（人教A版）必修二高一数学高一下学期同步考点讲练专题6.5 平面向量的应用（原卷版）

专题6.9平面向量的应用（重难点题型精讲）1．平面几何中的向量方法(1)用向量研究平面几何问题的思想向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作.(2)向量在平面几何中常见的应用①证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理：∥=-=0(≠0).

②证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：=0+=0.

③求夹角问题，利用夹角公式：==.

④求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：||=或|AB|=||=.(3)向量法解决平面几何问题的“三步曲”2．向量在物理中的应用(1)力学问题的向量处理方法向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量.用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上.(2)速度、位移问题的向量处理方法速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成.(3)向量与功、动量

物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积.

①力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即W=||||.功是一个实数,它可正,可负,也可为零.

②动量涉及物体的质量m，物体运动的速度，因此动量的计算是向量的数乘运算.【题型1用向量解决平面几何中的平行问题】【方法点拨】用向量法解决平面几何中的平行问题，一般来说有两种方法.(1)普通向量法：利用向量的运算法则、运算律或性质计算，将平行问题进行转化求解.(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的平行问题转化为代数运算.【例1】在△ABC中，点M，N分别在线段AB，AC上，AM=2MB，AN=2NC.求证：MN//【变式1-1】在四边形ABCD中，AB=DC，N，M是求证：CN=【变式1-2】如图，已知AD,BE,CF是△ABC的三条高，且交于点O，DG⊥BE于点G，DH⊥CF于点H，求证：HG//【变式1-3】如图所示，分别在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线和反向延长线上取点F和点E，使DF=BE.试用向量方法证明：四边形AECF是平行四边形.【题型2用向量解决平面几何中的垂直问题】【方法点拨】用向量法解决平面几何中的垂直问题，一般来说有两种方法.(1)普通向量法：利用向量的运算法则、运算律或性质计算，有时可选取适当的基底(尽量用已知模或夹角的向量作为基底)，将题中涉及的向量用基底表示.(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的垂直问题转化为代数运算.【例2】如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，F,G是AD,BC的三等分点（AF=23AD，BG=23(1)用a,b表示(2)如果a=43【变式2-1】用向量方法证明：菱形对角线互相垂直．已知四边形ABCD是菱形，AC，BD是其对角线．求证：AC⊥BD．【变式2-2】如图，正方形ABCD的边长为a，E是AB的中点，F是BC的中点，求证：DE⊥AF.【变式2-3】如图所示，在等腰直角三角形ACB中，∠ACB=90°，CA=CB，D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE=2EB，求证：AD⊥CE.【题型3利用向量求线段间的长度关系】【方法点拨】利用向量知识，结合具体条件，将平面几何中的长度关系进行转化求解.【例3】如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AD，DC边的中点，BE，BF分别与AC交于R，T两点，你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？用向量方法证明你的结论.【变式3-1】在梯形ABCD中，BC>AD，AD//BC，点E，F分别是BD，AC的中点，求证：【变式3-2】如图，在△ABC中，点E为边AB上一点，点F为线段AC延长线上一点，且BEAB=CFAC，连接EF交BC于点【变式3-3】如图，在△OAB中，点C分OA为1:3，点D为OB中点，AD与BC交于P点，延长OP交AB于E，求证：AE=3EB.【题型4用向量解决夹角问题】【方法点拨】利用向量知识，结合具体条件，利用向量的夹角公式进行转化求解.【例4】如图，在△ABC中，已知AC=1，AB=3，∠BAC=60°，且PA+PB+【变式4-1】如图，在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=4，点D在BC上，且BD=2DC，点E是AC的中点，连接AD，BE相交于(1)求线段AD，BE的长；(2)求∠EOD的余弦值.【变式4-2】已知△ABC是等腰直角三角形，∠B=90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，垂足为E，延长BE交AC于点F，连接DF，求证：【变式4-3】已知梯形ABCD中，AB // CD，AB=2CD，E为BC的中点，F为BD与AE的交点，(1)求λ和μ的值；(2)若AB=22，BC=6，∠ABC=45°，求EA与BD【题型5用向量解决物理中的相关问题】【方法点拨】平面向量在物理的力学、运动学中应用广泛，用向量处理这些问题时，先根据题意把物理中的相关量用有向线段表示，再利用向量加法的平行四边形法则转化为代数方程来计算.【例5】如图，一滑轮组中有两个定滑轮A，B，在从连接点O出发的三根绳的端点处，挂着3个重物，它们所受的重力分别为4N，4N和43【变式5-1】已知两个力F1=5i+4j，F2=−2i+j，F1，F2作用于同一质点，使该质点从点(1)F1，F(2)F1，F2的合力【变式5-2】如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度d=500m，一艘船从A点出发航行到河对岸，船航行速度的大小为|v1|=10km/h，水流速度的大小为|v(1)当cosθ(2)当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？【变式5-3】解决本节开始时的问题：在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上.在其中一个秤盘中放入质量为1kg的物品，在另一个秤盘中放入质量为1kg的砝码，天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力（拉力分别为F1，F2，F3），若3根细绳两两之间的夹角均为π3，不考虑秤盘和细绳本身的质量，则F1【题型6向量与几何最值】【方法点拨】根据具体条件，利用向量知识，将平面几何中的最值问题进行转化求解即可.【例6】如图，已知正方形ABCD的边长为2，过中心O的直线l与两边AB，CD分别交于点M，N．(1)若Q是BC的中点，求QM⋅(2)若P是平面上一点，且满足2OP=λOB【变式6-1】在△ABC中，CA=6，AB=8，∠BAC=π2，D为边(1)求AD⋅(2)若点P满足CP=λCAλ∈R【变式6-2】梯形ABCD中，AB//CD，AB=2，AD=CD=1，∠BAD=90∘，点(1)当点P是线段BC的中点时，求BC⋅(2)求PB⋅【变式6-3】如图，E,F分别是矩形ABCD的边CD和BC上的动点，且AB=2,AD=1.（1）若E,F都是中点，求EF→（2）若E,F都是中点，N是线段EF上的任意一点，求AN→（3）若∠EAF=45°，求AE→专题6.5平面向量的应用（重难点题型检测）一．选择题1．以A4,1，B1,5，C−3,2，D(0,−2)A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．正方形2．在四边形ABCD中，若AB+CD=A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形3．若平面上的三个力F1,F2,F3作用于一点，且处于平衡状态．已知F1=1N,A．7 B．7 C．102 4．已知△ABC，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，点D在BC边上且BD=13BC，则ADA．3 B．32 C．33 5．△ABC中，若AB=AC=5，BC=6，点E满足CE=215CA+15CB，直线CE与直线A．1010 B．31010 C．−6．在△ABC中，满足AB⊥AC，M是BC的中点，若O是线段AM上任意一点，且AB=A．0 B．−32 C．−17．已知四边形ABCD是矩形，AB=2AD，DF=λDC，BE=μBC，λ+μ=1，AE⊥AF，则A．533 B．539 C．6538．如图，在四边形ABCD中，AB⊥AD,CD⊥CB,∠ABC=60∘,AB=2,AD=3,E为线段CD的中点，F为线段ABA．BC=B．若F为线段AB的中点，则λ+μ=1C．FC⋅FDD．μ的最大值比最小值大8二．多选题9．一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4N，水平拉力F1的大小为3N，另一力F2未知，则（A．当该物体处于平衡状态时，FB．当F2与F1方向相反，且FC．当物体所受合力为F1时，D．当F2=210．已知点A−2,1，B3,−2，C5,185A．AB//CD B．AB⊥ADC．AC=BD 11．在△ABC中，D，E分别是线段BC上的两个三等分点（D，E两点分别靠近B，C点），则下列说法正确的是（

）A．ABB．若F为AE的中点，则BFC．若AB⋅AC=0，AB=1，D．若AB+AC=312．如图，已知扇形OAB的半径为1，∠AOB=π2，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，且CD=1，点E为AB⏜A．OE⋅AB的最小值为0 B．EAC．EC⋅ED的最大值为1 D．三．填空题13．如图，作用于同一点O的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，已知|F1|=1，|F2|=2，F114．已知两点E,F分别是四边形ABCD的边AD,BC的中点，且AB=3，CD=2，∠ABC=45∘，∠BCD=75∘，则线段15．如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=6，∠BAC=60°，BC=2BM，AC=3AN，线段AM，BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为.16．如图，在△ABC中，B=π3，AB=2，点M满足AM=13AC，BM⋅AC=43，O四．解答题17．如图所示，四边形ABCD中，AB→=DC→，N，M是AD，BC上的点，且CN→=MA→.求证：18．如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2-AC2=DB2-DC2，求证：AD⊥BC.19．如图，长江某地南北两岸平行，江面的宽度d＝1km，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸．假设游船在静水中的航行速度v1的大小为v1=10km/h，水流速度v2的大小为v2=4km/h，设v1和v(1)当θ=120°时，判断游船航行到北岸时的位置是在图中A'(2)当cosθ多大时，游船能到达A20．如图，在△ABC中，∠BAC=120∘，AB=1，AC=3