《线性代数（第4版）》 习题及答案 第四章习题解答

第四章矩阵的特征值和特征向量

2.求下列矩阵的特征值和特征向量

211

2-4、

(1)A=(2)A=020

-33；

0-11

解（1）矩阵A的特征多项式为

2—2—4

|A-2E|==(2-6)(2+1)

-33-2

令|A—4E|=0,得矩阵A的特征值为4=—1,4=6

3-4

当4=T时，解齐次线性方程组（4+E）x=0,即,由

-34⑼

(3-4、

A+E=

、一34,<00>

得基础解系四=（4,31，故A属于特征值4=-1的全部特征向量为

c0=5（4,31（。产0为任意常数）

当4=6时，解齐次线性方程组（A-6E）x=0,即,由

工2

-4’1n

A-6E=

-3<00,

得基础解系％=（-1，1尸，故A属于特征值4=6的全部特征向量为

r

c2a2=c2(-l,l)(c2Ho为任意常数)

（2）矩阵A的特征多项式为

2-AI1

\A-AE\=02-/1o=-a-2)2(/i-i)

0-12-2

令|A—4E|=0，得矩阵A的特征值为4=1,4=4=2

对于4-1，解齐次线性方程组（A-E）x=O，可得方程组的一个基础解系

a,=(-1,0,1/,于是A的属于4=1的全部特征向量为q4(q为不等于零的常数)

对于4=2,解齐次线性方程组(A-2E)x=0,可得方程组的一个基础解系

7

a2=(l,O,O),a3=(0,-l,l)\于是A的属于4，4的全部特征向量为

y，q为不全等于零的常数)•

1.证明下列命题：

(1)设48都是〃阶方阵，且|A|wO,证明43与A4相似.

(2)如果矩阵4与B相似，且4与区都可逆，则A"与3"相似.

证(1)因为同工0,则A可逆.由于

A-\AB)A=(A1A)(5A)=BA

所以43与BA相似.

(2)因为矩阵A与3相似，所以存在一个可逆矩阵P,使得P7AP=B

所以(尸"/1尸)7=3",即P"A"P=6"，所以与相似.

’21P

2.判别矩阵A=020是否对角化？若可对角化，试求可逆矩阵「，使?

、0-11,

为对角阵.

解矩阵A的特征多项式为

2-211

\A-AE\=02-Z0=-(%-2了(4-1)

0—12—4

由|A-2E|=(),得矩阵A的特征值为4=1,4=4=2

对于4=1,解齐次线性方程组(A-E)x=0,可得方程组的一个基础解系

a,=(-1,0,1/.

对于々=4=2,解齐次线性方程组(4—2E)x=0,可得方程组的一个基础解系

%=（1,0,。）"％=（°，-1，1）1

由于A有三个线性无关的特征向量，故A可对角化.令

<-110、’1()0、

尸=（4,。2，%）=00-1则尸7Ap二020

J01;、002)

’20P

3.设矩阵4=31x可相似对角化，求x.

、405,

解矩阵A的特征多项式为

2-201

\A-/E\=31-2x=-U-l）2U-6）,

405-/1

由|4-4同=0,得矩阵4的特征值为4=4=1,4=6

因为4可相似对■角化，所以对于4=^=1,齐次线性方程组（A-E）x=O有两个线

性无关的解，因此R（4-E）=l.由

」or’101、

(A-E)=30XT00X-3

、404,00,

知当x=3时R(4-E)=l,即x=3为所求.

1.试求一个正交相似变换矩阵，将下列实对称矩阵化为对角矩阵:

,（）01、’111]

（1）A=000；(2)A=111

J00>J11,

解（1）矩阵A的特征多项式为

-A01

\A-ZE\=0-40=-2(2-l)U+l)

10-A

由|A-/lE|=0,得矩阵A的特征值为4=0,4=1,&=-1

对于4=0,解方程组（A-0E）x=0,得方程组的一个基础解系名=（0,1,0），

对于4=1,解方程组（A-E）x=0,得方程组的一个基础解系％=（1，°，1）1；

1.三阶矩阵A的特征值为1,2,3,则下列矩阵中非奇异矩阵是（）.

A.4+2E；B.2E-A：C.E-A；D.A-3E.

答案：A

解因为若4为三阶矩阵4的特征值，则|4一九同=忆£一川=0,

也即当2为矩阵A的特征值时，矩阵A-2F,AE-A为奇异矩阵.

由于义二一2不是矩阵A的特征值，所以|4+2E|wO,即矩阵A+2E非奇异.故

答案A正确.

r100、

4.与矩阵4=010相似的矩阵是（).

。2）

[1()、(\10)(\01]p()n

A.021B.010C.010D.021

10。1,10。2)

、002,

答案：C

解由于答案A,B,C,D均为上三角矩阵，其特征值均为4=%=1，4=2,它们

00、

是否与矩阵A=01o相似，取决于对应特征值4=4=1四个矩阵与单位矩阵的

。2）

差的秩是否为1,即R（B—E）=1.

由于只有答案C对应的R（3—E）=l,即对应2,=4=1有两个线性无关的向量，所

以答案C正确.

6.设4,5为〃阶矩阵，且A与耳相似，则（）.

AA-AE=B—九E：

B.A与8有相同的特征值和特征向量；

C.A与8都相似于一个对角矩阵；

D.对于任意常数1,A—必与5—相似.

答案：D

解因为由4与5相似不能推得4=5,所以答案A错误:

相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量,

所以答案B借误；

由A与5相似不能推出A与6都相似于一个对角矩阵，所以答案C错误；

由A与6相似，则存在可逆矩阵尸，使尸一)尸=〃，所以

P\A-tE)P=P'AP-tE=B-tE

所以，对于任意常数/,A-/E与5—1E相似.故答案D正确.

,123、

8.设矩阵A与夕相似，其中A=-1x2,已知矩阵