第2章第02讲 垂线与点到直线的距离（2个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固）（解析版）

2/10第02讲垂线与点到直线的距离课程标准学习目标①垂线的定义及性质②点到直线的距离1．理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线；掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；2．掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理．知识点01垂线概念和性质1.垂直的概念及表示.两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直.如下图，直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD，垂足为O.垂直的概念包含两个方面的含义：一方面由直角（90°的角）可以得到两条直线垂直；另一方面由两条直线垂直可以得到直角（或90°的角）2.垂直的性质：（1）平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.【即学即练1】（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，所有小正方形的边长都为1，点、、均在格点上．(1)过点画线段的平行线；(2)过点画线段的垂线，垂足为；(3)线段的长度是点到直线的距离；(4)比较线段、的大小关系（用“<”连接）．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)(4)【知识点】格点作图题、画垂线、垂线段最短、点到直线的距离【分析】本题考查利用格点作平行线、垂线，垂线段的性质，点到直线距离的定义：（1）根据网格的特点直接作平行线即可；（2）根据网格的特点直接作垂线即可；（3）根据点到直线距离的定义求解；（4）根据垂线段最短即可求解．【详解】（1）解：如图，即为所求；（2）解：如图，即为所求；（3）解：线段的长度是点到直线的距离，故答案为：；（4）解：由垂线段最短可知：．知识点02点到直线的距离3.点到线的距离：如下图所示，过点A作直线的垂线，垂足为点B，则线段AB的长度叫做点A到直线的距离，此时线段AB叫垂线段.【即学即练1】（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）如图，在直角三角形中，，，．请解答下列问题：

(1)点B到的距离是，点A到的距离是；(2)请在图中作出点C到的垂线段；(3)（填“”、“”、“”），理由是．【答案】(1)8，6(2)见解析(3)【知识点】点到直线的距离、画垂线、垂线段最短【分析】（1）根据点到直线的距离的定义求解；（2）过点作的垂线，垂足为；（3）根据垂线段最短进行判断．【详解】（1）解：点B到的距离是，点A到的距离是；故答案为：8，6；（2）如图，为所作；

（3），理由是垂线段最短．故答案为：；垂线段最短．【点睛】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，熟练掌握点到直线距离的概念是解答本题的关键．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离．题型01垂线的定义的理解例题：（2024七年级上·全国·专题练习）为直线上的一点，为外一点，下列说法不正确的是（

）A．过可画直线垂直于 B．过可画直线的垂线C．连结使 D．过只能画1条直线与垂直【答案】C【知识点】垂线的定义理解【分析】此题主要考查了垂线的作法以及垂线的定义，正确把握垂线的作法是解题关键．直接利用垂线的定义结合垂线作法得出答案．【详解】解：A、为直线上的一点，Q为外一点，过P可画直线垂直于，正确，不合题意；B、为直线上的一点，Q为外一点，过Q可画直线的垂线，正确，不合题意；C、连接不能保证，故错误，符合题意；D、为外一点，可以过Q可画直线与垂直，正确，不合题意；故选∶C．【变式训练】1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，，所以与在同一条直线上的理由是（

）A．两点确定一条直线B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线C．过一点只能作一条垂线D．垂线段最短【答案】B【知识点】垂线的定义理解【分析】本题考查了垂线的基本事实，根据垂线的基本事实结合图形得出结论是解题关键．利用同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案即可．【详解】解：因为，，所以直线与重合，其理由是：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选：B．2．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，，垂足为D，则下面说法中不正确的是（

）A．点B到的垂线段是线段CA B．CD与AB互相垂直C．与互相垂直 D．线段的长度是点A到的距离【答案】A【知识点】点到直线的距离、垂线的定义理解【分析】题考查的是点到直线的距离，熟知直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离是解答此题的关键．【详解】解：A、∵，∴，∴点B到的垂线段是线段，故本选项错误，符合题意；B、∵，∴CD和AB互相垂直，故本选项正确，不符合题意；C、∵，∴，∴与互相垂直，故本选项正确，不符合题意；D、∵，∴线段的长度是点A到的距离，故本选项正确，不符合题意．故选A．题型02垂线段最短例题：（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，在中，过点C作于点D，M是边上的一个动点，连接．若，则线段的长的最小值是．【答案】6【知识点】垂线段最短【分析】本题主要考查点到直线的距离，根据垂线段最短可得结论．【详解】解：∵，且，根据“垂线段最短”可知，当点M与点D重合时，最短，所以，的最小值为的长，所以，的最小值为6，故答案为：6．【变式训练】1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，运动会上，两名同学测得黎明的跳远成绩分别为米，米，米，则黎明的跳远成绩应该为米．【答案】【知识点】垂线段最短【分析】此题主要考查了点到直线的距离的含义，解答此题的关键是要明确：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，特别注意是“垂线段的长度”．根据点P到踏板所在的直线的垂线段的长度，据此判断出跳远成绩应该为多少米即可．【详解】解：依据从直线外一点到这条直线所作的线段中，垂线段最短可知，黎明的跳远成绩应该是图中线段的长度，即为米．故答案为：2．（2024七年级上·全国·专题练习）为直线外一点，为直线上一点，点到直线的距离为，则（选填“≥”“＝”或“≤”），根据是．【答案】垂线段最短【知识点】垂线段最短、点到直线的距离【分析】本题主要考查了点到直线的距离，垂线段最短，根据点到直线距离的定义和垂线段最短进行解答即可．【详解】解：∵A为直线l外一点，B是直线l上一点，点A到l的距离为5，∴当时，，∵垂线段最短，∴当不与直线l垂直时，，∴．故答案为：；垂线段最短．题型03画垂线例题：（23-24七年级下·北京丰台·期末）用三角板过点作所在直线的垂线，如图三角板的位置摆放正确的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【知识点】画垂线【分析】本题考查作垂线，根据过点作已知直线的垂线方法进行判断即可．【详解】解：选项A中三角板过点，但不垂直，故不符合题意；选项B中三角板过点且垂直，故符合题意；选项C中三角板不过点，故不符合题意；选项D中三角板过点但不垂直，故不符合题意，故选：B．【变式训练】1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图所示的正方形网格，所有小正方形的边长都为，、、都在格点上．(1)利用网格作图：过点画直线的垂线，垂足为点；(2)线段的长度是点______到直线_______的距离；(3)比较大小：______（填＞、＜或＝），理由：______．【答案】(1)见解析(2)

(3)

垂线段最短【知识点】垂线段最短、点到直线的距离、画垂线【分析】本题主要考查垂线段、点到直线的距离：（1）取格点，作直线，交直线于点；（2）根据点到直线的距离的定义即可解答；（3）根据垂线段最短即可解答．【详解】（1）（2）线段的长度是点到直线的距离．故答案为：

（3），理由：垂线段最短．故答案为：

垂线段最短2．（24-25七年级上·全国·课后作业）利用网格画图：(1)过点C画的垂线，垂足为E；(2)线段的长度是点C到直线_______的距离；(3)连接，在线段中，线段_______最短．【答案】(1)见详解(2)(3)【知识点】垂线段最短、点到直线的距离、画垂线【分析】本题主要垂线及其做图，点到直线的距离概念，垂线段最短，注意作图的准确性．（1）根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与垂直的格点；（2）根据点到直线的距离概念回答；（3）根据垂线段最短直接回答即可．【详解】（1）解：如图所示：（2）解：线段的长度是点C到直线的距离，故答案为：；（3）解：连接，在线段中，线段最短，理由：垂线段最短．故答案为：．题型04点到直线的距离例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在三角形中，，，垂足为．若，，，则点A到直线的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为．【答案】43【知识点】点到直线的距离【分析】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握点到直线的距离的定义；根据三角形等面积法求出，再根据点到直线的距离的定义即可得解．【详解】解：，，，点A到直线的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为，故答案为：4，3，．【变式训练】1．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期末）如图，三角形中，，已知，，，则点B到直线的距离是．【答案】4【知识点】点到直线的距离【分析】本题考查点到直线的距离，能够灵活运用三角形的面积公式是解答本题的关键．根据点到直线的距离可判断出表示点B到直线的距离是线段长解题．【详解】解：点B到直线的距离是，故答案为：．2．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点、、、均在格点上，只用直尺在给定的网格中，按下列要求作图．(1)作线段，作射线；(2)点到直线的距离为线段________的长度；(3)在线段上找一点，使它到、、、四个点的距离之和最小，作图的理由为________．【答案】(1)见解析(2)(3)两点之间线段最短【知识点】点到直线的距离、画出直线、射线、线段、两点之间线段最短【分析】本题主要考查了网络作图．熟练掌握画线段，画射线，点到直线的距离，两点之间线段最短，是解题的关键．（1）连接画出线段，连接并延长画出射线即可；（2）根据可得点到直线的距离为线段的长度；（3）根据两点之间线段最短，可得的最小值为的长，得点到、、、四个点的距离之和最小值为．【详解】（1）连接，连接并延长，即得．（2）点到直线的距离为线段的长度故答案为：（3）连接，交BD于点，则，当点O运动到上时，，最小，则，最小．故答案为：两点之间线段最短．题型05利用垂线的定义求角的度数例题：（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，直线与相交于点O，平分．

(1)当时，求的度数；(2)若，，求的度数．【答案】(1)(2)【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、垂线的定义理解、对顶角相等【分析】本题考查了角的和差计算，对顶角，平角，补角，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）根据角平分线定义以及对顶角即可求解；（2）由垂线得到，结合角平分线得到，则，化简得，由，得到方程，继而可求解．【详解】（1）解：∵直线与相交于点O，∴，∵平分，∴，∴；（2）解：∵若，∴∴，∵平分，∴，∴，∴∴∴，∵，∴，解得.∴．【变式训练】1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，相交于点，．(1)若，判断与的位置关系；(2)若，求的度数．【答案】(1)，理由见解析(2)【知识点】垂线的定义理解、几何图形中角度计算问题【分析】本题考查垂直定义、角度的运算，能从图中找到角之间的关系是解答的关键．（1）根据垂直定义，得到即可求解；（2）根据垂直定义结合已知，得到，再根据平角定义求解即可；【详解】（1）解：．理由如下：因为，所以，所以．又因为，所以，即，所以；（2）解：由（1）知，因为，所以，所以，所以，所以．2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线、相交于点，，．(1)求的度数；(2)若，求的度数．【答案】(1)(2)【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解、对顶角相等【分析】本题考查垂直定义和对顶角相等的知识，属于基础题，掌握相关概念正确推理计算是解题关键．（1）根据对顶角相等可得，然后利用角的和差计算求解；（2）根据垂直定义及角的和差关系列式计算即可求解．【详解】（1）∵，，∴，∵，∴；（2）∵，∴，∴．题型06利用垂线的定义求旋转问题例题：（23-24七年级上·福建泉州·期末）如图，是直线上的一点，，平分，，．(1)如图，若，则的度数为____________；(2)探究在绕点旋转过程中，求的度数；（用含有的代数式表示）(3)在内部有一条射线是的角平分线，求的度数．（用含有的代数式表示）【答案】(1)(2)的度数为或(3)的度数为或【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算、垂线的定义理解【分析】本题考查了几何图中角度的计算、垂线的定义、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．（1）先利用邻补角求出，由角平分线的定义得出，由垂线的定义得出，再由，进行计算即可；（2）分两种情况：当在内部时；当在外部时，分别求解即可得出答案；（3）分两种情况：当在内部时；当在外部时，分别求解即可得出答案．【详解】（1）解：，，平分，，，，，的度数为，故答案为：；（2）解：如图，当在内部时，，，，，平分，，；如图，当在外部时，，，，，平分，，；综上所述，的度数为或；（3）解：如图，当在内部时，由（2）可得，，，是的角平分线，；如图，当在外部时，由（2）可得，，，是的角平分线，，综上所述，的度数为或．【变式训练】1．（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图，，射线从开始绕点O逆时针旋转，速度为每分钟旋转；同时，射线从开始绕点O逆时针旋转，速度为每分钟旋转；设运动时间为，解答下列问题：(1)当t为何值时，为平角？(2)当t为何值时，平分？(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使将分成的两个角的度数之比为？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在，或；(4)存在，或．【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、垂线的定义理解【分析】对于（1），根据列出方程，求出解即可；对于（2），根据列出方程，求出解；对于（3），分别表示出和，再分情况列出方程，求出解；对于（4），分别表示出和，再分两种情况列出方程，并求出解．【详解】（1）根据题意可知，.当为平角时，，即，解得．答：时为平角；（2）根据题意可知，.当OC平分时，，即，解得．答：时OC平分；（3）根据题意可知，.第一种：，，第二种：，．答：存在，或时，OB将分成的两个角的度数之比为；（4）根据题意可知，，.当时，，解得；当时，，解得．答：存在，或时，．【点睛】本题主要考查了平角，角平分线，垂直，角的和差等，弄清各角之间的数量关系列出方程是解题的关键，注意分情况讨论，不能丢解．一、单选题1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，三条直线相交于点，若，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】相交线、垂线的定义理解【分析】本题考查了相交线，垂直的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据题意得出，，进而得出，即可得到答案．【详解】解：由题意得，∵，∴，∵，∴，故选：B．2．（24-25七年级上·吉林长春·期末）小峰同学家在点处，他在行走速度相同的情况下，想尽快到达公路边，他选择沿线段去公路边，这一选择用到的数学知识是（

）A．两点确定一条直线 B．垂线段最短C．两点之间，线段最短 D．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直【答案】B【知识点】垂线段最短【分析】此题主要考查了垂线段的性质：点到直线的所有连线中，垂线段最短．根据垂线段的性质解答即可．【详解】解：小峰同学的家在点处，他在行走速度相同的情况下，想尽快地到达公路边，他选择沿线段去公路边，是因为垂线段最短；故选：B．3．（23-24七年级下·山东潍坊·期中）过点B画线段所在直线的垂线段，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】画垂线【分析】本题主要考查过直线外一点作已知直线的垂线段，根据垂线段的定义依次判断每个选项．【详解】解：A．图上为过A点画线段所在直线的垂线段，故该选项不符合题意；B．图上为过点B画线段所在直线的垂线段，故该选项符合题意；C．图上为过上一点D画线段所在直线的垂线段，故该选项不符合题意；D．图上为过点B画线段的垂线段，故该选项不符合题意；故选：B．4．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图是光的反射定律示意图，分别是入射光线、反射光线和法线（提示：反射角和入射角分别是反射光线和入射光线与法线的夹角，且反射角等于入射角）．若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂线的定义，根据题意可得，则，再根据已知条件得到，则．【详解】解：由光的反射定律可知法线与反射面垂直，即，∴，∵，∴，∴，∴，故选：C．5．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）如图，已知点是射线上一点，过作交射线于点，交射线于点，下列结论正确的是（）A．的余角只有 B．图中互余的角共有对C．的补角只有 D．图中与互补的角共有个【答案】B【知识点】与余角、补角有关的计算、垂线的定义理解【分析】此题考查了余角和补角，根据垂直定义可得，然后再根据余角定义和补角定义进行分析即可求解，掌握互余和互补的定义是解题的关键．【详解】解：、∵，，∴，∴，，∴是的余角，也是的余角，故错误，不合题意；、∵，，∵，∴，，，，∴图中互余的角共有对，故正确，符合题意；、∵，，∴，∵，∴，又∵，∴的补角有和，故错误，不合题意；、∵，∴图中与互补的角共有个，故错误，不合题意；故选：．二、填空题6．（23-24七年级下·北京·期末）如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是．【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【知识点】垂线的定义理解、画垂线【分析】本题考查的是垂线的性质，利用在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可得答案．【详解】解：∵，，为垂足，∴，，三点在同一直线上，理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直7．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图，要把河中的水引到农田处，若河岸，垂足为点，则沿着线段铺设管道能使水管最短，其中蕴含的数学道理是．

【答案】垂线段最短【知识点】垂线段最短【分析】本题主要考查了垂线段最短，利用垂线段的性质是解题的关键．根据垂线段的性质（直线外的点与直线上所有点的连线，垂线段最短），可得答案．【详解】解：根据垂线段的性质（直线外的点与直线上所有点的连线，垂线段最短），可知其中蕴含的数学道理是垂线段最短，故答案为：垂线段最短．8．（24-25七年级上·全国·期末）如图，点O是直线上一点，射线在同侧，且，若，则的度数为．【答案】/52度【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解【分析】本题考查了角的计算，准确识图是解题的关键．由可知，再根据平角等于列式计算即可求出．【详解】解：∵，∴，∵，，∴．故答案为：．9．（23-24七年级下·四川南充·期中）如图，，于D，有以下结论：①：②与互相垂直；③点C到的垂线段是线段；④点A到的距离是线段的长度；⑤线段的长度是点C到的距离：⑥线段的长度是点D到的距离，其中正确的有（填序号）

【答案】①④⑤【知识点】点到直线的距离、垂线的定义理解【分析】本题考查了垂直的定义，点到线段的距离．根据垂直的定义可判断①；根据垂线的性质可判断②不正确；根据点到直线的距离可判断③④⑤⑥．【详解】解：①∵，∴；故①说法正确；②，由垂线的性质知与不垂直；故②说法错误；③点C到的垂线段是线段的长度；故③说法错误；④点A到的距离是线段的长度；故④说法正确；⑤线段的长度是点C到的距离；故⑤说法正确；⑥线段的长度是点C到的距离；故⑥说法错误；综上：正确的是：；故答案为：①④⑤．10．（2024七年级上·全国·专题练习）已知直线，相交于点，平分，射线于点，且，则．【答案】或【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算、垂线的定义理解【分析】本题主要考查了相交线和角平分线有关计算．熟练掌握垂线定义，角平分线定义，佘角补角定义，分类讨论，是解本题的关键．当点F和点C在同侧时，根据垂直定义得，结合，得，根据角平分线定义，得；当点F和点C在异侧时，可得，得，得．【详解】解：当点F和点C在同侧时，∵于点O，∴，∵，∴，∵平分，∴；当点F和点C在异侧时，∵，∴，∴，∴．故答案为：或．三、解答题11．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，A，B是两个村庄，中间有一条河，现准备在河上造一座桥，使得通过桥到两村的距离和最短．（假定河的两岸是平行线，桥要与河岸垂直）【答案】见解析【知识点】垂线段最短【分析】本题主要考查了应用设计与作图，过B作河的垂线，要使最短，直线a，，连接即可得出N，作出即可．【详解】解：根据垂线段最短，得出是河的宽时，最短，即直线a（或直线b），只要最短就行，即过B作河岸b的垂线，垂足为H，在直线上取点，使等于河宽．连接交河的a边岸于M，作垂直于河岸交b边的岸于N点，所以，即为所求的桥．12．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线相交于点D，．(1)若，求证：；(2)在（1）的条件下，若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解【分析】本题考查垂直的定义，几何中角度的计算．（1）根据垂直的定义得到，结合，等量代换可得，即可证明；（2）由，根据，可得，即可求出，由（1）知，由即可得出结果．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，，∴，∴，由（1）知，，∴．13．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）如图，正方形网格的格点在的边上，点，，也是格点，请利用网格完成下面画图：(1)过点画的垂线，交于点，经过的一个格点记为；(2)过点画的垂线，垂足记为；(3)试判断线段，，的大小关系并说明判断的依据．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)，依据见解析【知识点】垂线段最短、画垂线【分析】本题考查了格点作图，垂线段最短，点到直线的距离，解题的关键是数形结合．（1）利用网格的特点作图即可；（2）利用网格的特点作图即可；（3）根据垂线段最短即可求解．【详解】（1）解：如图，直线即为所求；（2）如图，即为所求；（3），判断的依据：直线外一点和直线上所有点的连线中，垂线段最短．14．（23-24七年级下·重庆秀山·阶段练习）如图，直线、相交于点，平分，平分．(1)、有什么位置关系，请说明理由；(2)若，求的度数．【答案】(1)，理由见解析(2)【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、垂线的定义理解【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂线的定义，角平分线的定义：（1）由角平分线的定义得到，再由平角的定义可得，据此可得结论；（2）先证明，再由（1）得到，据此求出，再利用平角的定义求解即可．【详解】（1）解：，理由如下：∵平分，平分，∴，∵，∴，∴；（2）解：由（1）得，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴．15．（23-24七年级上·江苏镇江·期末）如图，点都在格点上（小正方形的顶点叫做格点），

(1)请仅用无刻度的直尺完成画图（不要求写画法）．①过点画直线的平行线，并标出直线所经过的格点；②过点画直线的垂线，并标出直线所经过的格点及垂足；(2)线段______的长就是点到直线的距离；(3)比较大小：______（填“”“”或“”）【答案】(1)①见解析；②见解析；(2)；(3)．【知识点】垂线段最短、点到直线的距离、画垂线【分析】本题主要考查了基本作图，利用网格结构作垂线，平行线，点到直线的距离的定义，都是基础知识，需熟练掌握．（1）①根据网格结构特点，过点C作长3宽1的长方形的对角线即可；②根据点到直线的距离的定义解答；（2）根据点到直线的距离的定义即可得；（3）根据垂线段最短即可得出答案．【详解】（1）解：①如图所示，直线即为所求；②如图所示，直线即为所求；

（2）解：线段的长度是点到直线的距离，故答案为：；（3）解：，故答案为：．16．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，点M在射线上，射线在直线的下方，且．(1)将图1中的绕点O逆时针旋转至图2，使射线在的内部并恰好平分，求的度数．(2)在（1）的条件下，反向延长射线得到射线，如图3所示，判断射线是否平分，请说明理由．(3)将图1中的绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，边所在的直线恰好平分锐角，则t的值为__________秒．（直接写出答案）【答案】(1)(2)射线平分，理由见解析(3)6或15【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、垂线的定义理解【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义：（1）先由平角的定义得到，再由角平分线的定义得到，由垂线的定义得到，据此根据角的和差关系可得答案；（2）由平角的定义得到，则可得，据此可得射线平分；（3）当旋转到图3中和时都满足题意，求出对应的旋转角度即可得到答案．【详解】（1）解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴；（2）解：射线平分，理由如下：∵，∴，∵，∴，∴射线平分；（3）解：由（1）（2）可知当开始旋转使得到第一次到达图3中的位置时，此时直线恰好平分，∴旋转角度为，∴；当继续旋转到到