《随机现象与随机事件(一)》示范公开课教案【高中数学必修第一册北师大】

《随机现象与样本空间》教学设计

♦教学目标,

1.了解确定性现象与随机现象的区别，感受随机现象的普遍性.

2.通过实例经历样本空间的抽象过程，理解样本空间的意义.

3.会结合树状图、列表等方式利用列举法构建有限样本空间，体会数学模型的构建过程.

♦教学重难点

___________________K

重点：样本空间的构建.

难点：对样本空间的理解.

♦教学过程

.________________〃

一、情境导入

情境：在自然界和人类社会中，普遍存在着两种现象.•类是在•定条件下必然出现的

现象，称为确定性现象.例如：太阳从东方升起，在标准大气压下，水在100C时会沸腾.另

一类则是在一定条件下，进行试验或观察会出现不同的结果，而日.每次试验之前都无法预言

会出现哪i种结果的现象，称为随机现象.例如，抛掷i枚硬币，结果是正面朝上，明天下

雨.

你还能举例说明在自然界和人类社会中，还有哪些随机现象吗？

如：明天某股票的价格会上涨：抛掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为6等等.

可见，在我们生活的世界上，处处充满了不确定性，随机现象是普遍存在的，而用数学

的方法研究随机现象，是概率的任务，今天，我们就开始学习如何来描述和刻画随机现象.

设计意图：明确用函数模型解决实际问题的普遍性及必要性.

二、新知探究

问题h随机现象有什么特点？

答案：随机现象有以下两个特点：（1）结果至少有2种；（2）事先并不知道会出现哪

一种结果.

问题2：既然随机现象的结果是不确定的，那么有多少种结果？如何来研究随机现象呢？

答案：由于随机现象的结果具有不确定性，因此，为了研究随机现象，首先需要在一定

的条件下对随机现象进行观察、试验，了解随机现象的结果到底有哪些，我们把观察随机现

象或为了某种目的而进行的实验统称为随机试验，简称为试验，一般用E来表示，把观察结

果或实验结果称为试验结果.

对于随机现象，当在相同的条件下重复进行试验时.，尽管不能预知每次试验的具体结果，

但这个试验的所有可能结果往往是明确可知的，例如，抛掷一枚骰子，观察骰子掷出的点数，

该试验共有6种可能的结果：点数为1,2,3,4,5,6.但在每次抛掷之前，并不能确定骰

子最终掷出的点数.

问题3：观察下列试验，探索可能出现的试验结果.

探究hE］：抛掷一枚硬币1次，观察正面、反面匕现的情况；

E2：连续抛掷一枚硬币3次，观察正面、反面出现的情况.

答案：在试验灯中，抛掷一枚硬币1次，虽然不能确定出现的结果是正面还是反面，但

试验的所有可能结果共有2种：正面、反面，且在每一次试验中，上述2种结果有且只有一

种出现.

在试验4中，连续抛掷一枚硬币3次，虽然不能预知出现的结果，但试验的所有可能结

果可用下图来表示：

第一次第二次第三次试验结果

（正面.正面.正面）

正

反（正面，正面，反面）

正

I正（正面.反面，正面）

反

反（正面.反面.反面）

（反面，正面.正面）

反（反面,正面，反面）

正（反面.反面.正面）

反（反而，反面，反面）

由图可知在试验%中，试验的所有可能结果共有8种，且在每一次试验中，上述8种结

果有且只有一种出现.

探究2：E3：射击一个目标1次，观察是否命中；

反：连续射击一个目标10次，观察命中的次数.

答案：在试验心中，射击一个目标1次，虽然不能预知是否命中，但试验的所有可能结

果共有2种：命中、未命中，且在每一次试验中，上述2种结果有且只有一种出现.

在试验％中，连续射击一个目标10次，虽然不能预知命中的次数，但命中次数的所有

可能结果共有II种：0，I，2,3,4,5,6,7,8,9,10,且在每一次试验中，上述11种

结果有且只有一种出现.

追问1：你能总结出随机试验具有什么特征吗？

答案：随机试验具有以下特征：（I）可以在相同的条件下重复地进行；（2）试验的所

有可能结果是明确可知的，并且不止一个；（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的

一个，但事先不能确定出现哪一个结果.

追问2：随机现象的不同结果是如何表示的？

答案：把一个试验所有可能的结果一一列举出来的方法叫作列举法.列举法是计数问题

中最基本的方怙.

在试验％中，用树状图的形式说明了列举一个试验的所有可能结果的方法.

问题4：上述实例中各个试验结果是否可以用集合表示出来？

答案：以试验均为例进行说明，该试验的所有可能结果共有2种：正面、反面.可以用

集合｛正面、反而｝表示.

一般地，将试验E的所有可能结果组成的集合称为试验E的样本空间，记作样本空间

。的元素，即试验E的每种可能结果，称为试验E的样本点，记作3.如果样本空间。的样本

点的个数是有限的，那么称样本空间。为有限样本空间.

追问：你能写出％,E2,E3,%的样本空间吗？

答案：场的样本空间为：4=｛正面、反面卜

E2的样本空间为：

。2=｛（正面，正面，正面），（正面，正面，反面），（正面，反面，正面），

（正面，反面，反面），（反面，正面，正面），（反面•，正面，反面），

（反面，反面，正面），（反面，反面，反面）卜

邑的样本空间为：。3=｛命中，未命中｝;

久的样本空间为：。4=｛0，1，2,3,4,5,6,7,8,9,10）.

三、应用举例

例1:写出下列试验的样本空间：

（1）F5：连续抛掷一枚骰子2次，观察每次掷出的点数；

（2）E6：袋中有白球3个（编号为1,2,3）、黑球2个（编号为1,2）,这5个球

除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸取2个，每次摸1个，观察摸出球的情况；

（3）%：连续射击一个目标直到命中为止，观察射击的总次数.

解：为了得到试验的相应样本空间，首先需要分析该试验所有可能出现的结果.

（1）对于试验殳，用（i,j）表示抛掷的结果，其中i表示第一次掷出的点数，/表示第二

次掷出的点数，则所有可能的结果如下表.

第二次掷出的点数

123156

笫一次擦出的点数

1(1.1)(1.2)(1.3)(1.4)(1.5)(1.6)

2(2.1)(2.2)(2.3)(2«4)(2.5)(2.6)

3(3.1)(3.2)(3.3)(3.4)(3.5)(3.6)

4(4.1)(4.2)(U3)(4«4)(4.5)(1.6)

5(5.1)(5.2)(5.3)(5.4)(5.5)(5.6)

6(6.1)(6.2)(6.3)(6U)(6.5)(6.6)

注意：这里的（1，2）和（2,1）是不同的样本点，分别表示连续抛掷一枚股子2次，“第

一次掷出的点数为1，第二次掷出的点数为2”和“第一次掷出的点数为2,第二次掷出的点

数为1”.于是，试验坨共有36个样本点.因此，该试验的样本空间为

05=｛（1，1），。，2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,1）,（2,2）,

（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（3,5）,

（3,6）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,（4,5）,（4,6）,（5,1）,（5,2）,

（5,3）,（5,4）,（5,5）,（5,6）,（6,1）,（6,2）,（6,3）,（6,4）,（6,5）,（6,6））；

（2）对于试验耳，设摸到白球的结果分别记为31，32,33,摸到黑球的结果分别记为

瓦，与，则该试脸的所有可能结果如下图；

因此，该欣验的样本空间夕勺。6=^2）^1^3,3]仇，3]2?2，♦^2^3,口2瓦，

32b2，tt）331，33^2，33瓦，33b2，瓦31，（t）2>瓦3[，瓦/）2，^2^198232，^2^39

82瓦｝

（3）对于试验为，如果用k表示“直到命中目标为止，射击了k次”这个结果，那么该

试验的所有可能结果构成的集合可以用正整数集表示，即该试验的样本空间为％-

[1>2,3,4,5,…｝.

总结：求试验的样本空间主要是通过观察、分析、模拟试验，列举出各个样本点.对于

样本点个数的计算，要保证列举出的试验结果不重不漏.写样本空间时应注意两大问题：一

是抽取的方式是否为不放回抽取；二是试验结果是否与顺序有关.

设计意图：通过例题巩固样本空间的概念，进一步引导学生利用表格和树状图进行简单

的计数.

四、课堂练习

1.下列现象中，随机现象的个数为（）

①明天是阴天；

②某人购买福利彩票中奖；

③某人投篮10次,投中8次；

@xeR,x2+2>0.

A.1B.2C.3D.4

2.将数字1,2,3,4任意排成一列，试写出该试验的样本空间.

参考答案：

1.解：由题意可知：①②©是随机现象；④是确定性现象.故选C.

2.解：这个试验的样本点实质是由1,2,3,4这四个数字组成的没有重复数字的匹位数，

所作树状图如图.

/〈工/Y-/