2025年江苏省南通市如皋市高二数学第一学期期末经典试题含解析

2025年江苏省南通市如皋市高二数学第一学期期末经典试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．双曲线的渐近线方程是（）A. B.C. D.2．若，则n的值为（）A.7 B.8C.9 D.103．如图，在平行六面体中，（）A. B.C. D.4．设双曲线：的左、右焦点分别为、，P为C上一点，且，，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.5．已知等差数列且，则数列的前13项之和为（）A.26 B.39C.104 D.526．三棱锥D－ABC中，AC＝BD，且异面直线AC与BD所成角为60°，E、F分别是棱DC、AB的中点，则EF和AC所成的角等于()A.30° B.30°或60°C.60° D.120°7．已知圆，圆相交于P，Q两点，其中，分别为圆和圆的圆心.则四边形的面积为（）A.3 B.4C.6 D.8．已知圆与抛物线的准线相切，则实数p的值为（）A.2 B.6C.3或8 D.2或69．双曲线的焦距是（）A.4 B.C.8 D.10．过点A(3，3)且垂直于直线的直线方程为A. B.C. D.11．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数，，，，…构成的数列的第项，则的值为（）A. B.C. D.12．命题“，使得”的否定形式是A.，使得 B.，使得C.，使得 D.，使得二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知为坐标原点，等轴双曲线的右焦点为，点在双曲线上，由向双曲线的渐近线作垂线，垂足分别为、，则四边形的面积为______.14．已知过椭圆上的动点作圆（为圆心）：的两条切线，切点分别为，若的最小值为，则椭圆的离心率为______15．已知点，抛物线的焦点为，点是抛物线上任意一点，则周长的最小值是__________.16．已知命题：，总有．则为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在等比数列中，已知，（1）若，求数列的前项和；（2）若以数列中的相邻两项，构造双曲线，求证：双曲线系中所有双曲线的渐近线、离心率都相同18．（12分）平面直角坐标系中，曲线与坐标轴交点都在圆上.（1）求圆的方程；（2）圆与直线交于，两点，在圆上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求出此时直线的方程；若不存在，说明理由.19．（12分）已知椭圆的焦距为，离心率为（1）求椭圆方程；（2）设过椭圆顶点，斜率为的直线交椭圆于另一点，交轴于点，且，，成等比数列，求的值20．（12分）已知椭圆的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2（1）求椭圆的方程；（2）设为椭圆上任意两点，为坐标原点，且以为直径的圆经过原点，求证：原点到直线的距离为定值，并求出该定值21．（12分）已知等差数列各项均不为零，为其前项和，点在函数的图像上.（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和；（3）若数列满足，求的前项和的最大值、最小值.22．（10分）设椭圆：（）的离心率为，椭圆上一点到左右两个焦点、的距离之和是4.（1）求椭圆的方程；（2）已知过的直线与椭圆交于、两点，且两点与左右顶点不重合，若，求四边形面积的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】先将双曲线的方程化为标准方程得，再根据双曲线渐近线方程求解即可.【详解】解：将双曲线的方程化为标准方程得，所以，所以其渐近线方程为：，即.故选：A.2、D【解析】根据给定条件利用组合数的性质计算作答【详解】因为，则由组合数性质有，即，所以n的值为10.故选：D3、B【解析】由空间向量的加法的平行四边形法则和三角形法则，可得所求向量【详解】连接，可得，又，所以故选：B.4、B【解析】根据双曲线定义结合，求得，在中，利用余弦定理求得之间的关系，即可得出答案.【详解】解：因为在双曲线中，因为，所以，所以，在中，，，由余弦定理可得，即，所以，所以，所以，所以双曲线的渐近线方程为.故选：B.5、A【解析】根据等差数列的性质化简已知条件可得的值，再由等差数列前项和及等差数列的性质即可求解.【详解】由等差数列的性质可得：，，所以由可得：，解得：，所以数列的前13项之和为，故选：A6、B【解析】取AD中点为G，连接GF、GE，易知△EFG为等腰三角形，且∠EGF为异面直线AC和BD所成角或其补角，据此可求∠FEG大小，从而得EF和AC所成的角的大小【详解】如图，取AD中点为G，连接GF、GE，易知FG∥BD，GE∥AC，且FG＝，GE＝AC，故FG＝GE，∠EGF为异面直线AC和BD所成角或其补角，故∠EGF＝60°或120°故EF和AC所成角为∠FEG或其补角，当∠EGF＝60°时，∠FEG＝60°，当∠EGF＝120°时，∠FEG＝30°，∴EF和AC所成的角等于30°或60°故选：B7、A【解析】求得，由此求得四边形的面积.【详解】圆的圆心为，半径；圆的圆心为，所以，由、两式相减并化简得，即直线的方程为，到直线的距离为，所以，所以四边形的面积为.故选：A8、D【解析】由抛物线准线与圆相切，结合抛物线方程，令求切线方程且抛物线准线方程为，即可求参数p.【详解】圆的标准方程为：，故当时，有或，所以或，得或6故选：D9、C【解析】根据，先求半焦距，再求焦距即可.【详解】解：由题意可得，，∴，故选：C【点睛】考查求双曲线的焦距，基础题.10、D【解析】过点A(3，3)且垂直于直线的直线斜率为，代入过的点得到.故答案为D.11、B【解析】根据杨辉三角可得数列的递推公式，结合累加法可得数列的通项公式与.【详解】由已知可得数列的递推公式为，且，且，故，，，，，等式左右两边分别相加得，，故选：B.12、D【解析】的否定是，的否定是，的否定是．故选D【考点】全称命题与特称命题的否定【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解析】求出双曲线的方程，可求得双曲线的两条渐近线方程，分析可知四边形为矩形，然后利用点到直线的距离公式以及矩形的面积公式可求得结果.【详解】因为双曲线为等轴双曲线，则，，可得，所以，双曲线的方程为，双曲线的渐近线方程为，则双曲线的两条渐近线互相垂直，则，，，所以，四边形为矩形，设点，则，不妨设点为直线上的点，则，，所以，.故答案为：.14、【解析】由椭圆方程和圆的方程可确定椭圆焦点、圆心和半径；当最小时，可知，此时；根据椭圆性质知，解方程可求得，进而得到离心率.【详解】由椭圆方程知其右焦点为；由圆的方程知：圆心为，半径为；当最小时，则最小，即，此时最小；此时，；为椭圆右顶点时，，解得：，椭圆的离心率.故答案为：.15、##【解析】利用抛物线的定义结合图形即得.【详解】抛物线的焦点为，准线的方程为，过点作，垂足为，则，所以的周长为，当且仅当三点共线时等号成立.故答案为：.16、，使得【解析】全称命题改否定，首先把全称量词改成特称量词，然后把后面结论改否定即可.【详解】解：因为命题，总有，所以的否定为：，使得故答案为，使得【点睛】本题考查了全称命题的否定，全称命题（特称命题）改否定，首先把全称量词（特称量词）改成特称量词（全称量词），然后把后面结论改否定即可.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）证明过程见解析.【解析】（1）根据等比数列的通项公式，结合对数的运算性质、等比数列和等差数列前项和公式进行求解即可；（2）根据等比数列的通项公式，结合双曲线渐近线方程和离心率公式进行证明即可.【小问1详解】设等比数列的公比为，因为，所以，因此，所以，所以；【小问2详解】由（1）知，在双曲线中，，所以得，因此双曲线的渐近线方程为：，双曲线的离心率为：，所以双曲线系中所有双曲线的渐近线、离心率都相同.18、（1）；（2）存在，直线方程为或.【解析】（1）利用待定系数法即求；（2）利用直线与圆的位置关系可得，然后利用菱形的性质可得圆心到直线的距离，即得.【小问1详解】曲线与轴的交点为，与轴的交点为，，设圆的方程为，则，解得.∴圆的方程为；【小问2详解】∵圆与直线交于，两点，圆化为，圆心坐标为，半径为.∴圆心到直线的距离，解得.假设存在点，使得四边形为菱形，则与互相平分，∴圆心到直线的距离，即，解得，经验证满足条件.∴存在点，使得四边形为菱形，此时的直线方程为或.19、（1）；（2）.【解析】（1）由焦距为，离心率为结合性质，列出关于的方程组，求出从而求出椭圆方程；（2）设出直线方程，代入椭圆方程，求出点D、E的坐标，然后利用|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，即可求解【详解】（1）由已知，，解得，所以椭圆的方程为（2）由（1）得过点的直线为，由，得，所以，所以，依题意，因为，，成等比数列，所以，所以，即，当时，，无解，当时，，解得，所以，解得，所以，当，，成等比数列时，【点睛】方法点睛（1）求椭圆方程的常用方法：①待定系数法；②定义法；③相关点法（2）直线与圆锥曲线的综合问题，常将直线方程代入圆锥曲线方程，从而得到关于（或）的一元二次方程，设出交点坐标），利用韦达定理得出坐标的关系,同时注意判别式大于零求出参数的范围（或者得到关于参数的不等关系），然后将所求转化到参数上来再求解．如本题及，联立即可求解．注意圆锥曲线问题中，常参数多、字母多、运算繁琐，应注意设而不求的思想、整体思想的应用．属于中档题.20、（1）（2）证明见解析，定值为【解析】（1）根据题意得到，，得到椭圆方程.（2）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，将题目转化为，化简得到，代入计算得到答案.【小问1详解】椭圆的离心率为，短轴端点到焦点的距离为，故，，故椭圆方程为.【小问2详解】当直线斜率存在时，设直线方程为，，，则，即，，以为直径的圆经过原点，故，即，即，化简整理得到：，原点到直线的距离为.当直线斜率不存在时，为等腰直角三角形，设，则，解得，即直线方程为，到原点的距离为.综上所述：原点到直线的距离为定值.【点睛】本题考查了椭圆方程，椭圆中的定值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将圆过原点转化为是解题的关键.21、（1）（2）（3）最大值为，最小值为【解析】（1）将点代入函数解析再结合前和即可求解；（2）运用错位相减法或分组求和法都可以求解；（3）将数列的通项变形为，再求和，通过分类讨论从单调性上分析求解即可.【小问1详解】因为点在函数的图像上，所以，又数列是等差数列，所以，即所以，；【小问2详解】解法1：，==，解法2：，①，②①-②得，；【小问3详解】记的前n项和为，则=，当n为奇数时随着n的增大而减小，可得，当n为偶数时随着n增大而增大，可得，所以的最大值为，最小值为.22、（1）；（2）6.【解析】（1）本小题根据题意