河南省TOP二十名校2025-2026学年高一上学期十月调研考试数学试题（解析版）

2028届高一年级TOP二十名校十月调研考试数学试题考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.考试范围：集合与常用逻辑用语，一元二次函数､方程和不等式，函数的概念及其表示.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若集合，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解即可.【详解】因为，又，所以.故选：A.2.下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（）A.，对应关系B.，对应关系C.，对应关系D.，对应关系【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义逐一判断即可.【详解】对于A，因为，但是没有意义，0在中无对应的元素，A不符合题意；对于B，因为对于任意一个实数，当时，无意义，B不符合题意；对于C，任意一个实数，，因此同时满足任意性和唯一性，C符合题意；对于D，当时，，不满足函数值的唯一性，D不符合题意.故选：C.3.已知命题；命题，则（）A.是假命题 B.的否定是真命题C.是真命题 D.的否定是真命题【答案】D【解析】【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的定义判断命题和命题的真假，进而判断选项即可.【详解】命题，当时，，则是真命题；命题，当时，，则是假命题.综上所述，是真命题，的否定是假命题，是假命题，的否定是真命题.故选：D.4若函数则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】结合一次函数的单调性求解即可.【详解】当时，，则；当时，，则，所以函数的值域为.故选：A.5.已知函数，则的值域为单元素集合的充要条件是（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】化简，进而求解判断即可.【详解】由题意，，则，要使值域为单元素集合，则，即，故B正确，AC错误；对于D，由，等价于，即，此时由可得，但由得不到，故D错误.故选：B.6.学校举办秋季运动会，某班级报名参加跑步比赛的有15人，参加球类比赛的有14人，参加跳绳比赛的有8人，其中只报名参加一项比赛的有20人，则兼报三项比赛的人数最多为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】设恰好报名参加两项比赛的有人，兼报三项比赛的有人，由题意可得，进而得到，再分析求解即可.【详解】设恰好报名参加两项比赛的有人，兼报三项比赛的有人，则，所以，要让最大，则需要最小，若，则，不满足题意；若，则，满足题意，所以兼报三项比赛的最多有5人.故选：C.7.已知函数，若，则的最大值为（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】根据全称量词命题的定义结合函数恒成立问题求解即可.【详解】因为，所以，所以的最大值为.故选：D.8.设表示不超过的最大整数，如，若为正实数，则的最小值为（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】解题的关键在于理解的定义，然后利用基本不等式求出的最小值，再结合的定义求出的最小值.【详解】因为为正实数，所以，当且仅当时等号成立，从而中至少有一个不小于2，不妨设，则，所以.假设的最小值为2，，，所以，所以，与矛盾，假设不成立，A错误；假设的最小值为3，则，或，，同理，可得，显然不成立，B错误；假设的最小值为4，同理，易得，若取，则，即，假设成立，C正确，D错误.故选：.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列选项中，是的必要不充分条件的是（）A.B.C.：关于的方程有解，或D.【答案】AB【解析】【分析】根据充分、必要条件的定义判断各选项即可.【详解】对于A选项，，即，，即，所以是的必要不充分条件，故A正确；对于B选项，若取，则满足，不满足，则不是的充分条件，显然，即是的必要不充分条件，故B正确；对于C选项，：关于的方程有解，即，而或，所以是的充要条件，故C错误；对于D选项，仅是方程的一组解，所以是的充分不必要条件，故D错误.故选：AB.10.已知正实数满足，则（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据基本不等式求解判断各选项即可.【详解】因为为正实数，所以，当且仅当时等号成立，则，所以，当且仅当时等号成立，故A正确，B错误；由，则，所以，当且仅当时等号成立，故C错误，D正确.故选：AD.11.设集合，若，使得（两两不等），则称为集，下列结论错误的是（）A.若集合是集，集合是非空数集，则是集B.若是集，则C.若集合是集，集合，则为集D.且，使得是集【答案】AB【解析】【分析】选项，结合题设定义举例判断即可；B选项，根据题设定义可得，或，或，进而求解判断即可；C选项，由是集可得存在（两两不等），使得，根据中的元素个数不小于2，可得且，使得，进而得到，即可判断；D选项，先假设是集，再推出矛盾即可判断.【详解】选项，若取，则，显然不符合集的定义，A错误；B选项，由集的定义及已知得，，或，或，解得或（舍去），B错误；C选项，由是集，所以存在（两两不等），使得，因为中的元素个数不小于2，所以且，使得，且两两不等，由，得，所以为集，C正确；D选项，设，取，满足（两两不等），存在,是集，，D正确.故选：AB.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知非空集合，若，则的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】由得，进而根据包含关系求解即可.【详解】因为，所以，又集合为非空集合，则，解得，则的取值范围是.故答案为：.13.不等式的解集为__________.【答案】【解析】【分析】根据分式不等式的解法求解即可.【详解】当，即时，不等式成立；当时，由.综上所述，不等式的解集为.故答案为：.14.如果为正整数且不是一个完全平方数，那么可以表示为的形式.若，则的值分别为__________.【答案】4，3，8【解析】【分析】根据给定条件，推理可得，再由表示式的结构形式列出方程，借助恒等式求出即可.【详解】由，则，而，所以，所以，则，所以，则，因为，所以，解得.故答案为：4，3，8.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知集合.（1）求；（2）求【答案】（1）或（2）或.【解析】【分析】（1）首先解不等式得到，再求其补集即可.（2）首先解不等式得到或，再求即可.根据集合，【小问1详解】因为，所以【小问2详解】因为或，所以或，所以.16.设为正实数，且.（1）求的最小值；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）9（2）【解析】【分析】（1）根据基本不等式“1”的代换，计算即可得答案.（2）基本不等式得，，根据条件得，整理计算，即可得答案.【小问1详解】由，得，所以当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9.【小问2详解】由基本不等式得，，当且仅当时等号成立，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，解得，又为正实数，所以，即的取值范围是.17.设函数.（1）当时，若，求实数的取值范围；（2）当时，若，求实数的取值范围；（3）若关于的不等式的解集为，求实数的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）当时，将条件转化为关于的不等式有解，则判别式，即可得答案.（2）当时，将条件转化为关于的不等式恒成立，则判别式，即可得答案.（3）将条件转化为为方程的两个根，根据韦达定理即可得答案.【小问1详解】当时，，因为，所以关于的不等式有解，所以，解得，即实数的取值范围是.【小问2详解】当时，，因为，所以关于的不等式恒成立，所以，解得，即实数的取值范围是.【小问3详解】，因为不等式的解集为，所以为方程的两个根，所以，解得.18.如图，在坐标平面内，老张用竹篱笆与轴围成了一块空地作休闲之用，竹篱笆可看作抛物线的一部分，已知的顶点为，且与轴的交点分别为（为坐标原点）.另外，老张拟在的左侧铺设一条直路作交通之用，的解析式为，且与只有一个公共点.（1）求的解析式；（2）设与轴，直线分别交于点，直线与轴交于点，老张打算将，直线轴和轴围成的阴影部分作种菜之用，试问当为何值时，菜园的面积取得最小值？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设抛物线方程的顶点式方程，结合点的坐标代入，即可求得答案；（2）由题意知菜园的面积取得最小值等价于梯形的面积取得最小值，从而结合直线以及抛物线方程求出相关点的坐标，求出梯形的面积的表达式，利用基本不等式判断其最小值情况，即可求得答案.【小问1详解】因为的顶点为，设其方程为，因为通过原点，所以，所以，所以.【小问2详解】由题意可知，与x轴围成的区域的面积为定值，故菜园的面积取得最小值等价于梯形的面积取得最小值.由消去得，，因为在的左侧，且与只有一个公共点，则方程有两个相同的实数根，所以，所以，且，即，则的解析式为，令，得；令，得，所以.所以梯形的面积当且仅当即时，等号成立，所以当时，菜园的面积取得最小值.19.（1）已知，求证：；（2）设函数的定义域均为，若，则称是上的“和有界函数对”.（i）若是上的“和有界函数对”，证明：；（ii）当，且时，若是上的“和有界函数对”，是上的“和有界函数对”，请判断是否是上的“和有界函数对”，若是，请给出证明；若不是，请给出反例.【答案】（1）证明见解析；（2）（i）证明见解析；（ii）是，证明见解析【解析】【分析】（1）结合绝对值的几何意义去绝对值，再利用不等式的性质证明即可；（2）（i）根据题干所给定义证明即可；（ii）根据题干所给定