平面向量的正交分解及坐标表示高一下学期数学人教A版必修第二册

6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示第六章

平面向量及其应用复习引入1、什么是平面向量基本定理？2、平面向量基本定理的实质就是把向量分解为两个不共线的向量之和，同学们思考，这种分解是唯一的吗?

不是唯一的，不同的基底有不同的分解方法，但是对于同一个基底分解方法是唯一的.复习回顾

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且仅有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2

正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量．想一想：物理上是怎样对力进行分解的？观察两个分力的位置关系?重力G可以分解为两个分力：平行于斜面使木块沿斜面下滑的力F1，垂直于斜面的压力F2作用：在平面中，如果取相互垂直的向量作为基底，将为我们研究问题带来极大的方便。新知探究如图,向量i,j是两个互相垂直的单位向量,向量a与i的夹角是30°,且|a|=4,以向量i,j为基底,向量a如何表示?思考：新知探究

在平面直角坐标系中,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,任作一向量a,根据平面向量基本定理,a=xi+yj,那么(x,y)与A点的坐标相同吗?如果向量也用(x,y)表示,那么这种向量与实数对(x,y)之间是否一一对应?分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量{i，j}作为基底，则有且只有一对实数x，y，使得a＝xi+yj这样平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定思考：

新知探究平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝（x，y）．

①其中，x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，①叫做向量a的坐标表示．一、平面向量的坐标表示

你能写出向量i，j，0的坐标表示吗？i=（1，0）j=（0，1）0=（0，0）新知探究一、平面向量的坐标表示

点的坐标与向量坐标有何区别与联系？新知探究区别表示形式不同向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号意义不同点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，a＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)联系当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同【例1】如图，分别用基底{i，j}表示向量a，b，c，d，你能求出它们的坐标吗？同理，b＝－2i＋3j＝（－2，3），c＝－2i－3j＝（－2，－3），

d＝2i－3j＝（2，－3）．解：a＝＋＝2i＋3j，所以a＝（2，3）．典例分析【训练1】如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i、j作为基底，分别用i、j表示，并求出它们的坐标．巩固练习解：由图知OA＝6i＋2j，

OB＝2i＋4j，

AB＝－4i＋2j，

故它们的坐标表示为OA＝(6,2)，

OB＝(2,4)，

AB＝(－4,2)．小结：求平面向量坐标的方法(1)若i、j是分别与x轴、y轴同方向的单位向量,则当a=xi+yj时,向量a的坐标即为(x,y).(2)当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标才等于终点的坐标.(3)求向量的坐标一般转化为求点的坐标.解题时,常常结合几何图形,进行计算.巩固练习教学阐释教

学

阐

释一、教材内容分析

本节是高中数学人教A版必修2第六章第3节第二课时的内容．平面向量基本定理是坐标表示的基础，坐标表示使平面中的向量与坐标建立起了一一对应的关系，这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭建了桥梁，也决定了本课内容在向量知识体系中的核心地位.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示，培养学生数学抽象和直观想象的核心素养.教学阐释教

学

阐

释二、学情分析

学生已经掌握了向量的概念和简单的线性运算，并且上节课学习了平面向量的基本定理，学生对向量和数之间的关系已经有了一定的认识，已经能感觉到向量是可以用实数表示的，教师只需对学生进行适当的引导，让学生自己去发现最佳的表示方法，感受这个探究过程。教学阐释教

学

阐

释三、目标定位1、借助平面直角坐标系，理解平面向量的正交分解，培养数学抽象的核心素养．2、掌握平面向量的坐标表示,提升数学运算的核心素养．教学阐释教

学

阐

释四、目标解析（1）平面向量正交分解是以平面向量基本定理为基础，平面上给定两个不共线的向量，则任意向量均可分解为分别与它们共线得两个向量，如果这两个不同线的向量互相垂直，就得到向量的正交分解的概念．（2）类比平面直角坐标系中点的坐标的表示，思考直角坐标平面内向量的表示方法，由正交分解和单位向量做基底，由此给出向量坐标的概念.（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在向量的正交分解及坐标表示的教学中，从平面向量基本定理归纳推理概括正交分解和坐标表示是进行数学抽象教学的很好机会．教学阐释教

学

阐

释五、教学问题诊断分析1．教学问题一：如何进行向量的正交分解是本节课的第一个教学问题．解决方案：通过回顾平面向量基本定理，借助重力沿互相垂直的两个方向分解的例子说明．2．教学问题二：如何进行坐标表示是本节课的第二个教学问题．这是本节课的重点类．解决方案：类比平面直角坐标系中点的坐标的表示，借助图形观察发现向量的坐标和点的坐标之间的联系．教学阐释教

学

阐

释六、重难点分析1、基于教学目标分析，本节课的教学重点定为：掌握向量的坐标表示．2、基于教学问题的诊断分析，本节课的教学难点定为：了解平面向量的正交分解．教学阐释教

学

阐

释七、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到向量的正交分解及坐标表示，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中利用问题串的形式引导学生思考，讨论，可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视向量的正交分解及坐标表示，让学生体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．教学阐释教

学

阐

释八、教学过程设计本堂课由五个部分组成：（一）复习回顾；（二）新知探究；（三）典例分析；（四）课堂小结；（五）课后作业。1、复习回顾【设计意图】通过复习平面向量基本定理引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。教学阐释教

学

阐

释八、教学过程设计本堂课由五个部分组成：（一）复习回顾；（二）新知探究；（三）典例分析；（四）课堂小结；（五）课后作业。2、新知探究【设计意图】通过探究让学生理解平面向量的正交分解与坐标表示，培养数学抽象的核心素养。教学阐释教

学

阐

释八、教学过程设计本堂课由五个部分组成：（一）复习回顾；（二）新知探究；（三）典例分析；（四）课堂小结；（五）课后作业。3、典例分析【设计意图】通过例题巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增