江苏省连云港市海庆中学2026届数学高二上期末统考试题含解析

江苏省连云港市海庆中学2026届数学高二上期末统考试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．把直线绕原点逆时针转动，使它与圆相切，则直线转动的最小正角度A. B.C. D.2．若数列的前项和，则此数列是（）A.等差数列 B.等比数列C.等差数列或等比数列 D.以上说法均不对3．已知a，b是互不重合直线，，是互不重合的平面，下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，则4．已知向量，，且，则值是（）A. B.C. D.5．已知向量，则（）A. B.C. D.6．若等比数列满足，，则数列的公比为（）A. B.C. D.7．【2018江西抚州市高三八校联考】已知双曲线(，)与抛物线有相同的焦点，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.8．已知i是虚数单位，复数z=，则复数z的虚部为（）A.i B.-iC.1 D.-19．过点且垂直于的直线方程为（）A. B.C. D.10．已知等差数列，若，，则（）A.1 B.C. D.311．给出如下四个命题正确的是（）①方程表示的图形是圆；②椭圆的离心率；③抛物线的准线方程是；④双曲线的渐近线方程是A.③ B.①③C.①④ D.②③④12．已知函数，则等于（）A.0 B.2C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知p：“”为真命题，则实数a的取值范围是_________.14．已知圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥的侧面积为_____15．已知直线过点，，且是直线的一个方向向量，则__________.16．已知分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在等差数列中，记为数列的前项和，已知：.（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的的值.18．（12分）已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上.（1）求圆M的方程；（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.19．（12分）一台还可以用的机器由于使用的时间较长，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速率而变化，下表为抽样试验结果:转速(转/秒)1615129每小时生产有缺陷的零件数（件）10985通过观察散点图，发现与有线性相关关系:（1）求关于的回归直线方程；（2）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内?(参考:回归直线方程为，其中，）20．（12分）如图，四棱锥中，底面为梯形，底面，，，，.（1）求证：平面平面；（2）设为上一点，满足，若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.21．（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，底面，，是的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）设点是平面上任意一点，直接写出线段长度最小值.（不需证明）22．（10分）已知.（1）求在上的单调递增区间；（2）已知锐角内角，，的对边长分别是，，，若，.求面积的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据直线过原点且与圆相切，求出直线的斜率，再数形结合计算最小旋转角【详解】解析：由题意，设切线为，∴.∴或.∴时转动最小∴最小正角为.故选B.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题2、D【解析】利用数列通项与前n项和的关系和等差数列及等比数列的定义判断.【详解】当时，，当时，，当时，，所以是等差数列；当时，为非等差数列，非等比数列’当时，，所以是等比数列，故选：D3、B【解析】根据线线，线面，面面位置关系的判定方法即可逐项判断.【详解】A：若，，则或a，故A错误；B：若，，则a⊥β，又，则a⊥b，故B正确；C：若，，则或α与β相交，故C错误；D：若，，，则不能判断α与β是否垂直，故D错误.故选：B.4、A【解析】求出向量，的坐标，利用向量数量积坐标表示即可求解.【详解】因为向量，，所以，，因为，所以，解得：，故选：A.5、B【解析】根据向量加减法运算的坐标表示即可得到结果【详解】故选：B.6、D【解析】设等比数列的公比为，然后由已知条件列方程组求解即可【详解】设等比数列的公比为，因为，，所以，所以，解得，故选：D7、C【解析】由题意可知，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，由在抛物线的准线上，则，则，则焦点坐标为，所以，则，解得，双曲线的渐近线方程是，将代入渐近线的方程，即，则双曲线的离心率为，故选C.8、C【解析】先通过复数的除法运算求出z，进而求出虚部.【详解】由题意，，则z的虚部为1.故选：C.9、B【解析】求出直线l的斜率，再借助垂直关系的条件即可求解作答.【详解】直线的斜率为，而所求直线垂直于直线l，则所求直线斜率为，于是有：，即，所以所求直线方程为.故选：B10、C【解析】利用等差数列的通项公式进行求解.【详解】设等差数列的公差为，因为，，所以，解得.故选：C.11、A【解析】对选项①，根据圆一般方程求解即可判断①错误，对选项②，求出椭圆离心率即可判断②错误，对③，求出抛物线渐近线即可判断③正确，对④，求出双曲线渐近线方程即可判断④错误。【详解】对于①选项，，，故①错误；对于②选项，由题知，所以，所以离心率，故②错误；对于③选项，抛物线化为标准形式得抛物线，故准线方程是，故③正确；对于④选项，双曲线化为标准形式得，所以，焦点在轴上，故渐近线方程是，故④错误.故选：A12、D【解析】先通过诱导公式将函数化简，进而求出导函数，然后算出答案.【详解】由题意，，故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据条件将问题转化不等式在上有解，则，由此求解出的取值范围.【详解】因为“”为真命题，所以不等式在上有解，所以，所以，故答案为：.14、【解析】由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解【详解】由已知可得r=1，h=，则圆锥的母线长l=,∴圆锥的侧面积S=πrl=2π故答案为2π【点睛】本题考查圆锥侧面积的求法,侧面积公式S=πrl.15、【解析】由题得，解方程组即得解.【详解】解：由题得，因为是直线的一个方向向量，所以，所以，所以.故答案为：16、0【解析】计算每两个向量的数量积，判断该两个向量是否垂直，可得答案.【详解】因为，，.所以中任意两个向量都不垂直，即α，β，γ中任意两个平面都不垂直故答案为：0.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）或.【解析】(1)根据给定条件求出数列的公差及首项即可计算作答.(2)由(1)求出，建立方程求解作答.【小问1详解】设等差数列公差为，因，则，解得，于是得，所以数列的通项公式为：.【小问2详解】由(1)知，，由得：，即，解得或，所以使成立的的值是或.18、（1）；（2）.【解析】（1）设圆的方程为：，由已知列出方程组，解之可得圆的方程；（2）由已知得四边形的面积为，即有，又有.因此要求的最小值，只需求的最小值即可，根据点到直线的距离公式可求得答案.【详解】解：（1）设圆方程为：，根据题意得，故所求圆M的方程为：；（2）如图，四边形的面积为，即又，所以，而，即.因此要求的最小值，只需求的最小值即可，的最小值即为点到直线的距离所以，四边形面积的最小值为.19、(1);(2)控制在16转/秒内.【解析】(1)结合已知数据，代入公式中，先求出，然后求出，进而可求出，从而可得回归方程.(2)由题意得，即可求出转速的最高速度.【详解】解：(1)由题意知，，所以，则，即关于的回归直线方程为.(2)由可得，解得，所以机器的运转速度应控制在16转/秒内.20、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由三角形的边角关系可证，再由底面，可得.即可证明底面，由面面垂直的判定定理得证.（2）以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值.【详解】解析：（1）证明：由，，，，，所以，又，∴，∴，∴，因为底面，底面，∴.因为，底面，底面，底面，底面，所以面面.（2）由（1）可知为与平面所成的角，∴，∴，，由及，可得，，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间坐标系，则，，，，设平面的法向量为，则，，取，设平面的法向量为，则，，取，所以，所以二面角余弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的判定，线面垂直的性质，利用空间向量法求二面角的余弦值，属于中档题.21、（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】（1）设，连结，根据中位线定理即可证，再根据线面平行的判定定理，即可证明结果；（2）由菱形的性质可知，可证，又底面，可得，再根据面面垂直的判定定理，即可证明结果；（3）根据等体积法，即，经过计算直接写出结果即可.【小问1详解】证明：设，连结.因为底面为菱形，所以为的中点，又因为E是PC的中点，所以.又因为平面，平面，所以平面.【小问2详解】证明：因为底面为菱形，所以.因为底面，所以