从而有可得7.2z反变换对于2、部分分式展开法式中：的根称为的极点。（1）F(z)仅含有一阶单极点若为F(z)的n个单极点，则两边同乘以z，得从而有其中：因此式中：例2:设有象函数，求原序列f(n)。解：因为故有可得系数从而反变换得7.2z反变换

问题：能否像拉氏变换那样直接将F(z)展开成部分分式呢？回答是肯定的。其中系数从而查7.1常见序列的z变换第10号公式，可得对于例1，有注意：虽然形式上与不同，但二序列的值是完全一致的。7.2z反变换（2）F(z)仅含重极点设F(z)在z1处有m阶极点，例如查7.1中常见序列的z变换第10号公式，有则其中系数容易得到F(z)的反变换f(n)。从而7.2z反变换例3:求

的反变换f(n)。解：因为其中系数从而故有由于7.2z反变换思考题（1）z反变换有哪些方法？与拉氏变换有何异同？（2）若对于的极点，一定有，为什么？（3）若F(z)中既有单极点又有重极点，展开公式应如何表示？待定系数如何确定？7.2z反变换7.3z变换的主要性质1、线性性质若则例1:求序列的z变换，式中：Ω为数字角频率。解：根据欧拉公式查7.1中常见序列的z变换第7号公式有根据线性性质，可得7.3z变换的主要性质离散信号的移位2、移位特性（延迟特性）双边序列右移2位单边序列右移2位7.3z变换的主要性质对于双边序列f(n)，其右移m位后的单边z变换为当m＝1

时当m＝2

时对于单边序列，根据移位特性可得由移位特性，显然有左边序列的单边z变换为例2:求已知，求的z变换。解：根据移位性质可得7.3z变换的主要性质3、尺度变换证明由z变换的定义则例3:已知，求的z变换。解：根据尺度变换性质可得设可得7.3z变换的主要性质4、卷和定理若则表明：时间域两个序列的卷和对应为两个序列z变换的乘积。因为离散系统的零状态响应等于输入序列f(n)与单位响应h(n)的卷和，即根据卷和定理有式中：是系统函数，它是单位响应h(n)的z变换。利用卷和定理容易求得序列部分和的z变换，即7.3z变换的主要性质例4:设离散系统的单位响应，输入序列，试在z域求系统的零状态响应。解：因为由卷和定理，零状态响应的z变换为展开成部分分式，得取反变换得7.3z变换的主要性质z变换的常用性质序号名称时域z域（单边）1线性2移位特性3卷和定理4尺度变换5序列求和6F(z)微分7初值定理8终值定理7.3z变换的主要性质思考题（1）序列和的单边z变换在什么情况下相同？什么情况下不同？（2）试写出的单边z变换表达式。1、差分方程的z变换解7.4离散系统的z域分析差分方程z域代数方程解z域代数方程时域响应z变换z反变换z域分析的思路例1:离散系统的差分方程为，若系统的起始状态，输入，试求响应y(n)。解：因系统既有起始状态又有外加输入，故响应中包含零输入分量和零状态分量。考虑到对差分方程两边取z变换，得整理得7.4离散系统的z域分析7.4离散系统的z域分析分别展开成部分分式，有代入起始状态后，进一步整理可得分别取反变换，得系统的全响应为可以直接求反变换得到7.4离散系统的z域分析例2:设一数字处理系统的差分方程为试系统的阶跃响应和单位响应。对差分方程两边取z变换，得从而阶跃响应的象函数为解：系统在零状态条件下，由单位阶跃序列产生的响应为阶跃响应。7.4离散系统的z域分析部分分式展开反变换得阶跃响应根据单位响应和阶跃响应的关系，得：故系统的单位响应为7.4离散系统的z域分析N阶LTI离散系统的差分方程为输入为因果信号，在零状态下，两边取z变换，得2、系统函数H(z)系统函数为由此可见，系统函数仅取决于系统的结构和参数，而与系统的激励和响应无关。一旦差分方程给定，系统函数可立即确定；反之亦然。式中：7.4离散系统的z域分析由于系统函数H(z)和单位响应h(n)构成z变换对，即由卷和定理，若已知H(z)和F(z)，则系统响应时域分析与z域分析的对应关系频域关系时域关系桥梁和纽带7.4离散系统的z域分析例3:图示一阶离散系统，试用z域方法求单位响应和阶跃响应，并画出它们的波形。解：差分方程为两边取z变换，得系统函数为故有因此，单位响应输入

时，则取反变换得阶跃响应7.4离散系统的z域分析单位响应和阶跃响应的波形如下：7.4离散系统的z域分析解：（1）在零状态下，对方程两边取z变换，得系统函数为

例4:设有二阶数据控制系统的差分方程为（1）求系统函数；（2）求单位响应；（3）若激励为，求其零状态响应。（2）部分分式展开，得因此，单位响应7.4离散系统的z域分析部分分式展开，得取反变换得零状态响应由卷积定理得（3）当激励为时3、离散系统的z域模拟图7.4离散系统的z域分析模拟图反映系统本身特性，与起始状态无关。在z域用表示延迟单元的功能。给定微分方程或者系统函数，就可以用加法器、常数乘法器和延迟单元构成系统的z域模拟图。z域时域直接形式17.4离散系统的z域分析设有系统函数系统的z域方程为即z域模拟图为1个加法器3个常数乘法器3个单位延迟器直接形式27.4离散系统的z域分析设系统函数的一般形式为以二阶系统为例意味着令中间变量进而则有7.4离散系统的z域分析2个加法器5个常数乘法器2个单位延迟器z域模拟图为优点：共用延迟器，节约成本用信号流图表示离散系统的z域模拟7.4离散系统的z域分析基本流图单元常数乘法器加法器单位延迟器补充说明：两节点传递系数为1时也可以只画箭头不标数值。7.4离散系统的z域分析两种形式的流图表示形式2形式1等价7.4离散系统的z域分析根据上述z域模拟的思想，工程上可用数字硬件装配成一台专门的设备，这称为数字信号处理机。简单的数字信号处理机的硬件结构图7.4离散系统的z域分析思考题：（1）用z变换法求解差分方程的步骤是什么？（2）离散系统z域模拟的规律是什么？根据z域模拟图如何得到系统的差分方程？7.5系统的零、极点与稳定性1、H(z)的零、极点分布与h(n)的关系系统函数为常系数式中：反变换得为简单起见，假设系统函数不含重极点，即为极点，是的根为零点，是的根式中：因此，单位响应的变化模式完全取决于极点，而零点只影响其幅值和相位。7.5系统的零、极点与稳定性典型的极点位置与单位响应之间的对应关系实极点在单位圆内衰减指数共轭复极点在单位圆内实极点在单位圆上共轭复极点在单位圆外衰减振荡振荡增长阶跃序列例1:设有系统函数

试问单位响应具有怎么样的变化模式？解：系统函数的极点为部分分式展开得反变换得系数单位响应的末项对应一对共轭复极点，为增幅的余弦振荡。7.5系统的零、极点与稳定性（1）z变换与拉氏变换的关系2、离散系统的稳定性冲激响应不变法拉氏反变换取样极点z变换7.5系统的零、极点与稳定性s平面和z平面关系特别提醒：两个平面之间的映射关系不是单值的！7.5系统的零、极点与稳定性（2）离散系统的稳定性稳定性：对于离散系统，若对任意有界的输入序列，其输出序列的值总是有界的，则该系统是稳定的。对于因果LTI系统，当且仅当单位响应h(n)绝对可和时，即系统是稳定。根据单位响应的变化模式，可以直观地说明稳定性。（1）稳定：系统的单位响应在足够长的时间后完全消失。（2）临界稳定：在足够长时间之后单位响应趋于一个非零常数或者有界的等幅振荡。（3）不稳定：在足够长时间之后单位响应无限制地增长。7.5系统的零、极点与稳定性结论：（1）若系统函数的所有极点全部位于单位圆内，则系统稳定；（2）若系统函数的一阶极点（实极点或者共轭复极点）位于单位圆上，单位圆外无极点，则系统为临界稳定；（3）若系统函数的极点至少有一个位于单位圆外，或在单位圆上有重极点，则系统不稳定。7.5系统的零、极点与稳定性例2:设有差分方程表示的系统试求系统函数H(z)，并讨论系统的稳定性。解：在零状态下，对方程两边取z变换，得系统函数极点为：均位于单位圆内。因此系统是稳定的。7.5系统的零、极点与稳定性解：该闭环系统的系统函数为例3:图示离散反馈控制系统，问K为何值时系统稳定？为保证极点在单位圆内，应有即7.5系统的零、极点与稳定性思考题（1）s平面和z平面有何映射关系？（2）离散系统稳定的充要条件是什么？若输入满足f(n)<M<∞，如何说明稳定系统的输出也有界？（3）工程实际中，如何用实验信号测定系统是否稳定？（4）若系统函数的全部极点在单位圆内，且都是高阶的，问系统是否稳定，为什么？7.5系统的零、极点与稳定性1、离散系统的频率特性7.6数字信号处理（1）频率特性设输入为复指数序列式中：T为取样周期系统的零状态响应式中：为系统的频率特性。表明：若离散系统的输入是角频率为ω、取样周期为T的复指数序列（或正弦序列），系统的稳态响应也是同频率的复指数序列（或正弦序列）。7.6数字信号处理对于离散系统，若系统函数H(z)的收敛域包含单位圆，即|z|≥1，或者说只要系统是稳定的，则将z换为ejωT就可以得到离散系统的频率特性，即（2）系统函数和频率特性之间的关系注意：频率特性是以2π为周期的连续函数。式中：称为幅频特性；称为相频特性。由于，故频率特性也可以表示为频率特性又可以写为解：（1）系统函数为（2）频率特性幅频特性相频特性例1:在数字信号处理中，为了有效地传输低频信号，一个常用的简单低通系统是（1）问为何值时系统稳定？（2）若取，试求系统的频率特性，并画出其幅频特性和相频特性。当时，有要使系统稳定，则要求极点在单位圆内，即7.6数字信号处理零极点分布图单位响应幅频特性相频特性以2π为周期的连续谱FLASH

:

频率响应7.6数字信号处理数字滤波器框图去噪DACADC白十字图所有行都经过因果的低通滤波器后的白十字图所有列都经过因果的低通滤波器后的白十字图7.6数字信号处理例2:设有数字滤波器，其差分方程为：若滤波器的输入为5Hz的正弦信号并有50Hz的工频干扰，信号的取样频率为250Hz。试分析该滤波器能否滤除工频干扰。解：系统函数为它仅在z＝0处有极点，故系统稳定，从而频率特性滑动平均7.6数字信号处理因为故对于5Hz的正弦信号而言对于50Hz的工频干扰而言则则结果表明，该滤波器能够滤除50Hz的工频干扰。7.6数字信号处理2、数字信号处理的概念数字信号处理（DSP）的内容非常丰富，其中最基础的是数字滤波器和快速傅里叶变换（FFT）。3dB带宽的250Hz的模拟低通滤波器截止频率为250Hz的数字低通滤波器数字滤波器：将输入序列按既定要求转换为输出序列。7.6数字信号处理多路数字信号处理系统数字滤波器分为两类：（1）按单位响应样式分为IIR型和FIR型；（2）按实现形式分为递归和非递归实现。数字滤波器的设计问题就是求出一组系数ak和br，使得滤波器具有所需特性。数字系统函数7.6数字信号处理则系统的单位响应h(n)为无限长，称之为IIR滤波器。IIR(infiniteimpulseresponse)滤波器若系统函数满足因此，IIR滤波器的输出不仅取决于输入值，而且还取决于输出值，故又称为递归型滤波器。该系统的差分方程为FIR滤波器先设计模拟原型滤波器，然后借助冲激响应不变法或者双线性变换法转换成数字滤波器。7.6数字信号处理FIR(finiteimpulseresponse)滤波器则系统的单位响应h(n)为有限长，称之为FIR滤波器。若系统函数满足因此，FIR滤波器的输出只取决于输入值，与其他移位的输出无关，称之为非递归型滤波器。它仅在z＝0处有极点，故FIR滤波器总是稳定的。FIR滤波器设计方法有：窗函数法、频率采样法、切比雪夫