第1章第07讲 完全平方公式（2个知识点 8类热点题型讲练 习题巩固）（原卷版）

第07讲完全平方公式课程标准学习目标①完全平方公式的推导②完全平方公式的运算③完全平方公式的应用1.理解并掌握完全平方公式的推导和应用；2.理解完全平方公式的结构特征，并能运用公式进行简单的运算；3.会用几何图形说明完全平方公式的意义，体会数形结合的思想方法.知识点01完全平方公式完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍.即完全平方和(a+b)²=a²+2ab+b²；完全平方差(a-b)²=a²-2ab+b²（1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍（2）公式的变化：①a²+b²=(a+b)²-2ab；②a²+b²=(a-b)²+2ab；③(a+b)²=(a-b)²+4ab；④(a-b)²=(a+b)²-4ab；⑤(a+b)²-(a-b)²=4ab。【即学即练1】（24-25八年级上·吉林松原·期末）化简：．【即学即练2】（24-25八年级上·河北廊坊·期末）先化简，再求值：，其中．【即学即练3】（24-25八年级上·河南信阳·期末）已知，代数式．(1)化简代数式A；(2)若是一个完全平方式，求A的值．知识点02平方差和完全平方差区别平方差公式:(a+b)(a-b)=a²-b²完全平方差公式：(a-b)²=a²-2ab+b²平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍【即学即练1】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）计算：(1)；(2)．题型01判断是否完全平方公式运算例题：（24-25八年级上·四川宜宾·期末）下列关系正确的是（

）A． B．C． D．【变式训练】1．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）下列关系式中，正确的是（

）A． B．C． D．2．（24-25八年级上·甘肃平凉·阶段练习）下列计算正确的是（

）A． B．C． D．3．（24-25七年级上·上海·期中）下列计算正确的是（

）A． B．C． D．题型02运用完全平方公式进行运算例题：（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算：．【变式训练】1．（2024八年级上·全国·专题练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．2．（2024八年级上·全国·专题练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．题型03利用完全平方公式进行简便运算例题：（2024八年级上·黑龙江·专题练习）运用完全平方公式计算：(1)；(2)．【变式训练】1．（24-25八年级上·四川乐山·期中）用简便方法计算：(1)(2)2．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）利用整式乘法公式计算下列各题：(1)；(2)．3．（2024八年级上·全国·专题练习）运用完全平方公式计算：(1)；(2)；(3)；(4)．题型04与乘法公式有关的化简求值问题例题：（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）先化简，再求值：，，．【变式训练】1．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）化简求值：，其中，．2．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）先化简，再求值：，其中，．3．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）先化简，再求值：，其中．题型05通过对完全平方公式变形求值例题：（24-25七年级上·吉林·单元测试）当，时，求下列代数式的值：(1)；(2).【变式训练】1．（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）已知，，求：(1)的值；(2)的值．2．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求下列各式的值：(1)；(2)3．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知，，分别求下列式子的值：(1)；(2)；(3)．题型06求完全平方式中的字母系数例题：已知关于x的式子是某个多项式的完全平方，那么A是．【变式训练】1．若是一个完全平方式，则．2．若整式是完全平方式，请写出所有满足条件的是．题型07利用完全平方式求代数式的最值问题例题：（23-24八年级上·四川眉山·期末）把完全平方公式适当地变形，可解决很多数学问题例如：若，，求的值．解：∵，，∴，，∴，，得．根据上面的解题思路与方法，解答下列问题：(1)若，，求的值；(2)若，，求的值．(3)求代数式的最小值，并求出此时的的值．【变式训练】1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解：．，．当时，的值最小，最小值是1，的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题：(1)直接写出：的最小值为___________；(2)求出代数式的最小值；(3)若，求的最小值．2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子：①，；；代数式有最小值；②，；；代数式有最大值4；阅读上述材料并完成下列问题：(1)代数式的最小值为______；代数式的最大值为______；(2)求代数式的最小值；(3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值．题型08完全平方公式在几何图形中的应用例题：（24-25八年级上·四川宜宾·期末）图1是一个长为，宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用这四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．(1)观察图2，请你写出，，之间的等量关系：．(2)若，，求的值为：．(3)若，求的值为：．【变式训练】1．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）．(1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是_____；拓展应用：根据（1）中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题：(2)若，且，求的值；(3)若，求的值；(4)如图3，在中，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和．2．（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习）将完全平方公式进行适当的变形，可以解决很多数学问题．例如：若，，求的值．解：，，请根据上面的解题思路和方法，解决下列问题：(1)若，，求的值．(2)将边长为的正方形和边长为的正方形按如图所示方式放置，其中点在边上，连接，，若，，求阴影部分面积．3．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）拓广探索：若x满足，求的值．解：设，则，∴．请仿照上面的方法求解问题：(1)若x满足，求的值．(2)已知正方形的边长为分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积．一、单选题1．（24-25八年级上·全国·期末）下列各式是完全平方式的是（）A． B．C． D．2．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）若是完全平方式，则的值为（

）A．2 B．4 C．8 D．123．（辽宁省抚顺市等2地2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题）实数，满足，，且，则的值是（

）A． B． C． D．或4．（24-25八年级上·福建泉州·期中）若m，n是实数，则的值必是（

）．A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数5．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）某学习小组学习《整式的乘除》这一章后，共同研究课题，用4个能够完全重合的长方形，长、宽分别为a、b拼成不同的图形．在研究过程中，一位同学用这4个长方形摆成了一个大正方形．如图，利用面积不同表示方法验证了下面一个等式，则这个等式是（

）A． B．C． D．二、填空题6．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）计算：．7．（22-23八年级上·四川绵阳·周测）已知：，，则代数式的值：（1）；（2）．8．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）将4个数，，，排成2行、2列，两边各加一条竖线记成，定义，上述记号就叫做二阶行列式．若，则．9．（24-25八年级上·重庆万州·期中）已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为．10．（24-25八年级上·湖北黄冈·阶段练习）我们定义：一个整式能表示成（a、b是整式）的形式，则称这个整式为“完美式”，例如：因为（x、y是整式），所以M为“完美式”．若（x，y是整式，k为常数）为“完美式”，则k的值为．三、解答题11．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）计算：(1)(2)(3)12．（2024八年级上·全国·专题练习）计算下列各式：(1)；(2)．13．（24-25八年级上·全国·期中）利用乘法公式计算：(1)；(2)．14．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）先化简，再求值：，其中．15．（24-25八年级上·北京·期中）已知，求：(1)的值；(2)的值．16．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）某广场有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划在其四周各修建一个两边长都为米的直角三角形区域作为道路，在中间修建一个边长为米的正方形花坛，其余阴影部分规划为绿化地带，尺寸如图所示．(1)用含a、b的式子表示绿化地带的面积（结果要化简）；(2)若，，请求出绿化地带的面积．17．（24-25八年级上·吉林松原·阶段练习）同学们，你们好！下面我们一起分析这样一个例题．例题：求多项式的最小值．解：，，，的最小值为2，的最小值为2．在认真分析例题后，解答下列问题：(1)求多