江苏省江阴长泾中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

2025年秋学期期中检测高二数学试卷考生注意：客观题请用2B铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色水笔书写在答题卷上一､单项选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分）1.直线倾斜角为（）A. B. C. D.2.已知圆关于直线对称，则实数（）A. B.1 C. D.23.已知双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线互相垂直，实轴长为4，双曲线的标准方程为（）A.B.C.D.4.若两直线平行，则实数取值集合是（）A. B. C. D.5.在正方体中，分别是棱的中点，则点到直线的距离为（）A. B.1 C. D.6.已知直线与，过点的直线被截得的线段恰好被点平分，则这三条直线围成的三角形面积为（）A. B. C.8 D.7.已知椭圆：的左、右焦点分别为、，是上一点，且轴，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.8.已知实数满足，，则的最大值为（）A. B.4 C. D.8二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分）A.已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底B.在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点是C.若，则是锐角D若对空间中任意一点，有，则M，A，B，C四点共面A.点的轨迹的方程是B.直线与点的轨迹相离过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是D.已知点，点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为C，D，则四边形面积的最小值是11.已知椭圆的两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是圆上任意一点．若的最小值为，则下列说法中正确的是（）A.的最小值为5 B.的最大值为5C.存在点使得 D.的最小值为三､填空题（本题包含3小题，每小题5分，共15分）12.已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为_________．13.已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是__________．14.历史上最早系统研究圆锥曲线的是古希腊学者梅纳库莫斯，大约100年后，阿波罗尼斯更详尽地研究了圆锥曲线，他的研究涉及圆锥曲线的光学性质，其中一条是：如图（1），从右焦点发出的光线交双曲线右支于点，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过左焦点．已知图（2）中，双曲线的中心在坐标原点，左、右焦点分别为，直线平分，过点作的垂线，垂足为，且.则当反射光线经过点时，______.四､解答题（本题包含5小题，共77分）15.已知的三个顶点是.（1）求BC边上的高所在直线的方程;（2）若直线过点，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程.16.如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱的长为2，且.求：（1）的长；（2）直线与所成角的余弦值.17.已知动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数.（1）求动点M的轨迹C；（2）过点的直线与曲线C交于两点，且，求直线的方程.18.已知圆，直线：.（1）求证：直线与圆O有两个不同的交点；（2）记直线与圆交于两点，①当时，求直线的方程；②记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.19.在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的大小；（3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.2025年秋学期期中检测高二数学试卷（参考答案）一、单选题BABDCACD二、多选题ADACABD三、填空题33,1+211、【分析】设，首先由圆得到圆心的坐标与半径，即可判断点在椭圆外部，再由，求出，得到，得到椭圆的方程；根据椭圆的定义及椭圆的有界性可判断A；由极化恒等式得可判断B；由知以为圆心为半径的圆在椭圆内，可判断C；将转化成求其最小值可判断D.【详解】椭圆，则，所以，圆的圆心为，半径，因为，所以，所以点在椭圆外部.，当且仅当、、三点共线（在、之间）时等号成立，设，则所以，解得，所以，∴椭圆对于A：∵，设则，，所以，当1或5时，取得最小值5，所以A正确；对于B：又，∴，当且仅当在左、右顶点时取最大值5，故B正确；对于C：∵，∴以为圆心为半径的圆在椭圆内，所以不存在点使得，故C不正确；对于D：因为，当且仅当、、、四点共线（且、在、之间）时取等号，故D正确.故选：ABD.四､解答题（本题包含5小题，共77分）15.已知的三个顶点是.（1）求BC边上的高所在直线的方程;（2）若直线过点，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据垂直关系得出高所在直线斜率，点斜式得出直线方程；（2）由题意转化为所求直线与AB平行或过AB的中点，分别求解即可.【小问1详解】因为，所以BC边上的高所在直线的斜率为1---------2所以BC边上高所在直线为，即.----------------------5【小问2详解】因为点A，B到直线的距离相等，所以直线与AB平行或过AB的中点，----------------------------------7①当直线与AB平行，所以，所以，即.----------------------------------------------10②当直线过AB的中点，所以，所以，即.综上，直线的方程为或.-------------------------------------1316.如图，在平行六面体中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱的长为2，且.求：（1）的长；（2）直线与所成角的余弦值.、B/、B/【分析】：基底法（1）令AB=a，AD所以|AC'|=a=b=（2）BD'=−a+|BD'|=12=23BD1⋅ACcosB17.动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数.求动点M的轨迹C；过点的直线与曲线C交于两点，且，求直线的方程.【解析】：（1）由题知MFⅆM→l=45,故：化简得：x2（2）⇒y1令直线方程为x=my−3时，x=my−3由韦达定理得到：9m2+25≠0,Δ>0y1+又因为y1=−2y2=3\*GB3由=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③地关于m的方程为：542m29m2+252=解之得：m2=综上：直线的方程为x±51418.已知圆，直线：.（1）求证：直线与圆O有两个不同的交点；（2）记直线与圆交于两点，①当时，求直线的方程；②记圆与轴的正半轴交点为，直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值.【解析】（1）原方程可化为x+1m+y=0，令解之得：定点P−1,0----------------------------------------------------------------------------------2d=|OP|=1<2,所以定点P在圆内，所以，直线与圆相交--------------------------------4（2）=1\*GB3①由弦长公式得：AB=2γ−2d0→AB2,即|m|m2带入直线方程得：x±3=2\*GB3②由题意知，------------------------------------------------------------------------------------10当直线斜率不存在时，，，不妨取，则，此时-----------------12直线斜率存在时，设方程为，代入圆的方程可得，设，则，---------------------------------14又，所以综上，为定值.-----------------------------------------------------------------------------1719.在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的大小；（3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，或【解析】【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系；（2）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.用向量法求与平面所成角的大小；（3）假设存在点，使平面与平面成角余弦值为，设，分别求解两平面的法向量，用表示余弦值解方程可得.【小问1详解】因为在中，，，且，所以，，则折叠后，，又平面，所以平面，平面，所以，又已知，且都在面内，所以平面；-----4【小问2详解】由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.因为，故，由几何关系可知，，，，故，，，，，，，，，---------------------6设平面的法向量为，则，即，-不妨令，则，，.---------------------------------------------8设与平面所成角的大小为，则有，设为与平面所成角，故，即与平面所成角的大小为；----------------------------------------10【小问3详解】假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为.在空间直角坐标系中，，，，设，则，，设平面的法向量为，则有，即，不妨令，则，，所以，--------------1