（人教A版）必修二高一数学高一下学期同步考点讲练专题8.6 空间直线、平面的垂直（一）（原卷版）

专题8.6空间直线、平面的垂直（一）（重难点题型精讲）1．异面直线所成的角(1)两条异面直线所成的角的定义

如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'，b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)异面直线所成的角的范围

异面直线所成的角必须是锐角或直角，即的范围是<.(3)两条异面直线垂直的定义

如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记作a⊥b.2．直线与平面垂直(1)定义如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l⊥.直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.(2)点到平面的距离过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.3．直线与平面垂直的判定定理(1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直．(2)图形语言：如图所示．(3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”.4．直线与平面所成的角(1)定义①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足.

②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.

③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.(2)直线与平面所成的角的范围

①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是.

②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是.

③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的范围是<.

④直线与平面所成的角的取值范围是.5．直线与平面垂直的性质定理(1)直线与平面垂直的性质定理①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．②图形语言：如图所示．③符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.

(2)性质定理的作用

①由线面垂直证明线线平行.

②构造平行线.6．点在平面内射影位置的确定立体几何中经常遇到由一个点向一个平面作垂线的问题，垂线的位置由这个点在平面内的射影位置来确定，因此确定这个点的射影位置是解题的关键.一般来说，可以直接过这个点作平面的垂线，然后通过证明或计算说明垂足的位置，也可以借助以下一些常见结论进行确定.

(1)如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上.

(2)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角的两边的夹角相等，那么该斜线在平面内的射影是这个角的平分线所在直线.【题型1异面直线所成的角】【方法点拨】(1)构造：根据异面直线的定义，用平移法(常利用三角形中位线、平行四边形的性质)作出异面直线所成的角.(2)证明：证明作出的角就是要求的角.(3)计算：求角度(常利用三角形的有关知识).(4)结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.【例1】在三棱锥P−ABC中，PB⊥平面ABC，且AB=PB=23，AC=BC=2，E，F分别为BC，PA的中点，则异面直线EF与PC所成角的余弦值为（

A．38 B．58 C．35【变式1-1】如图，已知等腰直角三角形ABC的斜边BC的中点为O，且BC=4，点P为平面ABC外一点，且PB=PC=22，PA=2，则异面直线PO与AB所成的角的余弦值为（

A．38 B．34 C．28【变式1-2】图（1）是由正方形ABCD和正三角形PAD组合而成的平面图形，将三角形PAD沿AD折起，使得平面PAD⊥平面ABCD，如图（2），则异面直线PB与DC所成角的大小为（

）A．15∘ B．30∘ C．45∘【变式1-3】在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为A．π2 B．π3 C．π4【题型2线线垂直的判定】【方法点拨】通过异面直线所成的角为，来证明线线垂直；通过基本的平面图形的几何性质来实现线线垂直的探索；通过线面垂直的关系来证明线线垂直.【例2】在正方体ABCD−A1B1CA．AB B．CD C．A1B 【变式2-1】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有（

）A．2条 B．4条C．6条 D．8条【变式2-2】如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥α，PC⊥AC，则△ABC形状为（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定【变式2-3】如图所示，在正方体ABCD−A1B1CA．BC1 B．A1D C．【题型3线面垂直判定定理的应用】【方法点拨】利用直线与平面垂直的判定定理判定线面垂直的步骤：(1)在这个平面内找两条直线，使要证直线和这两条直线垂直；(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；(3)根据判定定理得出结论.【例3】在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点．现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个空间四边形，使A．SG⊥△EFG所在平面 B．SD⊥△EFG所在平面C．GF⊥△SEF所在平面 D．GD⊥△SEF所在平面【变式3-1】已知α,β,γ是三个不同的平面，l,m,n是三条不同的直线，且α∩β=l,m,n⊂γ.在下列条件中，能推出l⊥γ的是（

）A．n⊥l,m⊥l B．m⊥l,n⊥αC．n⊥α,m⊥α D．m⊥α,n⊥β【变式3-2】如图，PA是圆柱的母线，AB是圆柱的底面直径，C是圆柱底面圆周上的任意一点（不与A，B重合），则下列说法错误的是（

）A．PA⊥平面ABC B．BC⊥平面PACC．AC⊥平面PBC D．三棱锥P−ABC的四个面都是直角三角形【变式3-3】如图，圆柱OO'中，AA'是侧面的母线，AB是底面的直径，A．BC⊥平面A'AC B．BC⊥C．AC⊥平面A'BC D．AC⊥【题型4直线与平面所成的角】【方法点拨】求直线与平面所成的角的一般步骤：(1)作：在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键.(2)证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义.(3)求：一般借助三角形的相关知识求角.【例4】在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，A．13 B．36 C．33【变式4-1】在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，BC=2，PC与平面PAB所成的角为30A．433π B．43π 【变式4-2】在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2A．1 B．2 C．23 D．【变式4-3】如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD为正方形，且PD=AB=a，G为△ABC的重心，则PG与底面ABCD所成的角的正弦值等于（

）A．34 B．1717 C．317【题型5直线与平面垂直的性质定理的应用】【方法点拨】(1)线面垂直的性质定理、基本事实4及线面平行的性质定理都是证明线线平行的依据，至于线面平行、面面平行，归结到最后还是要先证明线线平行.(2)要证线线垂直，只需证线面垂直，再利用线面垂直的性质即可得到线线垂直.【例5】如图，四棱锥P—ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，PA=PC，PD=2，∠DAC=π(1)证明：AC⊥PD；(2)若PB=23，求四棱锥P—ABCD【变式5-1】如图（1），在梯形ABCD中，AD // BC且AD⊥CD，线段AD上有一点E，满足CD=DE=1，AE=BC=2，现将△ABE，△CDE分别沿BE，CE折起，使AD=5，【变式5-2】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.【变式5-3】如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，点D为线段(1)若AA1=(2)求三棱柱ABC−A【题型6平面内的射影问题】【方法点拨】立体几何中经常遇到由一个点向一个平面作垂线的问题，垂线的位置由这个点在平面内的射影位置来确定，因此确定这个点的射影位置是解题的关键.【例6】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中AE、AF、EF把正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为P，点P在△AEF内的射影为O，则O为△AEF的（）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心【变式6-1】若P是△ABC所在平面外一点，且PA⊥BC，PB⊥AC，则点P在△ABC所在平面内的射影O是△ABC的（

）A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心【变式6-2】已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E、F、G分别是棱A'B'、AA'、A'D'上的点，则点A′在平面EFG上的射影是三角形EFG的（）A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心【变式6-3】下列四个命题：①∠AOB所在平面外一点P到角的两边距离相等，若点P在平面AOB上的射影H在∠AOB的内部，则H在∠AOB的平分线上；②P是△ABC所在平面外一点，点P到△ABC三个顶点的距离相等，则点P在平面ABC上的射影O是△ABC的外心；③P是△ABC所在平面外一点，点P到△ABC三边的距离相等，则点P在平面ABC上的射影O是△ABC的内心；④P是△ABC所在平面外一点，点PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC，则点P在平面ABC上的射影O是△ABC的中心.其中，正确命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4专题8.6空间直线、平面的垂直（一）（重难点题型检测）一．选择题1．设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则（

）A．若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥αB．若l//m，m//n，l⊥α，则n⊥αC．若l//m，m⊥α，n⊥α，则l⊥nD．若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l//m2．三棱锥A−BCD中，AC⊥平面BCD，BD⊥CD．若AB=3，BD=1，则该三棱锥体积的最大值为（

）A．2 B．43 C．1 D．3．如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD,PA=AB，E是棱PD的中点，则异面直线PC与BE所成角的余弦值为（

）A．73 B．63 C．334．如图，正方体ABCD−A①DA1与BC1平行；②DD1与B以上三个命题中，正确命题的序号是（

）A．①② B．②③ C．③ D．①②③5．已知正方体ABCD−A①直线BC1与DA②直线BC1与CA③直线BC1与平面BB④直线BC1与平面ABCD所成的角为其中，正确结论的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．46．在正方体ABCD−A1BA．CC1与平面BDC1所成角正切值为2 C．AB⊥BC1 D．AB17．已知空间中的直线l1，l2，l3满足l1//l2//l3，且两两之间的距离均为d（d>0），动点A∈l1，B∈l2，C∈l2，D∈l3，AB，BD，CD，AC的中点分别为A．MN=PQ，点A在面BCD上的射影为△BCD垂心B．MN≠PQ，点A在面BCD上的射影为△BCD垂心C．MN=PQ，点A在面BCD上的射影为△BCD内心D．MN≠PQ，点A在面BCD上的射影为△BCD内心8．如图所示，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC=90°，AB=AA1=1A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥B．当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥C．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥D．不存在DQ与平面A1二．多选题9．在长方体ABCD−A1B1C1D1中，A．A1D B．B1C C．10．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述错误的是（

）A．CC1与B1E是异面直线 B．C1C与AE共面C．AE与B1C1是异面直线 D．AE与B1C1所成的角为60°11．如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB,PC上的射影，给出下列结论，其中正确结论是（

）A．AF⊥PB B．AE⊥面PBC C．AF⊥BC D．EF⊥PB12．已知正四棱锥P−ABCD的所有棱长均为22，E，F分别是PC，AB的中点，M为棱PB上异于P，B的一动点，则以下结论正确的是（

A．异面直线EF、PD所成角的大小为πB．直线EF与平面ABCD所成角的正弦值为6C．△EMF周长的最小值为6D．存在点M使得PB⊥平面MEF三．填空题13．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的直线有．14．已知△ABC所在平面外一点P，且PA,PB,PC两两垂直，则点P在平面ABC内的射影应为△ABC的心.15．在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1