第2章第03讲 平行线的判定（4个知识点+9类热点题型讲练+习题巩固）（解析版）

2/10第03讲平行线的判定课程标准学习目标①同位角、内错角、同旁内角②平行线的判定1．掌握同位角、内错角、同旁内角的位置关系；2．掌握利用同位角、内错角、同旁内角判定判定两条直线平行的条件。知识点01同位角、内错角、同旁内角的概念1.同位角、内错角和同旁内角：填空：(1)如图，∠1和∠5，分别在直线AB，CD的上方（同一方），在直线EF的右侧（同侧）.具有这种位置关系的一对角是同位角.(2)如图，∠3和∠5，在直线AB，CD之间，在直线EF的两侧.具有这种位置关系的一对角叫做内错角.(3)如图，∠3和∠6，在直线AB，CD之间，在直线EF的同侧.具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角.【总结】(1)同位角：在被截直线的同一方向，截线的同侧的一对角.(2)内错角：在被截直线的内侧，截线的两侧的一对角.(3)同旁内角：在被截直线的内侧，截线的同侧的一对角.【即学即练1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线DE和BC被直线AB所截．(1)与、与，与各有什么特殊的位置关系？(2)与是内错角吗？为什么？(3)如果，那么等于吗？和互补吗？为什么？【答案】(1)与是内错角，与是同旁内角，与是同位角(2)与不是内错角．因为内错角必须在截线的两侧，两条被截直线之间(3)，和互补，理由见解析【知识点】同位角、内错角、同旁内角【分析】本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．也考查了同位角、内错角和同旁内角的定义．（1）回忆内错角、同位角和同旁内角的定义：在两被切直线的内侧，且在切线异侧的两个角叫作内错角，在被切直线同一侧，而且在切线同侧的两个角叫作同位角，在两被切直线的内侧，且在切线同侧的两个角叫作同旁内角．再根据图形中角的位置关系，即可得到答案；（2）根据图形中和的位置关系，可知和不在一条直线的两侧，即可判断答案；（3）根据同旁内角互补两直线平行，可得到再根据平行线的性质，即可得到答案．【详解】（1）∵与两个角都在两直线的中间，截线的两侧，∴与是内错角，∵与两个角都在两直线的中间，截线的同旁，∴与是同旁内角，∵与两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧位置，∴与是同位角．故答案为：与是内错角，与是同旁内角，与是同位角（2）∵内错角必须在两条被截直线之间，∴与不是内错角．故答案为：与不是内错角．因为内错角必须在截线的两侧，两条被截直线之间（3）理由:∵，而，，∵和互补，，∴和也互补．故答案为：，和互补知识点02平行线的定义及表示(1)定义：在同一平面内内，不相交的两条直线.(2)表示：平行用“∥”符号表示，读作“平行于”.1.同一平面内，两条直线的位置关系：(1)平行 (2)相交2.利用直尺和三角尺画平行线：一“落”、二“靠”、三“移”、四“画”.【注意】平行线的画法四字诀1.“落”：三角板的一边落在已知直线上；2.“靠”：用直尺紧靠三角板的另一边；3.“移”：沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点；4.“画”：沿三角板过已知点的边画直线.【即学即练1】（23-24七年级上·河南周口·期末）在同一平面内，两条直线的位置关系有（

）A．相交、垂直 B．相交、平行C．垂直、平行 D．相交、垂直和平行【答案】B【知识点】平面内两直线的位置关系【分析】本题考查了直线的位置关系，垂直是相交的特殊情况，这也是同学们容易出错的地方．根据同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系即可解答．【详解】解：同一平面内的两条直线只有相交和平行两种位置关系，故选：B．【即学即练2】（23-24七年级下·全国·单元测试）在数学课上，老师画一条直线a，按如图所示的方法，画一条直线b与直线a平行，再向上推三角尺，画一条直线c也与直线a平行，此时，发现直线b与直线c也平行，这就说明了（

）A．平行于同一条直线的两直线平行B．同旁内角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行【答案】A【知识点】平行公理推论的应用【分析】本题主要考查了平行线公理推论，根据平行线公理推论进行判断即可．【详解】解：∵，∴，∴这说明了平行于同一条直线的两直线平行，故选A．知识点03平行公理及推论(1)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.(2)推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即如果b∥a，c∥a，那么b∥c.【注意】平行公理(1)“有且只有”强调直线的存在性和唯一性.(2)前提条件“经过直线外一点”，若点在直线上，不可能有平行线.【即学即练1】（23-24七年级下·广西防城港·期末）已知直线，，则下列结论正确的是（）A．直线a与c互相垂直 B．直线a与c互相平行C．直线a与c相交 D．直线a与b相交【答案】B【知识点】平行公理的应用【分析】本题主要考查了平行公理的应用，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，进行判断即可．【详解】解：∵，，∴，即直线a与c互相平行．故选：B．知识点04平行线的判定方法平行线的判定方法1：(1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，两直线平行.(2)几何语言：∵∠1=∠5(或者∠2=∠6，∠4=∠8，∠3=∠7)，∴AB∥CD.平行线的判定方法2：(1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行.(2)几何语言：∵∠2=∠8(或者∠3=∠5)，∴AB∥CD.平行线的判定方法3：(1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.(2)几何语言：∵∠2+∠5=180°(或者∠3+∠8=180°)，∴AB∥CD.平行线的其他判定方法：(1)在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行.(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.【总结】判定两直线平行的方法方法一：平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线就是平行线.方法二：平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.方法三：同位角相等，两直线平行.方法四：内错角相等，两直线平行.方法五：同旁内角互补，两直线平行.方法六：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.【即学即练1】（23-24八年级上·贵州毕节·期末）如图，点，，在一条直线上，要根据“同旁内角互补，两直线平行”判定，需添加的一个条件是（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】同旁内角互补两直线平行、同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行【分析】本题考查了平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定方法逐项分析即可．【详解】解：A．，根据内错角相等，两直线平行可得，故不符合题意；B．，根据同旁内角互补，两直线平行可得，故符合题意；C．，根据两同位角相等，两直线平行可得，故不符合题意；D．，根据同旁内角互补，两直线平行可得，故不符合题意；故选B．【即学即练2】（2024七年级上·全国·专题练习）已知直线和被直线所截．(1)如图①，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？(2)如图②，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？(3)如图③，若EG平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析(3)，理由见解析【知识点】同旁内角互补两直线平行、角平分线的有关计算、内错角相等两直线平行、同位角相等两直线平行【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线定义的应用，注意：平行线的判定是：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．（1）根据角平分线定义得出，，时，求出，根据平行线的判定推出即可．（2）根据角平分线定义得出，，求出，根据平行线的判定推出即可．（3）根据角平分线定义得出，，求出，根据平行线的判定推出即可．【详解】（1）解：当时，．理由如下：平分，平分．，，．（2）解：当时，．理由如下：平分，平分，．，，．（3）解：当时，．理由如下：平分，平分，．，，．题型01同位角、内错角、同旁内角的辨别例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图，若，则的同位角的大小是，的内错角的大小是，的同旁内角的大小是．【答案】【知识点】同位角、内错角、同旁内角【分析】本题主要考查内错角、同位角以及同旁内角，观察图形易得的同位角、内错角都为的邻补角，接下来结合的度数计算即可；同样由图可得的同旁内角为的对顶角，与为对顶角，据此解答．【详解】解：由图可得的同位角、内错角都为的邻补角，又，则其同位角大小为；的内错角大小为；的同旁内角为的对顶角，则大小为；故答案为：；；．【变式训练】1．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线上有一点和是直线被直线所截形成的角；和是直线和被直线所截形成的角；和是直线和被直线所截形成的角．【答案】同位内错同旁内【知识点】同位角、内错角、同旁内角【分析】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．根据同位角、内错角、同旁内角的定义解答即可．【详解】解：直线上有一点和是直线被直线所截形成的同位角；和是直线和被直线所截形成的内错角；和是直线和被直线所截形成的同旁内角．故答案为：，同位；，内错；，，，同旁内．2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线DE和BC被直线AB所截．(1)与、与，与各有什么特殊的位置关系？(2)与是内错角吗？为什么？(3)如果，那么等于吗？和互补吗？为什么？【答案】(1)与是内错角，与是同旁内角，与是同位角(2)与不是内错角．因为内错角必须在截线的两侧，两条被截直线之间(3)，和互补，理由见解析【知识点】同位角、内错角、同旁内角【分析】本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．也考查了同位角、内错角和同旁内角的定义．（1）回忆内错角、同位角和同旁内角的定义：在两被切直线的内侧，且在切线异侧的两个角叫作内错角，在被切直线同一侧，而且在切线同侧的两个角叫作同位角，在两被切直线的内侧，且在切线同侧的两个角叫作同旁内角．再根据图形中角的位置关系，即可得到答案；（2）根据图形中和的位置关系，可知和不在一条直线的两侧，即可判断答案；（3）根据同旁内角互补两直线平行，可得到再根据平行线的性质，即可得到答案．【详解】（1）∵与两个角都在两直线的中间，截线的两侧，∴与是内错角，∵与两个角都在两直线的中间，截线的同旁，∴与是同旁内角，∵与两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧位置，∴与是同位角．故答案为：与是内错角，与是同旁内角，与是同位角（2）∵内错角必须在两条被截直线之间，∴与不是内错角．故答案为：与不是内错角．因为内错角必须在截线的两侧，两条被截直线之间（3）理由:∵，而，，∵和互补，，∴和也互补．故答案为：，和互补题型02平面内两直线的位置关系例题：（2024七年级上·全国·专题练习）同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是（

）A．平行 B．相交 C．相交或平行 D．垂直【答案】C【知识点】平面内两直线的位置关系【分析】本题考查平面内直线的位置关系，根据平面内两条直线的位置关系进行判断即可．【详解】解：同一平面内，两条不重合的直线的位置关系是相交或平行；故选C．【变式训练】1．（24-25七年级上·全国·课后作业）在同一平面内有三条不同的直线，若，则a与b的位置关系为（

）A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．无法确定【答案】C【知识点】垂线的定义理解、平面内两直线的位置关系【分析】本题主要考查垂直的定义，熟练掌握垂直的定义是解题关键．根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，即可得出结果．【详解】在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．，故选：C．2．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）、、为同一平面内的三条直线，若与不平行，与不平行，那么与（

）A．一定不平行 B．一定平行C．一定互相垂直 D．可能相交或平行【答案】D【知识点】平面内两直线的位置关系【分析】本题主要考查了直线的位置关系，在同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交．根据关键语句“若与不平行，与不平行，”画出图形，图形有两种情况，根据图形可得答案．【详解】根据题意可得图形：根据图形可知：若与不平行，与不平行，则与可能相交或平行，故选：D．题型03平行公理及推论应用例题：（24-25七年级上·全国·课后作业）平行线的基本事实：过与这条直线平行．【答案】直线外一点有且只有一条直线【知识点】平行公理的应用【分析】本题考查了平行线的基本事实，根据平行线的基本事实解答即可，熟练掌握此知识点是解此题的关键．【详解】解：平行线的基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故答案为：直线外一点有且只有一条直线．【变式训练】1．（24-25七年级上·全国·课后作业）有下列说法：①两条不相交的直线是平行线；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行；④在同一平面内，不相交的两条射线必平行．其中，正确的有个．【答案】1【知识点】平面内两直线的位置关系、平行公理的应用【分析】本题考查了平行线的定义和平行公理，根据平行线的定义、平行公理进行判断，即可得出结论，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：①在同一平面内，两条不相交的直线是平行线，故原说法错误；②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误；③在同一平面内，和第三条直线都不相交的两条直线平行，故原说法正确；④在同一平面内，不相交的两条射线不一定平行，故原说法错误；综上所述，正确的为③，共个，故答案为：．2．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法：①在同一平面内，若直线，，则；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线相交；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中说法正确的是．（填序号）【答案】①②/②①【知识点】平面内两直线的位置关系、平行公理的应用、平行公理推论的应用【分析】本题考查平行线的性质和判定、相交线．利用同一个平面内，两条直线的位置关系依次对各选项进行判断即可．掌握平行线的性质和判定是解题的关键．【详解】解：①在同一平面内，若直线，，则；故此说法正确；②在同一平面内，若直线，直线与相交，则直线与相交，故此说法正确；③若直线与直线相交，直线与直线相交，则直线与直线也有可能平行，故此说法错误；④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故此说法错误．∴说法正确的是①②．故答案为：①②．题型04同位角相等，两直线平行例题：（24-25八年级上·吉林·开学考试）把下面的证明过程补充完整：如图，已知直线AB，CD被直线所截，为CD与的交点，于点，，，求证：．证明：∵（已知），∴（

）．又∵（已知），∴，∴（

）（____________）．又∵（已知），∴，∴（____________）．【答案】垂直的定义；，对顶角相等；同位角相等，两直线平行．【知识点】垂线的定义理解、对顶角相等、同位角相等两直线平行【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义，对顶角相等，由，得，从而有，通过等量代换求出即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】证明：∵（已知），∴（垂直的定义），又∵（已知），∴，∴（对顶角相等）．又∵（已知），∴，∴（同位角相等，两直线平行），故答案为：垂直的定义；，对顶角相等；同位角相等，两直线平行．【变式训练】1．（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）如图：，平分，平分，，试说明：．请完成下面的解题过程．解：∵平分，平分（已知），____________，_________（角平分线的定义），又（已知）________________．又（已知）________，（________）．【答案】；；；；；同位角相等，两直线平行【知识点】角平分线的有关计算、同位角相等两直线平行【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．根据角平分线的定义结合题意推出，即可判定．【详解】解：∵平分，平分（已知），，（角平分线的定义）.又（已知），，又（已知），，（同位角相等，两直线平行）．故答案为：；；；；；同位角相等，两直线平行．2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，在三角形中，，点分别在边的延长线上，作射线，如果平分，那么与平行吗？为什么？【答案】，见解析【知识点】同位角相等两直线平行【分析】此题考查了平行线的判定．根据角平分线得到，对顶角相等得到，利用等量代换得到，即可证明．【详解】解：．证明：∵平分，∴．又∵，∴．又∵，∴．∴题型05内错角相等，两直线平行例题：（23-24七年级下·全国·单元测试）完成下面证明：如图，平分，．求证．证明：∵平分∴（）∵．∴．（）∴（）．【答案】角平分线的定义，3，等量代换，内错角相等两直线平行【知识点】内错角相等两直线平行【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．根据角平分线的定义得到，而，则得到，根据“内错角相等两直线平行”即可得到结论．【详解】证明：∵平分．∴．（角平分线的定义）∵．∴．（等量代换）∴（内错角相等两直线平行）．故答案为：角平分线的定义，3，等量代换，内错角相等两直线平行．【变式训练】1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点G在上，已知，平分，平分，请说明的理由．解：（已知），（_______）（_______）．∵平分，_______（_______）．平分，_______，得（_______），（_______）．【答案】邻补角的定义；同角的补角相等；；角平分线的定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行；理由见解析【知识点】内错角相等两直线平行【分析】本题主要考查平行线的判定，由题意可求得，再由角平分线的定义得，，从而得，即可判定．【详解】解：∵（已知），（邻补角的定义），∴（同角的补角相等）．∵平分，∴（角平分线的定义）．∵平分，∴，∴（等量代换），∴（内错角相等，两直线平行）．故答案为：邻补角的定义；同角的补角相等；；角平分线的定义；；等量代换；内错角相等，两直线平行．2．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，点O在直线上，平分平分是上一点，连接．(1)判断与是否垂直，并说明理由；(2)若与互余，判断与是否平行，并说明理由．【答案】(1)，见解析；(2)，见解析【知识点】角平分线的有关计算、同(等)角的余(补)角相等的应用、内错角相等两直线平行【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，解题的关键是：（1）利用角平分线的定义结合平角的性质即可证明；（2）利用，结合已知求得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明．【详解】（1）解：，证明：平分，平分，，，，；（2）证明：，，与互余，，，．题型06同旁内角互补，两直线平行例题：（23-24七年级下·河北唐山·期中）如图，已知．将下列推理过程补充完整．∵（已知），∴________（________________）∵（已知）∴________（________________）∵（已知），∴_________________（________________）．【答案】见解析【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行【分析】本题考查平行线的判定，根据平行线的判定方法，作答即可．【详解】解：∵（已知），∴（同位角相等，两直线平行）∵（已知）∴（内错角相等，两直线平行）∵（已知），∴（同旁内角互补，两直线平行）．【变式训练】1．（23-24七年级下·福建漳州·期中）完成下面的证明．已知：如图，．求证：．证明：，______________（_______）．，______________．（_______）．【答案】AB；CD；同旁内角互补，两直线平行；；CD；同平行于一条直线的两条直线互相平行【知识点】平行公理推论的应用、同旁内角互补两直线平行【分析】本题考查平行线的判定，熟记并灵活运用这两条定理是解本题的关键．先由，得到再由，得到，最后得到．【详解】证明：，（同旁内角互补，两直线平行）．，．（同平行于一条直线的两条直线互相平行）．2．（23-24七年级下·河南安阳·期中）完成下面的证明：如图，平分，平分，且，求证．证明：∵平分（已知），∴（

）∵平分（已知），∴_________（

）∴（

）∵（已知），∴_________（

）∴（

）【答案】角平分线的定义；；角平分线的定义；等量代换；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行【知识点】同旁内角互补两直线平行【分析】本题考查平行线的判定，根据角平分线的定义以及同旁内角互补，两直线平行，进行作答即可．【详解】证明：∵平分（已知），∴（角平分线的定义）∵平分（已知），∴（角平分线的定义）∴（等量代换）∵（已知），∴（等量代换）∴（同旁内角互补，两直线平行）题型07添加一条件使两直线平行例题：（24-25八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，已知，点，分别在射线，上，点为内一点，连接，，不添加辅助线，请添加一个条件使得，则可添加为．（写出一个即可）【答案】（答案不唯一）【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行【分析】本题主要考查了平行线的判定，解答本题的关键是熟练掌握平行线的判定定理．平行线判定方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此可得结论．【详解】解：添加利用同位角相等，两直线平行判定；添加利用内错角相等，两直线平行判定；添加利用同旁内角互补，两直线平行判定．故答案为：(答案不唯一)·【变式训练】1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，E是线段的延长线上一点，添加一个条件，使，则可添加的条件为（写出一种情况即可）．【答案】【知识点】同旁内角互补两直线平行、内错角相等两直线平行、同位角相等两直线平行【分析】本题主要考查了平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行解答（答案不唯一）．【详解】解：若，则；若，则；若，则；若，则；故答案为或或或．（答案不唯一）2．（2024七年级上·全国·专题练习）中考新趋势·结论开放性试题

如图，已知，请你添加一个条件，使得能利用“内错角相等，两直线平行”来判断，你添加的条件是．【答案】平分（答案不唯一）【知识点】内错角相等两直线平行【分析】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据内错角相等，两直线平行，当时，，由于，易得要平分．【详解】解∶当时，，，所以需平分，即添加的条件是平分，故答案为：平分（答案不唯一）．题型08垂直于同一条直线的两条直线平行例题：（23-24七年级下·广东河源·期中）如图，已知，，试探究与的位置关系，并说明理由．【答案】，理由见解析【知识点】同位角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行、垂直于同一直线的两直线平行【分析】本题主要考查了平行线的判定，先根据同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行得到，再根据平行于同一直线的两直线平行可得．【详解】解：，理由如下：∵，，∴，∴．【变式训练】1．（23-24八年级上·广东梅州·期末）如图，，，垂足分别是，，．(1)判断与的位置关系；（不需要证明）(2)求证：．【答案】(1)(2)见解析【知识点】同位角相等两直线平行、垂直于同一直线的两直线平行【分析】（1）根据垂直于同一直线的两条直线互相平行，即可得出结论；（2）根据可得，则，即可求证．【详解】（1）解：∵，，∴．（2）证明：，，（等式的性质），即，（同位角相等，两直线平行）．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线互相平行，同位角相等，两直线平行．题型09平行线的判定去判断两线的位置关系例题：（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知点在上，平分，平分．(1)试说明：；(2)若，，则与平行吗？为什么？【答案】(1)见解析(2)，理由见解析．【知识点】垂线的定义理解、内错角相等两直线平行、平行公理推论的应用【分析】本题考查了平行线的判定，平行公理推论，角平分线的定义，掌握平行线的性质和角平分线定义是解题的关键．（1）先利用角平分线的定义得到，，根据平角的定义得到，根据垂直的定义求解即可；（2）根据平行线的判定及平行公理推论即可求解；【详解】（1）解：∵平分，平分，∴，，∵，∴，∴；（2），理由如下：由（1）得，∠3＝∠4．∵，，∴，，∴，，∴．【变式训练】1．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在四边形中，点E在的延长线上，点F在的延长线上，连接相交于点O，，平分，．(1)试说明；(2)与的位置关系如何？为什么？【答案】(1)见解析(2)，理由见解析【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、角平分线的有关计算【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义：（1）根据平角的定义和已知条件证明，即可证明；（2）由角平分线的定义和已知条件证明，即可证明．【详解】（1）证明：∵，，∴，∴；（2）解：，理由如下：∵平分，∴，∵，∴，∴．2．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图，点在上，过作于，点是上一点，过点作于．(1)求证：；(2)点在上，若，则试判断与的位置关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)，见解析【知识点】垂线的定义理解、同位角相等两直线平行【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质及三角形内角和定理，熟练使用平行线的性质是解题的关键．（1）根据垂直的定义求出，根据“同位角相等，两直线平行”得到；（2）由垂直定义及直角三角形的性质求出，根据“等角的余角相等”求出，再根据“同位角相等，两直线平行”即可得解．【详解】（1）证明：，，．（2）解：，理由如下：，，，，，．一、单选题1．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线a、b被直线c所截，，下列条件中可以判定的是（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】同位角相等两直线平行【分析】本题主要考查了平行线的判定，先标注，根据同位角相等，两直线平行判断即可．【详解】如图所示．根据题意可知，∵，∴．故选：A．2．（2024·山西大同·二模）若，则下列图形一定能推出的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】同旁内角互补两直线平行【分析】此题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理求解即可．【详解】A．∵和是同位角，∴无法推出，不符合题意；B．∵和是内错角，∴无法推出，不符合题意；C．如图所示，∵，∵∴∴，符合题意；D．如图所示，∵，∴∵和是同位角，∴无法推出，故不符合题意；故选：C．3．（23-24七年级下·云南玉溪·阶段练习）如图，描述同位角、内错角、同旁内角的关系不正确的是（

）A．与是同位角 B．与是内错角C．与是同旁内角 D．与是同旁内角【答案】D【知识点】同位角、内错角、同旁内角【分析】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键熟记同位角、内错角、同旁内角的特征．利用同位角、内错角、同旁内角的定义判定即可．【详解】解：A、与是同位角，故A选项正确；B、与是内错角，故B选项正确；C、与是同旁内角，故C选项正确；D、与不是同旁内角，故D选项错误．故选：D．4．（23-24七年级下·山东济宁·阶段练习）下列说法中：①若，，则；②若与相交，与相交，则与相交；③相等的角是对顶角；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．不正确的有（

）．A．①② B．②③ C．②③④ D．③④【答案】C【知识点】平面内两直线的位置关系、平行公理的应用、对顶角相等【分析】本题主要考查平行公理，对顶角相等，两条直线的位置关系，熟练掌握两条直线位置关系的相关概念是解题的关键．根据平行公理，对顶角，两条直线的位置关系，逐个进行判断即可．【详解】解：①若，，则，故本项符合题意；②若与相交，与相交，则与不一定相交，故本项不符合题意；③相等的角不一定是对顶角，故本项不符合题意；④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本项不符合题意；故选：C．5．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，给出四个条件：①；②；③；④，其中能判定的是（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】D【知识点】同位角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行、内错角相等两直线平行【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定定理．根据内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，以及同旁内角互补两直线平行，逐个分析即可．【详解】①，能判定，不能判定，不符合题意；②，能判定，符合题意；③，能判定，不能判定，不符合题意；④，能判定，符合题意，故②④正确．故选：D．二、填空题6．（23-24七年级下·河南郑州·期末）小明按如图所示的方法画出了两条平行线，依据是．【答案】同位角相等，两直线平行【知识点】同位角相等两直线平行【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行得出结果即可．【详解】解：如图，（同位角相等，两直线平行），故答案为：同位角相等，两直线平行．7．（24-25七年级上·海南海口·期末）如图，要得到，则需要条件（填一个你认为正确的条件即可），理由是．【答案】（答案不唯一）同位角相等，两直线平行【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行【分析】本题考查平行线的判定，涉及同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行等，根据图形，结合平行线的判定定理验证即可得到答案，熟记平行线的判定定理是解决问题的关键．【详解】解：要得到，利用平行线的判定：①同位角相等两直线平行，可填；②内错角相等两直线平行，可填；③同旁内角互补两直线平行，可填；；故答案为：（答案不唯一）；同位角相等，两直线平行；8．（23-24七年级下·全国·单元测试）根据图形填空：（1）若直线，被直线所截，则和是同位角；（2）若直线，被直线所截，则和是内错角；（3）和是直线，被直线所截构成的角；【答案】内错【知识点】同位角、内错角、同旁内角【分析】本题考查了同位角和内错角的定义，解题的关键是掌握同位角和内错角的定义．（1）根据同位角的定义求解即可；（2）根据内错角的定义求解即可；（3）根据内错角的定义求解即可．【详解】解：（1）直线，被直线所截，则和是同位角；（2）直线，被直线所截，则和是内错角；（3）和是直线，被直线所截构成的内错角；故答案为：，，，内错．9．（2024七年级上·全国·专题练习）观察如图所示的长方体，回答问题：（1）与线段平行的线段是；（2）与所在直线不相交，它们平行线（填“是”或“不是”）．由此可知，在内，两条不相交的直线才是平行线．【答案】，，不是同一平面【知识点】平面内两直线的位置关系【分析】本题考查了平行线的定义，熟练掌握平行线的定义是解此题的关键．（1）根据平行线的定义即可得解；（2）根据平行线的定义即可得解．【详解】解：（1）由平行线的定义可知，与线段平行的线段有，，，故答案为：，，；（2）由平行线的定义可得：与所在直线不相交，它们不是平行线，由此可知，在同一平面内，两条不相交的直线才是平行线故答案为：不是，同一平面．10．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，三根木棒钉在一起，交点分别为．现将木棒分别绕点顺时针旋转，同时开始，速度分别为和，当两根木棒都转满了一周时，它们同时停止转动．转动s时，木棒平行．

【答案】或或或【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、同位角相等两直线平行【分析】本题主要考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想，准确找出角度之间的数量关系是解题关键．设经过t秒时木棒a，b平行，分情况讨论：当秒时；当秒时；当时；当时，利用同位角相等两直线平行，列方程求解即可得到答案【详解】解：设经过t秒时木棒a，b平行，根据题意得：当秒时，，解得：；当秒时，，解得：；当秒时，木棒a停止运动，当时，，解得：，不符合题意；当时，，解得：；，解得：，当时，木棒b停止运动，综上所述，经过3或21或75或165秒时木棒a，b平行，故答案为：或或或．三、解答题11．（23-24七年级下·陕西延安·期末）如图，已知，交于点D，平分，，求证：．

【答案】证明见解析【知识点】角平分线的有关计算、同位角相等两直线平行【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，先由角平分线的定义得到，再由平角的定义得到，则可由同位角相等，两直线平行证明．【详解】证明：∵平分，，∴，∴，∵，∴，∴．12．（23-24七年级下·吉林延边·期中）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，、、均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺完成以下操作．(1)过点作的平行线．(2)过点作的平行线，与（1）中的平行线交于点．【答案】(1)见解析(2)见解析【知识点】用直尺、三角板画平行线【分析】本题考查了作平行线．熟练掌握作平行线是解题的关键．（1）过作水平线即可；（2）格点向上2个格点，向左2个格点为，连接即可．【详解】（1）解：过作水平线，如图1，，即为所作；

图1（2）解：如图2，格点向上2个格点，向左2个格点为，连接，，点即为所作；

图213．（23-24七年级下·山东临沂·期末）把下面的证明过程补充完整：如图，已知直线，被直线所截，为与的交点，于点，，．求证：．证明：（已知），（______）．又（已知），（______）．（______）．又（已知），，（______）．【答案】垂直的定义；60；对顶角相等；同位角相等，两直线平行【知识点】对顶角相等、同位角相等两直线平行、垂线的定义理解【分析】此题考查了平行线的判定，垂线的定义，对顶角相等，熟记平行线的判定定理是解题的关键．由已知条件结合垂线定义和对顶角性质，得，然后根据同位角相等，两直线平行即可得到结论．【详解】证明：（已知），（垂直的定义）．又（已知），．（对顶角相等）．又（已知），，（同位角相等，两直线平行）．故答案为：垂直的定义；60；对顶角相等；同位角相等，两直线平行．14．（23-24七年级下·河北保定·期中）数学活动课上，嘉嘉和淇淇两名同学借助一副三角板画平行线．(1)嘉嘉是这样做的：如图1，先画一条直线，之后摆放三角板，得到．依据是______．(2)淇淇按如图2所示的方式摆放三角板，也得到．依据是_____