河北省2025秋九年级数学上册第25章图形的相似学情评估卷新版冀教版

第二十五章学情评估卷一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1.已知eq\f(b,2)＝eq\f(a,5)(a，b≠0)，则下列变形不正确的是()A.eq\f(a,b)＝eq\f(5,2)B．2a＝5bC.eq\f(b,a)＝eq\f(2,5)D．5a＝2b2．如图，a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E和点B，D，F，AC＝4，CE＝6，BD＝2.4，则DF的长为()A．1.6B．3C．3.6D．63．大自然是美的设计师，一片小树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AP的长度为10cm，那么AB的长度是()A．(5eq\r(5)＋5)cmB．(15－5eq\r(5))cmC．(5eq\r(5)－5)cmD．(15＋5eq\r(5))cm4．如图，已知∠ACP＝∠ABC，若AC＝4，AP＝2，则AB的长为()A．8B．3eq\r(2)C．16D．45．下列四个三角形，与如图中的三角形相似的是()6．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交边AB，AC于D，E两点，若AD∶DB＝2∶3，则△ADE与△ABC的面积比为()A．2∶3B．4∶9C．4∶25D．4∶217．已知在△ABC和△DEF中，eq\f(AB,DE)＝eq\f(BC,EF)＝eq\f(AC,DF)＝eq\f(5,6)，则△ABC与△DEF的周长之比为()A.eq\f(25,36)B.eq\f(5,6)C.eq\f(6,5)D.eq\f(36,25)8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，2)，B(4，1)，以原点O为位似中心，位似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A′的坐标是()A．(1，1)B．(4，4)或(8，2)C．(4，4)D．(4，4)或(－4，－4)9．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF＝3，则下列结论中不正确的是()A.eq\f(AF,DF)＝eq\f(1,2)B．S△BCE＝27C．S△ABF＝12D．△AEF∽△ACD10．如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一点，且AD＝2，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△ADE绕点A顺时针旋转到图②的位置，连接BD，CE，则图②中eq\f(BD,CE)的值为()A.eq\f(3,5)B.eq\f(4,5)C.eq\f(4,3)D.eq\f(3,4)二、填空题(本大题共3小题，每小题4分，共12分)11.若如图所示的两个四边形相似，则α＝________．12．如图，在矩形ABCD中，连接BD，点E在AD上，连接CE，交BD于点F，且△DEF∽△DBA.若AB＝1，∠CBD＝30°，则eq\f(EF,CF)的值为________．13．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是线段BC上一动点，若点D从点B开始向点C运动．设P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是______．三、解答题(本大题共4小题，共48分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)14.(8分)已知：线段a，b，c，且eq\f(a,2)＝eq\f(b,3)＝eq\f(c,4).(1)求eq\f(a,a＋b)的值；(2)若线段a，b，c满足a＋b＋c＝27，求a，b，c的值．

15.(12分)如图，在△ABC中，点D是边AB上一点．(1)当∠ACD＝∠B时，①求证：△ABC∽△ACD；②若AD＝1，BD＝3，求AC的长．(2)若AB＝eq\r(2)AC＝2AD，CD＝2，求BC的长．16．(13分)如图①，小红家的阳台上放置了一个晒衣架，图②是晒衣架的侧面示意图，立杆AB，CD相交于点O，B，D两点在地面上，经测量得到AB＝CD＝136cm，OA＝OC＝51cm，OE＝OF＝34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段．【发现】连接AC，则AC与EF有何位置关系？并说明理由．【探究】若EF＝32cm，利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？17．(15分)如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点P从点A出发，沿折线AB－BC以每秒1个单位长度的速度运动，设点P的运动时间为ts(0<t<14)．(1)求AC的长．(2)如图②，当点P在BC上时，过点P作AC的垂线，垂足为D.①求证：△ABC∽△PDC；②当∠BAP＝45°时，求PD的长．(3)设点P运动的路程为x，当0<x≤6及6<x<14时，分别求点P到直线AC的距离．(用含x的式子表示)(4)过点P作PQ⊥AP，交AC于点Q.当CQ＝eq\f(5,4)时，请直接写出t的值．

答案1．D2.C3.A4.A5.B6.C7．B8.D9.D10.B11．87°12.eq\f(1,3)13.214．解：(1)设eq\f(a,2)＝eq\f(b,3)＝eq\f(c,4)＝k(k>0)，则a＝2k，b＝3k，c＝4k，故eq\f(a,a＋b)＝eq\f(2k,2k＋3k)＝eq\f(2,5).(2)∵a＋b＋c＝27，∴2k＋3k＋4k＝27，解得k＝3，∴a＝2k＝6，b＝3k＝9，c＝4k＝12.15．(1)①证明：∵∠A＝∠A，∠B＝∠ACD，∴△ABC∽△ACD.②解：∵AD＝1，BD＝3，∴AB＝AD＋BD＝1＋3＝4.∵△ABC∽△ACD，∴eq\f(AC,AD)＝eq\f(AB,AC)，∴AC＝eq\r(AB·AD)＝eq\r(4×1)＝2.(2)解：∵AB＝eq\r(2)AC＝2AD，∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(AC,AD)＝eq\r(2).又∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD，∴eq\f(BC,CD)＝eq\f(AB,AC)＝eq\r(2)，∴BC＝eq\r(2)CD＝eq\r(2)×2＝2eq\r(2).16.解：【发现】AC∥EF.理由如下：∵立杆AB，CD相交于点O，∴∠AOC＝∠EOF.又∵eq\f(OA,OE)＝eq\f(OC,OF)＝eq\f(51,34)＝eq\f(3,2)，∴△AOC∽△EOF，∴∠OAC＝∠OEF，∴AC∥EF.【探究】如图，过点A作AM⊥BD于点M，过点O作ON⊥EF于点N.∵OE＝OF＝34cm，∴△OEF是等腰三角形，∴∠OEF＝∠OFE＝eq\f(1,2)(180°－∠EOF)．∵ON⊥EF，EF＝32cm，∴EN＝FN＝eq\f(1,2)EF＝16cm.在Rt△OEN中，根据勾股定理，可得ON＝eq\r(OE2－EN2)＝eq\r(342－162)＝30(cm)．∵ON⊥EF，AM⊥BD，∴∠ONE＝∠AMB＝90°.∵OA＝OC，AB＝CD，∴OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB＝eq\f(1,2)(180°－∠BOD)，∴∠OBD＝∠OEF，∴△ABM∽△OEN，∴eq\f(OE,AB)＝eq\f(ON,AM)，即eq\f(34,136)＝eq\f(30,AM)，∴AM＝120cm.∴利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于120cm时，连衣裙才不会拖在地面上．17．(1)解：∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝10.(2)①证明：∵PD⊥AC，∴∠CDP＝∠B＝90°.又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△PDC.②解：∵∠BAP＝45°，∠B＝90°，∴△ABP是等腰直角三角形，∴BP＝AB＝6，∴CP＝2.∵△ABC∽△PDC，∴eq\f(PD,AB)＝eq\f(CP,AC)，即eq\f(PD,6)＝eq\f(2,10)，∴PD＝1.2.(3)解：当0<x≤6时，作PD⊥AC于点D，如图①，∵∠ADP＝∠B＝90°，∠A＝∠A，∴△ADP∽△ABC，∴eq\f(AP,AC)＝eq\f(PD,BC)，∴eq\f(x,10)＝eq\f(PD,8)，∴PD＝eq\f(4,5)x.当6<x<14时，作PD⊥AC于点D，如图②，∵∠CDP＝∠B＝90°，∠C＝∠C，∴△PDC∽△ABC，∴eq\f(PD,AB)＝eq\f(CP,AC)，∴eq\f(PD,6)＝eq\f(6＋8－x,10)，∴PD＝eq\f(42,5)－eq\f(3,5)x.综上所述，当0＜x≤6时，点P到AC的距离为eq\f(4,5)x；当6＜x＜14时，点P到AC的距离为eq\f(42,5)－eq\f(3,5)x.(4)解：t的值为eq\f(21,4)或eq\f(19－\r(31),2)或eq\f(19＋\r(31),2).点拨：当0<x≤6时，如图③，∵PQ⊥AP，∴∠APQ＝∠B＝90°.又∵∠A＝∠A，∴△APQ∽△ABC.∴eq\f(AP,AB)＝eq\f(AQ,AC)，即eq\f(AP,6)＝eq\f(10－\f(5,4),10)，∴AP＝eq\f(21,4)，∴t＝eq\f(21,4).当6<x<14时，过点Q作QH⊥BC于点H，如图④，∵∠CHQ＝∠B＝90°，∠C＝∠C，∴△CHQ∽△CBA，∴eq\f(CH,CB)＝eq\f(QH,AB)＝eq\f(CQ,AC)，∴eq\f(CH,8)＝eq\f(QH,6)＝eq\f(\f(5,4),10)＝eq\f(1,8)，∴CH＝1，QH＝eq\f(3,4).∵∠BAP＋∠APB＝90°，∠QPH＋∠APB＝90°，∴∠BAP＝∠QPH.又∵∠B＝∠PHQ＝90°，∴△ABP∽△PHQ，∴eq\f(AB,PH)＝eq\f(BP,