（人教A版）必修二高一数学高一下学期专题6.8 平面向量及其应用全章综合测试卷（提高篇）（解析版）

第六章平面向量及其应用全章综合测试卷（提高篇）一．单选题1．下列命题中，正确的是（

）A．若a//b，bB．若a=b，bC．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等D．若a//b，则a与【解题思路】对ABC选项找出反例，证明其错误，选项B根据传递性很明显正确，即可求解.【解答过程】对于A选项：0平行于任何向量，若b=0，满足a//b，对于B选项：根据向量传递性，正确；对于C选项：两个单位向量互相平行，这两个单位向量相等或相反（大小相等，方向完全相反），故C错；对于D选项：零向量与任何非零向量都平行,且零向量的方向任意.如果a,b中有一个是零向量,那么2．已知a，b是不共线的向量，OA=λa+μb，OB=3a−2b，OC=2A．λ=μ−5 B．λ=μ+5 C．λ=μ−1 D．λ=μ+1【解题思路】根据向量的线性运算方法，分别求得AB=(3−λ)a−(2+μ)再由AB//BC，得到【解答过程】由OA=λa+μb，可得AB=OB−若A,B,C三点共线，则AB//BC，可得3−λ=−(2+μ)，化简得3．在△ABC中，点D在BC边上，且BD=DC，点E在AC边上，且AE=45AC，连接DE，若DE=mABA．−15 B．45 C．−【解题思路】由已知结合向量的线性表示及平面向量基本定理可求m，n，进而可求m+n．【解答过程】解：如图，连接AD则DE=DA+AE=−12(故选：A.4．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a=2，b=3，∠A=30°，则解此三角形的结果有（

）A．无解 B．一解 C．两解 D．一解或两解【解题思路】根据题意作出图形，推得CD<BC<AC，从而得到圆C与射线AE有两个交点，进而得到满足题意的三角形有两个，由此得解.【解答过程】依题意，作出∠A=30°，AC=b=3，B落在射线AE上，过C作CD⊥AE于D，如图，则在Rt△ACD中，由正弦定理CDsinA=ACsin∠CDA，得CD=ACsinAsin∠CDA=3×sin30°sin90°=32，因为BC=a=2，所以CD<BC<AC.5．已知向量a=2,1,b=−1,1,A．1 B．2 C．22 【解题思路】根据向量平行得到2m+n=4，再利用均值不等式计算得到答案.【解答过程】a+b=1,2，c=m−2,−n，当m≤0，n>0或n≤0，m>0时，mn≤0；当m>0且n>0时，2m+n=4≥22mn，mn≤2，当2m=n，即m=1，n=2综上所述：mn的最大值为2.故选：B.6．已知三个单位向量a,b,c满足a⋅A．−52 B．−102 C．【解题思路】由题意可得|a+b|=102，设a+b与【解答过程】解：由题意可得|a|=|b所以|a+b|=(a+则(a+b)⋅c所以102cosθ∈[−102,102]7．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为F1，F2，且F1=F2，F1A．θ越小越费力，θ越大越省力B．θ的范围为0,πC．当θ=π2D．当θ=2π3【解题思路】根据G=F1+F【解答过程】解：对A，∵G∴G2=由题意知：θ∈0,π时，y=cosθ单调递减，∴F1对B，当θ=π时，对C，当θ=π2时，F1对D，当θ=2π3时，F18．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且3cacosB=A．A=B．当a=2，c=4时，△ABC的面积为4C．若AD是∠BAC的角平分线，且AD=23，则D．当b−c=3a3【解题思路】选项A：先用正弦定理得3sinCsinAcosB=【解答过程】选项A:因为3cacos又因为sinC=sinA+B化简可得3tanA+tanB可得tanA=3，A∈0,π选项B：当a=2，c=4时，由选项A，得A=π3，因为可得b2选项C：因为若AD是∠BAC的角平分线，且AD=23，由选项A，得故∠BAD=∠CAD=π6，而S△BAD得c+b=12bc选项D：因为b−c=3a3，由正弦定理可得sinB−sinC=3所以sin2π3−C−sin解得C=π6或π2，由条件可知C<B故C=π6，所以B=π二．多选题9．有下列说法其中正确的说法为（

）A．若a∥bB．若a∥b，则存在唯一实数λC．两个非零向量a,b，若|a−bD．若2OA+OB+3【解题思路】利用向量的传递性和向量的线性运算及向量共线的充要条件可判断A、B、C项，运用三角形重心向量的表示和性质，结合三角形面积的求法可判断D项.【解答过程】对于A项，若a∥b,b∥对于B项，若a∥b，且b≠0，则存在唯一实数对于C项，两个非零向量a,b，若|a−b对于D项，因为2OA+OB故4OF+2OE=0,所以O、E、F所以OE=1310．如图，M是△ABC所在平面内任意一点，O是△ABC的重心，则（

）A．AD+BE=C．MA+MB+【解题思路】利用平面向量的线性运算可判断ABC选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.【解答过程】对于A选项，由题意可知，D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，所以，AD=同理可得BE=12所以，AD+对于B选项，由重心的性质可知AD=32AO，由A选项可知，AD+所以，MA+对于C选项，由重心的性质可知OD=12AO，所以，MD=3MO对于D选项，BC⋅同理可得CA⋅BE=因此，BC⋅11．在边长为2的正方形ABCD中，P，Q在正方形（含边）内，满足AP=xAB+yA．若点P在BD上时，则x+y=1B．x+y的取值范围为1,2C．若点P在BD上时，APD．若P，Q在线段BD上，且PQ=2，则AP【解题思路】利用向量共线定理推论可判断A，利用向量的线性运算几何表示可判断B，利用向量的数量积的定义及运算律可判断C，利用向量数量积的坐标运算及二次函数的性质可判断D.【解答过程】当点P在BD上时，因为AP=xAB+y因为P在在边长为2的正方形ABCD（含边）内，且AP=x所以x∈0,1,y∈0,1当点P在BD上时，AP=xAB所以AP⋅若P，Q在线段BD上，且PQ=2设Pa,2−a，则Qa+2∴AP=2a2−4−22a+4−2故选：ACD.12．已知△ABC中，AB=1,AC=4,BC=13,D在BC上，AD为∠BAC的角平分线，E为AC中点，下列结论正确的是（A．BE=B．△ABC的面积为3C．AD=D．P在△ABE的外接圆上，则PB+2PE的最大值为2【解题思路】利用余弦定理计算∠BAC=60∘，利用余弦定理计算BE，判断A；根据面积公式计算三角形ABC的面积，判断B；利用正弦定理计算AD，判断C；设∠PBE=α，用α表示出PB，PE，得出PB+2PE关于α的三角函数，从而得到【解答过程】在三角形ABC中，由余弦定理cos∠BAC=∴∠BAC=60∘，故S△ABC在△ABE中，由余弦定理得：BE∴BE=3，故A由余弦定理可知：cosC=13+16−12×4×13=7213，∴sin∠ADC=sin(C+30°)=3故AD=ACsinC∵AB=1，AE=2，∠BAE=60°，∴BE=1+4−2×1×2×12∴AE为△ABE的外接圆的直径，故△ABE的外接圆的半径为1，显然当PB+2PE取得最大值时，P在优弧BAE上．故∠BPE=∠BAE=60设∠PBE=α，则∠PEB=120∘−α，0∘<α<∴PB=2sin(120∴PB+2PE=3cosα+5sinα=2∴当α+θ=π2时，PB+2PE取得最大值27，故D正确．三．填空题13．已知如图，在正六边形ABCDEF中，与OA－OC＋CD相等的向量有①．①CF；②AD；③DA；④BE；⑤CE＋BC；⑥CA－CD；⑦AB＋AE．【解题思路】直接利用平面向量加法与减法的运算法则以及相等向量的定义逐一判断即可.【解答过程】化简OA−OC+由正六边形的性质，结合图可得向量AD、DA、BE与向量CF方向不同，根据向量相等的定义可得向量AD、DA、BE与向量CF不相等，②③④不合题意；因为CE＋BC＝BC+CE=CA－CD=DA≠CF，⑥不合题意；AB+14．在△ABC中，AB=5，AC=3，且AB⋅AC=9，设P为平面ABC上的一点，则PA⋅PB【解题思路】根据数量积的运算律求出AB+AC，则【解答过程】解：由题意得：AB+则AB+AC=2则PA=2PA2=2PA−1322−15．根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和．现在对直角三角形CDE按上述操作作图后，得如图所示的图形，若AF=xAB+yAD，则x−y=【解题思路】建立平面直角坐标系，标出各个点的坐标，利用平面向量的坐标运算即可得解.【解答过程】如图，以A为原点，分别以AB,AD为设正方形ABCD的边长为2a，则正方形DEHI的边长为3a，正方形EFGC边长为可知A0,0，B2a,0，D则xF=3+1又AF=xAB即2ax=3+32a2ay=5+316．已知△ABC中角A，B，C所对的边为a，b，c，AB=32，AC=3，点D在BC上，∠BAD+∠BAC=π，记△ABD的面积为S1，△ABC的面积为S2，S1【解题思路】解法一：利用面积公式和已知面积比可以求得ADAC=23，从而得到AD=2，在△ABD和△ABC中同时应用正弦定理并结合得到BDBC=ADAC=23解法二：把△ABD沿AB翻折到△ABD'，使C，A，D'三点共线，则AB平分∠CBD'．利用角平分线定理和面积公式可得BD'BC=AD【解答过程】解：法一：设∠BAD=θ，则∠BAC=π−θ，则S1=12×32AD在△ABD中，由正弦定理得ADsinB=BDsinθ，在设CD=x，则BD=2x，BC=3x，在△ABC中，由余弦定理得18+9−182所以182cos在△ABD中，由余弦定理得18+4−122cosθ=4x联立①②得x=2，所以BC=6．法二：因为∠BAD+∠BAC=π，把△ABD沿AB翻折到△ABD'，使C，A，D'三点共线，则AB因为S1S2=23，所以BD'BC=A设∠BAD'=θ，则∠BAC=π−θ．在△ABC所以182cos在△ABD'中，由余弦定理得18+4−122cos联立①②得x=2，所以BC=6．故答案为：6．四．解答题17．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：(1)与AB相等的向量共有几个；(2)与AB平行且模为2的向量共有几个？(3)与AB方向相同且模为32的向量共有几个？【解题思路】(1)根据相等向量的概念，即可得到向量AB相等的向量个数，得到答案；(2)根据向量的模的概念，即可得与向量AB平行且模为2的向量的个数；(3)根据向量的模概念，即可得到与向量AB方向相同且模为32的向量共的个数．【解答过程】(1)根据相等向量的概念，可得与向量AB相等的向量共有5个(不包括AB本身)．(2)根据向量的模的概念，可得与向量AB平行且模为2的向量共有24个．(3)根据向量的模概念，可得与向量AB方向相同且模为32的向量共有2个．18．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一个动点（不含端点），且满足AP=λ(1)若λ=13，用向量OA,(2)若OA=6,OB=2，且∠AOB=120°【解题思路】（1）利用向量的线性运算即可求解；（2）利用数量积的运算律求解即可.【解答过程】（1）因为AP=λPB，所以所以OP=OA+AP=（2）由（1）可知OP=所以OP⋅因为OA=6,OB=2，∠AOB=120°因为λ>0，所以−52<−52λ+1<0即OP⋅AB的取值范围为19．已知a=(1)求a−(2)设a，b的夹角为θ，求(3)若向量a+kb与a−k【解题思路】（1）根据向量的减法的坐标运算，即可求得答案；（2）求出向量的数量积和模，根据向量的夹角公式即可求得答案;（3）根据向量垂直时数量积为0，列方程即可求得答案.【解答过程】（1）因为a=1，（2）由题意得a⋅|a故cosθ=（3）因为向量a+kb与a−k即a220．在如图所示的平面图形中，OM=1,ON=2，BM=2(1)设BC=xOM+y(2)若OM∥CN且∠MON∈π6,【解题思路】（1）由向量减法得BC=AC−（2）由题知∠CNO=∠MON=θ，设设CA=λOM，进而得【解答过程】（1）解：因为BM=2所以BC=所以x=−3,y=3，即x+y=0（2）解：因为∠MON∈π6,π4，所以记θ=〈设CA=λOM所以，AM=所以AM=λ2所以，当λ=−6cosθ−32时，又因为θ∈π6,所以−(6cosθ−3)21221．如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距6+2海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以22海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以3(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船【解题思路】（1）在△ABC中，解三角形得BC=23，∠ABC=45°，在△BCD（2）在△BCD中，解三角形得∠BCD=60°，∠BDC=90°，得到∠CDE=135【解答过程】（1）由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D处，巡逻艇在C处，此时BD=3×1=3,AC=22×1=22在△ABC中，AB=6由余弦定理得BC=(6+2在△ABC中，由正弦定理得ACs