《概率论与数理统计》题库及答案

《概率论与数理统计》题库及答案

一、填空题

1.设有两门高射炮，每一门击中飞机的概率都是0.6,则同时发射一发炮弹而击中飞机的概率为.若有一

架敌机入侵领空，欲以99%以上的概率及中它，至少需门高射炮.

2.设J在［0,1］上服从均匀分布，则J的概率分布函数以;,H&W2)=.

3.设母体J~N(30,4),为来自4的一个容量为4的样本，则样本均值孑~,P(^>30)=

，(当42，4，鼻)的概率密度为.

4.将一枚均匀硬币掷四次，则四次中恰好出现两次正面朝上的概率为.

5.两封信随机地投入四个邮筒，则前两个邮筒没有信的概率为,第一个邮筒只有•封信的概率为

6.一批产品的废品率为0.2,每次抽取1个，观察后放回去，下次再任取1个，共取3次，则3次中恰有两次

取到废品的概率为_____.

ax+b1<x<3

7.设f具有概率密度/(©=<口.“，又P(2<4<3)=2P(1<^<2),则折,b=.

0具他

8.设f与〃相互独立，f〜M0,l),n〜*(1,2),令4=§+2〃，则EC=,D^=,C的概率密度

函数为.

9.已知AuB,PC4)=0.1,P(而=0.5，则。(月£=P(小⑸=,P(AB)=,P{A\B)=,

P(A+历=.

10.设J~N(3,4),则使得。(4>。)=。©工。)成立的。=.

11.已知七4二一1,。4=3,则讥3c2-2)］=.

12.个概率原理认为：小概率事件在一次试验中是不会发生的，如果发生了则要.

13.相关系数的取值范围是.

14.设总体4~%(〃。2),^2已知，(X1,...,X”)为来自J的一个样本，如检验“。：。=。0(莒数)，则在

成立条件下，检验统计量服从分布.

15.设总体j的概率分布列为尸e=i)=p,pe=o)=i-p,(X1,...,x“)为来自看的一个样本，则

D(X)=_____________

2e~2x当x>0

16.设J的密度函数为',,则Oj=___________.

0,当x<0

4xvOWxWlOKvWl

17.设低〃)的密度函数为/(x,y)=(/~一/、一，则〃的边沿密f(v)=

0,具'匕

18.Au4,P(A)=().1.P(B)=().5,则P(A+B)=.

19.若P(4)=0.6,P(3)=0.5，尸(4+3)=0.7,则P(A3)=.

20.公交车每5分钟发一辆，则乘客等车时间不超过3分钟的概率为.

21.f(x)=^AcOSX,0vx<万为密度函数，则A=_______________.

.0,其他

22.两随机变量J与77的方差分别为25及36,相关系数为0.4,则。(J—〃)=.

23.设J〜N(OJ),〃~力2(〃)，且J与〃相互独立，则统计量W=~.

二、选择题

1.若事件力、8为互逆事件，则。(,初=()

A.0B.0.5C.1)①

2.在四次重复贝努里试验中，事件力至少发生一次的概率为80/81,则力在每次试验中发生的概率々为(

A.-V5B.-C.-D.1--V5

3333

3.若两个随机变量4和〃的相关系数夕勿=0,则下列结论正确的是().

A.隔一宿=._87B.D(^+；7)=D^+£>Z7

C.D(5)=D3)7?D.J和〃相互独立

4.设A、B、C为三个事件，则A、B、C至少发生一个的事件应表示为()

A.ABCB.A+B+CC.ABCD.ABC

5.每次试验成功的概率为〃(Ovpvl),重复进行试验直到第n次才取得r(1次成功的概率为().

A.C；pr(「B.C=；P'(1—P尸C."(l—p)rD.C；力广P—〃)"f

6.设(f,〃)具有概率密度函数/(xyxHsmQ+y)0<x<-fi<y<-

0其他

则A=()

A.0.1B.0.5C.1I).2

7.设4~N(4，CH),且口二0,0*2=1,令〃=aJ+£,则Dn=()(。、B为常数)

A.a-BB.a+pC.a@a~

8.已知S的概率密度函数为人心，则()

A.OWF(x)WlB.P(f=x)=*x)C.f(x)dx=\I).夕(f=x)WF(MW1

9.若母体€的方差为a?,则，的无偏估计为()

A.B.S2C.-^—S2D.S

nn-1

10.设力，8为两事件，Au8,则不能推出结论()

儿P(AB)=P(A)B.P(AuB)=P(B)

C.P(AZ)=P(A)一P(B)D.P(AB)=P(B)_P{A}

11.若事件小8互不相容，则，(,豆)=

A.0.5B.0C.1D.0.25

12.设事件力、夕相互独立，已知P(A)=().25,P(B)=0.5,则P(A-3)=

A.0.12B.0.125C.0.25D.0.5

x,0<x<1

13.设随机变量J的概率密度函数为/")={2-x,l<x<2.则PCMl.5)=

0,其它

A.0.875B.f(2—x)dxC.f(2—x)dxD.f(2-x)xdx

JoJiJ—r

14.设/(x)为连续型随机变量J的概率密度，/(x)为4的分布函数，则下列正确的是

A.F(x)=f(x)B.0</(x)<1C.=x)=F(x)D.[f(x)dx=1

J-00

Ce~(x+y)r>()v>0

15.设C，〃)的概率密度为/(x,j)=4‘二’，则。二

0,其匕

A.1B.0.5C.0.25D.2

16.设随机变量J的概率密度函数为/(幻二1'°X-°,则=

0,x<0

A./IB.—C.A.~D.——

2万

17.设小B、。为三个事件，则人B、C恰有两个发生的事件应表示为

A.ABC+JdBC+ABCB.AB+BC+AC

C.ABC十ABC十ABC十ABCD.AB+BC+AC

18.袋中有5个黑球，3个白球，大小相同,一次随机地摸出4个球，其中恰有3个向球的概率为

A.35

c.以（小：D.

8oO

19.设J〜N(a4)J7~N(0,l)记〃]=p(<f<«-4),p2=N1),则下列正确的是

A.〃]=p2B.P|W〃2C.]八<p2【).Pi>p2

20.设4的概率密度为/*)=[''，则八

A.—B.3C.—D.2

32

21.已知连续型随机变量J的概率密度为了(X),尸(X)为J的分布函数，则下列正确的是

A.P(J=x)=/(x)B.xf(x)dx=\

J-CO

C.0<F(x)<1D.<X)=f(x)

22.设随机变量J的概率密度函数为/"),如果()，恒有()</(%)<1.

A.&~N(l,b2)B.*N(2,T)C.自~N(a,T)D.C。?)

三、计算题

I.如果在1500件产品中有1000件不合格品，如从中任抽150件检查，求查得不合格品数的数学期望；如从中

有放回抽取150次，每次抽一件，求查得不合格品数的数学期望和方差.

2.如果配虞,…总是n个相互独立、同分布的随机变量，嗨=必，/=8(i=l,2,….对于孑」之多，

〃/=i

写出E所满足的切贝晓夫不等式，并估计P(\E-"|<4).

3.在密度函数/(x)=(a+l)xj0cx<1中求参数。的矩估计和极大似然估计.

4.已知随机变量4〜A(0,1),求

(1)〃=*的概率密度;

(2)^=1目的概率密度.

5.全班20人中有8人学过日语，现从全班20人中任抽3人参加中日友好活动，令f为3人中学过日语的人

数，求

(1)3人中至少有1人学过日语的概率；

(2)S的概率分布列及6S.

°-x,(〃>0)

6.设总体4服从指数分布，其概率密度函数为f(x)=9

0x<0

试求参数〃的矩估计和极大似然估计.

7.一个盒子中共有1()个球，其中有5个白球，5个黑球，从中不放何地抽两次，每次抽一个球，求

(1)两次都抽到白球的暇率；

(2)第二次才抽到白球的概率；

(3)第二次抽到白球的暇率.

8.已知f〜*(0,1),求

(1)/的概率密度;

(2)"的概率密度.

9.设总体X〜N(u,l),(X……,X,t)为来自X的一个样本，试求参数P的矩估计和最大似然估计.

10.设母体J具有指数分布，密度函数为

右〃°C〉。）,

0x<0

试求参数丸的矩估计和极大似然估计.

11.袋子中有5件某类产品，其中正品3件，次品2件，现从中任意抽取2件，求2件中至少有1件是正品的概

率

12.一条生产线生产甲、乙两种工件，已知该生产线有三分之一的时间生产甲种工件，此时停机的概率为0.3,

有三分之二的时间生产乙种工件，此时停机的概率为0.4.如该生产线停机，求它是在生产甲种工件的概率.

13.有3人同时走进一栋五层楼房的入口，设每人进入1至5层是等可能的，求没有两人进入同一层的概率.

14.某地区高考数学成绩服从正态分布J~N(90,6?),某考生数学成绩为96分，问比他成绩低的考生占多少？

(①⑴=0.8413)。若该考生个人估分成绩为90分，问比他成绩低的考生占多少？

x,0<x<1

15.4的密度函数为/(x)=h-A,\<x<2t求。(4>1.3).

0,其它

16.将一部五卷文集任意排列到书架上，问卷号从左向右或从右向左恰好为1、2、3、4、5的顺序的概率等于多

少？

17.有朋自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为0.3、0.2s0.1、0.4。如果他乘火车、轮船、

汽车迟到的概率分别是‘、!、’-,而乘飞机来则不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率为多少？

4312

A"'v>0

18.已知/(x)='为密度函数,求A的值.

,0,x<0

19.己知某地区5000名学生的数学统考成绩J~N(65,152)的正态分布，求50分至80分之间的学生人数.

(0(1)=0.8413)

20.已知随机变量J的密度函数为=%€[1，6],求方程—+夕+1=0有实根的概率.

0,其它

四、证明题

1.设总体X〜M0,1),样本(X1,X2,…,Xs)来自总体X,若使统计量+X”服从/分布,试证:

2.随机变量77是另一个随机变量€的函数，并且〃3(2>0)，若E〃存在,求证对于任何实数〃都有

P[^>a}<e~^-Ee^.

3.设｛媒｝的分布列为:P(短=-2*)=2-(2HD,P(短=0)=1-2力,p(s=2*)=2-⑵+匕试证：若低”)

为相互独立的随机变量序列，则｛4｝服从大数定律.

4.设总体X样本(X1,X2,…,X〃)来自总体X,试证：S2=—5—£(x8-X,)2是人的

2(〃-i)tr

无偏估计.

《概率论与数理统计》作业参考答案

一、填空题

1.0.84,6.

0x<0

2.F(x)=«%0<x<1,1.

1x>l

I-乙v«-30户

4i=,

3.N(30,I),1/2,p(x)=(-?=-)e

3

X

6.0.096

7.1/3,(2分)T/6.

1*2)2

8.2,9,—e,9.

3届

9.0.1,0.5,0.5,0.2,0.9.

10.3.

11.6.

12.2y

P(1-P)

15.N(0,l)

16.[-1.1]

17.审视所考察事件是否为小概率

18.0.5

19.0.4

21.1

22.37

23.?(n)

二、选择题

1.A2.C3.B4.B5.B

6.B7.D8.C9.C10.C

11.B12.B13.A14.1)15.A

16.B17.A18.D19.A20.B

21.C22.B

三、计算题

1.第一问是服从超几何分布

第二问是服从二项分布

2.解：由切贝晓夫不等式

尸（痣一呼|＜-半

£~

塔-=〃,"-二工8

n

于是

-8

尸（|一目＜^）＞1一一r

ns

唯一川＜4注1一号=1

2〃

OV_1

3.解：矩估计为&=—

1-X

-1

极大似然估计为&=，

hiXi+1

2--

4.(1)g(y)=—^e2(y>o)

2-匕

2

(2)g(y)=--e(y>D)

5.(1)0.807

(2)P(J=Q='?攵=(),i,2,3

。20

心=1.2

6.矩估计。=又，

极大似然估计e=x.

7.(1)2/9,

(2)5/18,

(3)1/2.

2_也

8.(1)g(y)=—产e（y2＞（））

乃

2・£

(2)g(y)=-=e2(y>0)

J2孙

9.矩估计U=X♦,

极大似然估计//=%.

八1

10.解：矩估计为2==,

X

极大似然估计为2=

X

—C219

11.由公式P(A)=1-P(4)p=\—-\=\--=—

C；1()1()

]211

12.P(A)=>(耳)P(A|q)+P\B)P(AIB)=-x0.3+-x0.4=—

22330

ix().3°

3=1_

1111

3()

.5—9096-90_ongo-go

14.尸«<96)=P©--------<-)=①⑴«0.8413P(4<90)=尸-------<-----------)=6(0)=0.5

6666

15.P(^>1.3)=l-P(^<1.3)

=1-[£,xdx+{(2-x)dx\«0.25

k21

16.n=2,k=P：,____,

〃—5!一60

17.设事件A：迟到,B-乘火车来，Bj乘轮船来.

B、：乘汽车来,B4：乘飞机来,

43

P(A)=^P(^)P(A|B7)=—

1=1zu

*^\05

1P(A)