2025-2026学年北京市燕山区八年级（上）期中数学试卷（含答案）

第=page22页，共=sectionpages22页2025-2026学年北京市燕山区八年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在我国传统的祥瑞纹样中、云纹有着流动飘逸的曲线和回转交错的结构，是生动，灵性，精神以及样瑞的载体和象征.下列四个云纹纹样中，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.若一个三角形的三条边长分别为2，5，c,则c的长可以是（）A.2 B.3 C.5 D.73.下列各式计算正确的是（）A.a3•a2=a6 B.（2a）3=2a3 C.（a3）2=a5 D.a6÷a2=a44.在平面直角坐标系xOy中，点（2，3）关于y轴的对称点坐标是（）A.（2，-3） B.（-2，3） C.（-2，-3） D.（3，2）5.将一副三角板按如图所示的方式放置，图中∠CAF的大小等于（）

​​​​​​​A.50° B.60° C.75° D.85°6.下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法．（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；

（2）作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；以点C′为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D′；

（3）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB.

上述方法通过判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′=∠AOB，其中判定△C′O′D′≌△COD的依据是（）A.三边分别相等的两个三角形全等

B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等

D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等7.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E.若△ABC的周长为23，BE=3，则△ABD的周长为（）A.14

B.15

C.16

D.178.如图，AB=AC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，CF与BE交于点D，有下列结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上；④AB=DF+DB.其中所有正确结论的序号是（）A.①②

B.②③

C.①②③

D.①②③④二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。9.计算：2a2•a4=______．10.分解因式：a3-ab2=

．11.港珠澳大桥全长约55公里,集桥、岛、隧于一体,是连接香港、珠海和澳门的超大型跨海通道,是迄今世界最长的跨海大桥.下图是港珠澳大桥中的斜拉索桥,索塔、斜拉索、桥面构成了三角形,这样使其更稳定,其中运用的数学原理是

.

12.如图，点E，F在BC上，AB=CD，AF=DE，AF，DE相交于点G，若添加一个条件，可使得△ABF≌△DCE，则添加的条件可以是

.

13.如图，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，且PC=PD.如果∠AOP=20°，那么∠CPD的度数是

.

14.若多项式x2+nx-2因式分解的结果为（x-2）（x+1），则n的值为

.15.某“数学乐园”展厅的WIFI密码被设计成如图所示的数学问题.小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络.他输入的密码是

.16.如图，有正方形A，B，现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2，若图1，图2中阴影部分的面积分别为4，30.

（1）正方形A和B的面积和是______；

（2）图2中新的正方形的边长是______.三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

计算：

（1）（x+1）（x+2）；

（2）（6a3-9a2+3a2）÷3a2.18.(本小题4分)

分解因式：ax2+8ax+16a.19.(本小题4分)

如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．求证：BE=CD．20.(本小题6分)

下面是小东设计的尺规作图过程：

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°.

求作：点D，使得点D在BC边上，且到AB和AC的距离相等.

作法：①如图，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB和AC于点M，N；

②分别以点M，N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点P；

③画射线AP，交BC于点D.

所以点D即为所求.

根据小东设计的尺规作图过程，回答以下问题：

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明：

证明：过点D作DE⊥AC于点E，连接MP，NP.

在△AMP和△ANP中，

，

∴△AMP≌△ANP（SSS）.

∴∠______=∠______（______）.

∵∠ABC=90°，

∴DB⊥AB.

∵DE⊥AC，

∴DB=DE（______）.21.(本小题5分)

已知x2+2x-2=0，求代数式x（x+2）+（x+1）2的值.22.(本小题5分)

如图①是由方尊缶（中间小正方形，冷藏食物）和方鉴（外围大正方形，放置冰块）组成的套器青铜冰鉴，古人用于冷藏保存食物，其从上面看到的图形如图②所示.若大正方形的边长为（2a+b）dm,小正方形的边长为（2a-b）dm,放置冰块部分的面积记为Sdm2.

（1）用含a,b的代数式表示S；

（2）若ab=6.5dm2，求S的值.23.(本小题5分)

如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），连接CD交BE于点O.

（1）若CD是中线，BC=3，AC=2，求△BCD与△ACD的周长差；

（2）若CD是高，∠ABC=64°，求∠BOC的度数.24.(本小题5分)

已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点.如图，在方格纸上建立平面直角坐标系，△ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为（4，-1）.

（1）请以x轴为对称轴，画出与△ABC对称的△A1B1C1，同时写出点C1的坐标______；

（2）如果以点A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等，那么点D的坐标是______.25.(本小题6分)

如图，四边形ABCD中，AB=AC，∠D=90°，BE⊥AC于点F，交CD于点E，连接EA，EA平分∠DEF.

（1）求证：AF=AD；

（2）若BF=7，DE=3，求CE的长.26.(本小题6分)

阅读下列材料：

如果整数x,y满足x=a2+b2，y=c2+d2，其中a,b,c,d都是整数，那么一定存在整数m,n,使得xy=m2+n2.

例如，25=32+42，40=22+62，25×40=302+（-10）2或25×40=182+262，…

根据上述材料，解决下列问题：

（1）已知5=12+22，34=32+52，5×34=12+132或5×34=m2+112，…，若m＞0，则m=______；

（2）已知13=22+32，y=c2+d2（c,d为整数），13y=m2+n2.若m=3c+2d,求n；（用含c,d的式子表示）

（3）一般地，上述材料中的m,n可以用含a,b,c,d的式子表示，请直接写出一组满足条件的m,n（用含a,b,c,d的式子表示）.27.(本小题7分)

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2α（45°＜α＜90°），射线AD，AE的夹角为α.过点B作BF⊥AD于点F，直线BF交AE于点G，连接CG.

（1）如图1，射线AD，AE都在∠BAC内部.在直线BG上取一点B′，使得FB′=FB，连接AB'，请补全图1并证明B′G=CG.

（2）如图2，射线AE在∠BAC的内部，射线AD在∠BAC的外部，其他条件不变，用等式表示线段BF，BG，CG之间的数量关系，并证明.

28.(本小题7分)

在平面直角坐标系xOy中，对于点A和点B，若存在点C，使得∠ABC=90°，且BC=AB，则称点C为点A关于点B的“相关点”.

（1）如图1，已知点P的坐标为（3，1）.

①在点P1（-1，3），P2（0，3），P3（1，-3）中，点P关于点O的“相关点”为______；

②若点P为点O关于点Q的“相关点”，在图1中画出点Q，并写出点Q的坐标.

（2）如图2，若点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（a,0），直接写出点A关于点B的“相关点”的坐标（用含a的代数式表示）.

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】2a6

10.【答案】a（a+b）（a-b）

11.【答案】三角形具有稳定性

12.【答案】∠A=∠D（答案不唯一）

13.【答案】140°

14.【答案】-1

15.【答案】2024

16.【答案】34；

8

17.【答案】x2+3x+2；

2a-2

18.【答案】a（x+4）2．

19.【答案】证明：∵在△ABE和△ACD中

，

∴△ABE≌△ACD（ASA），

∴BE=CD．

20.【答案】PAM

PAN

全等三角形的对应角相等

角平分线上的点到角的两边的距离相等

21.【答案】5．

22.【答案】S=8ab；

52（dm2）

23.【答案】解：（1）∵△BCD的周长=BC+CD+BD，△ACD的周长=AC+CD+AD，

∴△BCD与△ACD的周长差为：（BC+CD+BD）-（AC+CD+AD）=BC-AC+BD-AD，

∵CD是△ABC的中线，

∴AD=BD，

∵BC=3，AC=2，

∴BC-AC+BD-AD=BC-AC=1，

答：△BCD与△ACD的周长差为1；

（2）∵BE是∠ABC的平分线，∠ABC=64°，

∴，

∵CD是△ABC的高，

∴∠CDB=90°，

∴∠BOC=∠CDB+∠ABE=122°．

24.【答案】（4，1）

（2，-1）或（2，-7）或（4，-7）

25.【答案】（1）证明：∵∠D=90°，

∴AD⊥DE，

∵EA平分∠DEF，

∴∠EAD=∠EAF，

∴∠AED=∠AEF，

又∵AF⊥EF，

∴AF=AD；

（2）解：在Rt△ABF和△RtACD中，

，

∴Rt△ABF≌△RtACD（HL），

∴BF=CD=7，

∵DE=3，

∴CE=CD-DE=7-3=4．

26.【答案】7；

n=2c-3d或n=-2c+3d；

m=ac+bd，n=ad-bc或bc-ad

27.【答案】在直线BG上取一点B′，使得FB′=FB，连接AB'，如图1即为所求；

∵BF⊥AD，FB′=FB，

∴∠BAD=∠B′AD，AB=AB′，

∵AB=AC，

∴AB′=AC，

∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2α（45°＜α＜90°），射线AD，AE的夹角为α，

∴∠BAD+∠CAG=∠B′AD+∠B′AG=α，

∴∠CAG=∠B′AG，

在△CAG和△B′AG中，

，

∴△CAG≌△B′AG（SAS），

∴B′G=CG；

CG=BG+2BF；

证明：如图2，BF⊥AD，在直线BG上取一点P，使得AP=AB，连接AP，

∴∠BAD=∠PAD，BF=PF，

∵