高考物理一轮复习专题42曲线运动-抛体运动-(原卷版+解析)

考点12曲线运动-抛体运动

1.通过实验，探究并认识平抛运动的规律。会用运动合成与分解的方法分析

新课程标准平抛运动。体会将复杂运动分解为简单运动的物理思想。能分析生产生活中

的抛体运动。

考查的内容多贴近生活实际，试题多涉及平抛运动的合成和分解，考查考生

命题趋势的情境分析能力，提取信息进行物理情境构建的能力，应用基本规律分析、

推理和计算的能力。

生活中的抛体运动，射箭、踢足球、打羽毛球、排球、摩托车越野

试题生活实践类

等动力学及临界问题，

情境

学习探究类与斜面或圆弧面有关的平抛运动

考问-抛体运动的规律

考问二速度与位移的分解

考问三临界问题与多体问题

考向四生活新情景问题

抛体运动的规律

一、平抛运动

i.性质：平抛运动是加速度为4的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。

2.研究方法：运动的合成与分解

（1）水平方向：匀速直线运动。

（2）竖直方向：自由落体运动。

合速度的大小v=7£+芸=75+人干

设合速度的方向与水平方向的夹角为。，有

f水平方向:X=Vot

（2）位移＜

12

竖直方向:y=f一

合位移的大小5=^/7+7=

设合位移的方向与水平方向的夹角为。，有

tana=-y=—gi

x2的

平抛运动的轨迹：由刀=外£,得尸费点所以平抛运动的轨迹是一条抛物线。

（3）常用结论:

①运动时间：t=，时间取决于下落高度h,与初速度V。无关.

②水平射程：X=Vot,7K平射程由初速度V。和下落高度h共同决定.

③落地速度：哀疏，落地速度也只与初速度v。和下落高度h有关.

（4）三个重要结论:

①合速度方向与水平方向的夹角〃和合位移方向与水平方向的夹角。的关系，tan^=2tana.

②做平抛（或类平抛）运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，即加

=5。

③速度变化：平抛运动是匀变速由线运动，故在相等的时间内，速度的变化量（△=g八七）相等，且必沿

竖直方向，如图所示。任意两时刻的速度与速度的变化量△/构成三角形，△/沿竖直方向。

注意：

(1)水平方向分速度保持匕.二%;竖直方向，加速度恒为g,速度｛=gt。从抛出点起，每限加时间的速

度的矢量关系如图所示，这一矢量关系有两个特点：

①任意时刻的速度水平分量均等于初速度等于%;

②任意相等时间间隔&内的速度改变量均整直向下，且4=4.

(2)在连续相等时间间隔4内，竖直方向上的位移与水平方向上的位移变化规律：

在连续相等的时间间隔内，水平方向的位移。%二%々=々&=匕，即位移不变：竖直方向上的位移

oy\=y%=>'2)'3=g(4)2，即位移差不变。

二、一般的抛体运动

1.定义：将物体以初速度依斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动.

2.性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线.

3.研究方法：运动的合成与分解

(1)水平方向：匀速直线运动；

(2)竖直方向：匀变速直线运动.

4.基本规律

以斜抛运动的抛出点为坐标原点〃，水平向右为X轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的

平面直角坐标系彳勿.

初速度可以分解为侬=i^cos。，voy=vbsin0.

在水平方向，物体的位移和速度分别为

X=M"=(%COS@

Vr=侬=VbCOS8②

在竖直方向，物体的位移和速度分别为

y=哂一会/=(的sin③

vy=Vor—gt=vbsin0-gt®

5.方法与技巧

(1)斜抛运动中的极值

vbsin

在最高点，修=0，由④式得到t=⑤

g

VoCOSDVx

X

Vx

水平方向---匀速直线运动匕=*）cos。；①一分为二：从最高点分为两个平抛运与：

②逆向思维

竖直方向一一竖直上抛运动vv.=%Sin0-gt

【典例1】某物体做平抛运动时,它的速度方向与水平方向的夹角为心其正切值tan。随时间£变化的

图象如图所示，3取lOm/s?）则（）

A.第1s物体下落的高度为5mB.第1s物体下落的高度为10m

C.物体的初速度为5m/sD.物体的初速度为15m/s

答案：：A

解析：：囚tano=—=-t,对应图象可得直=1,的=10m/s,C、D错误；笫1s内物体下落的高度力

KiVbVoZ

gt2=^X10XI2m=5m,A正确，B错误.

【奥阿2J（多选）（2023•惠州模拟）某人向放在水平地面上正前方的小桶中水平抛球，结果球划着一条弧线

飞到小桶的前方，如图所示。不计空气阻力，为了能把小球抛进小桶中，则下次再水平抛球时，可能做出

的调整为（）

A.减小初速度，抛出点高度不变

B.增大初速度，抛出点高度不变

C.初速度大小不变，降低抛出点高度

D.初速度大小不变，增大抛出点高度

答案:AC

解析：由X=P艮可知，要使小球抛进小桶中，可高度不变，减小初速度，也可初速度不变，降低抛出点的

高度，故A、C正确。

【典例3】（多选）如图所示,从地面上同一位置抛出两小球A、B,分别落在地面上的M、N点，两球运

动的最大高度相同.空气阻力不计，则（）

A

B

A.B的加速度比A的大

B.B的飞行时间比A的长

C.B在最高点的速度比A在最高点的大

D.B在落地时的速度比A在落地时的大

答案：CD

解析•：在同一位置抛出的两小球，不计空气阻力，在运动过程中的加速度等于重力加速度，故A、B

的加速度相等，选项A错误；根据h=Jgt2,两球运动的最大高度相同，故两球飞行的时间相等，选项B错

误；由于B的射程大，根据水平方向匀速运动的规律乂=\4，故B在最高点的速度比A的大，选项C正确；

根据竖直方向自由落休运动，A,B落地时在竖直方向的速度相等，B的水平速度大，速度合成后B在落地

时的速度比A的大，选项D正确.

练习1.（多选）（2023•山东济南二模）以外的速度水平抛出一物为，当其水平分位移与竖直分位移大小相等

时，下列说法正确的是（）

A.此时速度的大小是乖仲B.运动时间是包

D.运动的位移是呼

C.竖直分速度大小等于水平分速度大小

答案:ABD.

解析：：物体做平抛运动，根据平抛运动的规律可得水平方向上：竖直方向上：当其水平分

位移与竖直分位移大小相等时，x=h,所以解得，=出，故B正确；平抛运动竖直方向上的

乙8

速度为匕=g£=g・==2i仇故C错误；此时合速度的大小为y席+内,故A正确；由于此时的水平

分位移与竖直分位移相等，所以户力=的£=的・?=（，所以此时运动的合位移的大小为、

=为底，故D正确.

g

练习2.如图所示，将一小球从坐标原点沿着水平轴Ox以外=2m/s的速度抛出，经过一段时间小球到达P

点，也为尸点在公轴上的投影，作小球轨迹在〃点的切线并反向延长，与公轴相交于Q点，已知QJ/=3m,

则小球运动的时间为（）

_»oQM

：

A.1sB.2s

C.3sD.4s

答案:C

解析：由平抛运动的推论可知，Q为〃V的中点，则从。点运动到户点的过程中，小球发生的水平位移

S"=〃JU2QJU6m0由于水平方向做匀速直线运动，则小球运动的时间为f=」」=3s,CE确。

14)

练习3.平抛运动可以分解为水平和竖直方向的两个直线运动，在同一坐标系中作出这两个分运动的片「图

线，如图所示.若平抛运动的时间大于2力，下列说法中正确的是(

A.图线1表示竖直分运动的广Z图线

B.力时刻的速度方向与初速度方向的夹角为30°

c.0时间内的位移方向与初速度方向夹角的正切值为:

D.2右时间内的位移方向与初速度方向夹角为60°

答案:C

解析：由广£图线可以看出，图线1表示水平分运动，图线2表示竖直分运动，故A错误；△时刻以

1

-gtx

=5，合速度与水平方向的夹角为45°,B错误；由tana=-%=gh,得：tanQ=5，C正确；2力

hfiN

102

5g2力

时间内：tana'=———=1,a'=45°,故D错误.

riAZCi

【巧学妙记】

平抛运动中物理量的关系图

两个三角形，速度与位移;

九个物理量，知二能求一;

时间和角度，桥梁和纽带;

时间为明线，角度为暗线。

L_________________________________________________

速度与位移的分解

一、速度的分解

1.从斜面外恰好与斜面平行的方向落到斜面（如图）:

合速度与水平速度的夹角等于斜面倾角，常用速度关系tan。=上=区.

VxVo

2.从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，即已知速度方向沿该点圆弧的切线方

向

3.从圆柱体轨道外平抛，小球恰好从圆柱体表面Q点沿切线飞过，如图所示，即已知速度方向沿该点圆柱

体的切线方向。此时半径0Q垂直于速度方向，圆心角。与速度的偏向角相等。

4.对着斜面平抛

垂直撞在斜面上，已知速度方向垂直斜面向下（如图）

处理方法：分解速度.

%=VO

Vy=gt

V

tan0x

Vygt

可求得t=X

gtan0

二、位移的分解

1.落到斜面上，已知位移方向沿斜面向下(如图)

X=V<st

片区

tan。=上

x

在斜面上以不同的初速度水平抛出的物体，若落点仍在斜面上，则存在以下规律：

(D物体的竖直位移与水平位移之比是同一个常数，这个常数等于斜面倾角的正切值;

(2)物体的运动时间与初速度成正比；

(3)物体落在斜面上，位移方向相同,都沿斜面方向：

(4)物体落在斜面上时的速度方向平行；

(5)当物体的速度方向与斜面平行时，物体离斜面的距离最远。

2.在半圆内的平抛运动

由半径和几何关系制约平抛运动时间t:h=-"土q*一力~'=的

联立两方程可求t.

oR

w

3.在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示，已知位移方向垂直斜面

八5nX的£2%

分解位移tan0=-=---=—

犷

【典例4】（2023•内蒙占集宁一中模拟）如图所示，某一小球以ro=lOm/s的速度水平抛出，在落地之前

经过空中力、8两点，在力点小球速度方向与水平方向的夹角为45°,在4点小球速度方向与水平方向的夹

角为60°（空气阻力忽略不计，g取lOm/s?）.以下判断中正确的（）

A.小球经过力、8两点间的时间：=小s

B.小球经过月、〃两点间的时间t=\s

C./R4两点间的高度差力=10m

D.A.8两点间的高度差力=15m

答案：：C

解析：：根据运动的合成与分解知，6,尸㈱=10m/s,匕产的tan60°=y[ivo=lOy[im/s,则小球由力到《

的时间间隔A」=上二=s=（#—1）s,故A、B错误.力、8的高度差仁巴尸m

g1叱1（）11°v2g20

=10m,故C正确，D错误.

【典例5】（多选）如图所示,倾角为。的斜面静止在水平面上，在斜面上的力点以外的初速度水平抛出一小

球，其落点与力的水平距离为S；若改为2两的速度在同一点抛出，则落点与力的水平距离为S2,则S：52

可能为（）

A.1：2B.1：3

C.1：4D.1：5

答案:ABC

解析：当两次都落在斜面上时，由s=Pbt,尸%tan有s=-''"：）---，得所以Si:

S2=l：4；当两次都落在水平面上时，由s=%2,力=）g产有

得sx®所以s:s=l:2,而

乙2

一次落在斜面上一次落在水平面上时，其比值介于这两者之间，故A、B、C正确.

练习4如图所示，水平抛出的物体，抵达斜面上端〃处时其速度方向恰好沿斜面方向，然后沿斜面无摩擦

滑下，下列选项中的图象描述的是物体沿X方向和Y方向运动的速度一时间图象，其中正确的是（）

。［^——-X

y

答案:C

解析：0〜力段，水平方向：以=用恒定不变；竖直方向：Vy=gt\"〜b段，水平方向：以=环+3东平力竖

直方向：Vy=Vfy-\-awt（a,因此选项A、B、D均错误，C正确.

练习5.（2023•河北沧州市一模）如图所示，竖直平面内有力、B、C三点，三点连线构成一直角三角形，AB

边竖直，回边水平，〃点为■边中点。一可视为质点的物体从,4点水平抛出，轨迹经过〃点，与力。交于夕

点。若物体从4运动到£的时间为3从£运动到〃的时间为步则右：七为（）

C.2：3I).1：3

答案:A

解析：本题考查平抛运动的基本性质。设质点从力运动到〃所需的总时间为人则£=力+储/ACB=

1212

铲产1

0,设平抛的初速度为小由平抛运动规律得tan0=—=—解得三r）=市所以力：七=】：1,故A

Vnt\t2

正确。

处理此类问题的重点在于结合实际模型，对题意进行分析，提炼出关于临界条件的关键信息。此类问

题的临界条件通常为位置关系的限制或速度关系的限制，列出竖直方向与水平方向上的方程，将临界条件

代人即可求解。在分析此类问题时一定要注意从实际出发寻找临界点，画出物体运动的草图，找出临界条

件。

平抛运动的临界问题有两种常见恃形：（1）物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度；（2）物

体的速度方向恰好达到某一方向.

二、多体问题

1.多体平抛运动问题是指多个物体在同•竖直平面内平抛时所涉及的问题。

2.三类常见的多体平抛运动

（1）若两物体同时从同高度（或同点）抛出，则两物体始终在同高度，二者间距只取决丁两物体的水平

分运动。

（2）若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体的水平分

运动和竖直高度差决定。

（3）若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者■间距取决于两物体的水平分运动

和竖直分运动。

【典例6】（2023•广东五校一联）某科技比赛中,参赛者设计了一个轨道模型，如图所示.模型放到0.8m

高的水平桌子上，最高点距离水平地面2m,右端出口水平.现让小球由最高点静止释放，忽略阻力作用，

为使小球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为（）

A.0B.0.1mC.0.2mD.0.3m

答案：C

解析：小球从最高点到右端出口，满足机械能守恒，有侬■（〃一/»=；/〃/,从右端出口飞出后小球做平抛

运动，有*=九，方=9匕联立解得x=2^（H—h,根据数学知识知，当〃一力=力时，*最大，即方=lm

时，小球飞得最远，此时右端出口距离桌面高度为m-0.8m=0.2m,故C正确.

【典例7】（多选）如图所示，一网球运动员将球在边界正上方某处水平向右击出，球的初速度垂直于球网平

面，且刚好过网落在对方界内。相关数据如图，不计空气阻力，下列说法正确是（）

A.击球点高度打与球网高度饱之间的关系为/?.=1.8hz

B.若保持击球高度不变，球的初速度均只要不大于为丽;，一定落在对方界内

C.任意降低击球高度（仍大于力J,只要球的初速度合适，球一定能落在对方界内

D.任意增加击球高度，只要球的初速度合适，球一定能落在对方界内

答案:AD

31

解析：由题意可知球通过水平位移S和5$,所用的时间之比为2：3,则在竖直方向上，根据力=5白巴可得

4乙

弟*解得仁L8演故A正确；竖直方向上，根据力当巴可得时间

，若保持击球高度

不变，球恰不越界时，运动时间t.=，故可得球的最大初速度如；球恰好过网时，运

动时间t2=故可得球的最小初速度故球初速度的取值范围是

卜）&2gh\,选项B错误；任意降低击球高度（仍大于九），存在一个临界高度力”这个

4

临界高度值满足AI一九一彳目产一；*（£尸，）’,联立得该临界高度瓜一餐儿,球的初速度用

O

，低于这一高度击球，球不能落在对方界内，故选项。错误；增加击球高度，只要球的初速度合

适，球一定能落到对方界内，故D正确。

【典例8］（多选）在如图所示的平面直角坐标系中，A,B,C三个小球沿图示方向做平抛运动，已知三个

小球恰好在x轴上相遇，则（）

y

2y0,

>0

；X

0X。

A.小球A一定比小球B先抛出

B.小球A、B在空中运动的时间之比为2：1

C.小球A的初速度可能比小球B的初速度大

D.小球C的初速度可能比小球B的初速度小

答案:ACD

解析：A项，根据■知，A、B下落的高度之比为2：1,则运动时间之比为蛆：1,则A一定比小球

B先抛出，故A项正确，B项错误；

C项，由于不知道A、B球水平位移的关系，所以不能判断初速度大小关系，则A的初速度可能比小球B的

初速度大，故C项正确.

D项，B的高度小FC的高度，则B运动的时间小于C运动的时间，而B的水平位移又小于C的水平位移，

则不能判断B、C初速度大小关系，即小球C的初速度可能比小球B的初速度小，故D项正确.

练习6.（多选）（2023•郴州模拟）！多选）地面上有一个半径为"的圆形跑道ABCD,高为h的平台边缘上的P

点在地面上〃点的正上方，〃与跑道力筋的圆心。的距离为£"＞用，〃、力、0、。各点在同一水平直

线上，如图所示.跑道/应口上有一辆小火车（高度忽略不计）在做圆周运动，现从尸点以初速度睑水平抛出

一小沙袋，使其落入小火车中，沙袋所受空气阻力不计，重力加速度为8.则（）

I1-----：IB

1/东宁杳二分/

L—，D

A.要使沙袋落入小火车中，沙袋初速度的最大值为（£+•，聒

B.要使沙袋落入小火车中，沙袋初速度的最小值为公监

c.要使沙袋在笈处落入小火车中，沙袋初速度应为

2/1

D.要使沙袋在〃处落入小火车中，沙袋初速度应为yj—三

2/2

答案:AC

解析：沙袋从尸点被抛出后做平抛运动，由方=＞可知，

沙袋下落h高度所需时间沙袋在A

点落入小火车中时,，有XA=v/t=匕-R,解得沙袋的最小初速度匕=（,一同、/次当沙袋在“或〃点落入小

火车中时，有刈=【力，=4〃+〃，解得沙袋的初速度1小==VD；当沙袋在。点落入小火车中时，

有x尸vd=L+R,解得沙袋的最大初速度vk（/.+用、京选项A、C正确.

练习7.（2023•湖北八校联考）如图所示，K。和M*分别是坐标系x轴与y轴上的两点，。为8的中点,

用为QV的中点，a、b、c表示三个可视为质点的物体做平抛运动的轨迹，a、6抛出点的位置相同，a、c落

点的位置相同，以％、侬匕表示三个物体的初速度，&、加上表示三个物体做平抛运动的时间，则有（）

A.Ki•1.2B.Vb:v,=yf2:4

C.ta-tb=1•^2=

Detb-tC21

答案：B

解析：三个物体都做平抛运动，在竖直方向上是自由落体运动，由力=%/解得£=\月，可知下落

的时间之比为t*:tc=y[2：勺5：1,由x=%七解得IL:可知水平方向上物体的初速度之比匕：%:

匕二2：1：2小,故B正确，A、C、D错误。

练习&如图所示，相距/的两小球力、6位于同一高度力（1、力均为定值）。将力向4水平勉出的同时，

8自由下落。A.8与地面碰撞前后，水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反。不计空气阻力及

小球与地面碰撞的时间，则（）

A.A,4在第一次落地前能否相碰，取决于力的初速度

B.A.8在第一次落地前若不碰，此后就不会相碰

C.从8不可能运动到最高处相碰

D.A.5一定能相碰

答案：AD

解析：由题意知力做平抛运动，即水平方向做匀速直线运动，竖直方向为自由落体运动；4为自由落

体运动，力、6竖直方向的运动相同，二者与地面碰撞前运动时间右相同，且力=①，若第一次落

地前相碰，只要满足月运动时间即所以选项A正确；因为月、8在竖直方向的运动同步,

V1\

始终处于同一高度，且力与地面相碰后水平速度不变，所以月一定会经过8所在的竖直线与8相碰.碰撞

位置由4球的初速度决定，故选项B、C错误，选项D正确.

【巧学妙记】

临界问题解题技巧：

在题中找出有关临界问题的关键字，如''恰好不出界”、“刚好飞过壕沟”、

“速度方向恰好与斜面平行”、“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛

运动对应的位移规律或速度规律进行解题.

多体的平抛问题

转向党

L生活新情景问题

1.类平抛运动的特点

(1)有时物体的运动与平抛运动很相似，也是物体在某方向做匀速直线运动，在垂直匀速直线运动的方向上

做初速度为零的匀加速直线运动。对这种像平抛又不是平抛的运动，通常称为类平抛运动。

(2)受力特点：物体所受的合力为恒力，且与初速度的方向垂直。

(3)运动特点：在初速度内方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a

一上

------O

J1

如因所示,将质量为m的小球从倾角为。的光滑斜面卜才点以速度外水平抛HI(用的方向与切平行),小球

运动到8点的过程中做的就是类平抛运动。

2.类平抛运动与平抛运动的规律相类似，两者的区别

(1)运动平面不同：类平抛运动一任意平面：平抛运动一竖直面。

(2)初速度方向不同：类平抛运动一任意方向；平抛运动—水平方向。

(3)加速度不同：类平抛运动一a=£与初速度方向垂直；平抛运动一重力加速度g,竖直向下。

m

【典例9】E题口号为“一起向未来”的2022年北京冬奥会圆满落幕。跳台滑雪比赛在河北张家口举行，

如图，跳台滑雪赛道由助滑道人8、着陆坡C。、停止区OE三部分组成。比赛中，甲、乙两运动员先后以

速度匕、彩从。点正.上方8处沿水平方向飞出，分别落在了着陆坡的中点P和末端。，运动员可看成质点,

不计空气阻力，着陆坡的倾角为。，重力加速度为g，则()

A

B

C

ED

A.甲运动员从8点飞出到距离斜司最远所需要的时间/=纪㈣一

g

B.匕、匕的大小关系为为=2匕

C.甲、乙两运动员落到着陆坡前瞬间速度方向相同

D.甲运动员落到着陆坡前瞬间速度方向与水平方向的夹角比乙的大

答案:AD

解析:A.甲运动员从8点飞出到距寓斜面最远时,速度方向与斜面平行，则有tan0=乜=&，解得/=纪竺四，

匕匕g

A正确：B.设3C高度为/?.CD长度为，.对甲运动员有力+（sin。（gs。=也，解得匕?二/cos*.

2228。+4/sin0

对乙运动员有/?+/sine=1g《，'cos*。，解得q=g，2cos26，可得

2'2/?+2/sin0

4=誓誓以〈笔驾=9,即B错误；CD.设甲、乙两运动员落到着陆坡前瞬间速度方向

v；2/2+2/sin2/?+/sin01W1

与水平方向成名和%,位移方向与水平方向成饱和人，根据平抛运动推论可知tana|=2tan/,

ian%=2tan^,由情景图可知，甲运动员落到着陆坡前瞬间位移方向与水平方向夹角比乙的大，即回,人，

则有tan«>tan%,可得%>见,即甲运动员落到着陆坡前瞬间速度方向与水平方向的夹角比乙的大，C

错误，D正确：故选AD。

【典例】0】（2023・河南郑州一模）甲、乙两个同学打乒乓球，某次动作中，甲同学持拍的拍面与水平方向

成45°角，乙同学持拍的拍面与水平方向成30°角，如图所示.设兵乓球击打拍面时速度方向与拍面垂直,

且乒乓球每次击打球拍前、后的速度大小相等，不计空气阻力，则乒乓球击打甲的球拍的速度力与乒乓球

击打乙的球拍的速度内之比为（）

答案:C.

解析：：由题可知，乒乓球在甲与乙之间做斜上抛运动，根据斜上抛运动的特点可知，乒乓球在水平方向的

分速度大小保持不变，竖直方向的分速度是不断变化的，由「乒乓球击打拍面时速度与拍面垂直，在甲处:

Kr

vx=risin45°,在乙处：v,=r2sin30°：所以：—=P一=卓，故C正确，A、B、D错误.

V2IG2

sin30"

【典例11］如图所示的光滑斜面长为宽为s,倾角为〃=30°,一小球（可视为质点）从斜面右上方顶点

力处水平射入，恰好从底端8点离开斜面，重力加速度为g.则下列说法正确的是（）

A.小球运动的加速度为g

B.小球由月运动到〃所用的时间为

C.小球由A点水平射入时初速度％的大小为小

【）.小球离开〃点时速度的大小为s?+4//

答案：D

解析：依据曲线运动条件，初速度与合力方向垂直，且合力大小恒定，则小球做匀变速曲线运动，再根

据牛顿第二定律得，小球的加速度为a」""----=0门故A错误；根据£=J",有t=

111乙乙

,选项错误；在点的平行斜面方向向下的分速度为

B83=a£=JgX;根

乙

据S=Vot,有的=^=；故小球离开夕点时速度的大小/=7肃+%；方（一+4力，故C错误，D

*L

正确.

练习9.如图所示为足球球门，球门宽为L.一个球员在球门中心正前方距离球门s处高高跃起，将足球顶入

球门的左下方死角（图中P点）.球员顶球点的高度为h.足球做平抛运动（足球可看成质点，忽略空气阻力）,

贝卜）

A.足球初速度的方向与球门线夹角的正切值tan0=^-

2s

B.足球位移的大小x=

C.足球初速度的大小％=

D.足球末速度的大小r=J-4-f—+?|+4^/?

，2队4J

答案:C

tan。==

解析：由几何关系可得足球初速度的方向与球门线夹角的正切值：LL，故A错误；足球在水

2

平方向的位移大小为：％=居+/,所以足球的位移大小：上=,〃2+。+/,故B错误；足球运动的

时间：所以足球的初速度的大小：v0=i=1^-曰+/,故C正确；足球运动的过程中只有

重力做功，由动能定理得：〃吆力=,机/一」机4，联立可得：足球末速度的大小：v=4P-f—+?

22丫2从2

故D错误.所以C正确，ABD错误.

【巧学妙记】

平抛运动与口自生活紧密联系，如乒乓球、足球、排球等运动模

型，飞镖、射壬、飞机投弹模型等。这些模型经常受到边界条件

的制约，如网球是否触网或越界、飞镖是否能中靶心、飞机投弹

是否能命中目标等。解题的关键在于能准确地运用平抛运动的规

律分析对应的运动特征。

经典好题

1.（2023浙江五校联盟高三月考）如图所示是排球场地的示意图。排球场A15C1）为矩形,长边A1：=L,前场区的

长度为宽AB-；,网高为ho在排球比赛中，对运动员的弹跳水平要求很高。如果运动员的弹跳水平不高,运

动员的击球点的高度低于某个临界值,那么无论水平击球的速度多大,排球不是触网就是越界。不计空气阻

力。下列说法正确的是（）

A.若在底线CD正上方沿垂直AB水平击球,临界高度为，

O

B.若在底线CD的D点正上方的临界高度沿场地对角线水平击球,击球的速度为悟L

Yon

C.若在前后场区的分界线EF正上方垂直AB水平击球,临界高度为秒h

JLO

D.若在前后场区的分界线的E点正上方水平击球,沿着EB方向击球,临界高度最大

2.如图所示斜坡倾角为45°,在斜坡底端P点正上方某一位置。处以速度分水平向左抛出一个小球A,小

球恰好能垂直落在斜坡上，运动时间为。。若在小球A抛出的同时，小球B从同一点。处开始自由下落，下

落至尸点的时间为％。则A、B两球在空中运动的时间之比6：%等于（不计空气阻力）（）

A.1：1B.1：73C.1：2D.1：72

3.如图，可视为质点的小球，位于半径为Gm半圆柱体左端点力的正上方某处，以一定的初速度水平抛出

小球，其运动轨迹恰好能与半圆柱体相切于〃点.过〃点的半圆柱体半径与水平方向的夹角为60。，则初速

度为：（不计空气阻力，重力加速度为g=10m/s2）（）

D.半m/s

A.m/sB.4Gm/sC.3>/5m/s

3

4.（2023届广东省惠州市高三三调）如图，一运动员将篮球从地面上方4点以速度丹斜向上抛出，恰好垂直

击中竖直篮板上月点。后来该运动员后撤到更远的。点投篮，仍然将球垂直击中篮板上月点，关于两次投

篮的比较，下列说法正确的是（）

A点、

A.在C点抛出速度外更小，同时抛射角〃更大

B.在C点抛出速度的更小，同时抛射角〃更小

C.在C点抛出速度匕更大，同时抛射角6更大

D.在。点抛出速度小更大,同时抛射角，更小

1.（多选）对于平抛运动，下列说法正确的是（）

A.落地时间和落地时的速度只与抛出点的高度有关

B.平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的刍由落体运动

C.做平抛运动的物体，在任何相等的时间内位移的增显都是相等的

I）.平抛运动是加速度大小、方向不变的曲线运动

2.如图所示，一半圆柱体放在地面上，横截面半径为此圆心为0,在半恻柱体的右侧笈点正上方离地面

高为2〃处的力点水平向左抛出一个小球，小球恰好能垂直打在半圆柱体上，小球从抛出到落到半圆柱体上

所用的时间为心重力加速度为乡则小球抛出的初速度大小为（）

.Rgtn2Rgl

L-”万+41

3.（多选）如图所示，斜面倾角为心位于斜面底端/正上方的小球以初速度%正对斜面顶点5水平抛出,

小球到达斜面经过的时间为3重力加速度为g,空气阻力不计，则卜.列说法中正确的是（）

2v（\

A.若小球以最小位移到达斜面，则t=「〃

gtanu

B.若小球垂直击中斜面，则？=丁匕

gtan〃

C.若小球能击中斜面中点，则才=向2-

gtan"

I）.无论小球到达斜面何处，运动时间均为r=2„”

4.斜面上有a、b、c、"四个点，如图所示，ab=bc=cd,从a点正上方的。点以速度/水平抛出一个小球,

它落在斜面上方点，若小球从。点以速度2y水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的（）

C.。与d之间某一点D.d点、

5.如图所示，斜面上0、P、Q、R、S五个点，距离关系为0P=PQ=QR=RS,从。点以外的初速度水平抛出

一个小球，不计空气阻力，小球落在斜面上的夕点.若小球从。点以2%的初速度水平抛出，则小球将落在

斜面上的（）

C.。、4两点之间D.R、S两点之间

6.如图所示，斜面上以6、。三点等距，小球从a点正上方。点抛出，做初速为％的平抛运动，恰落在6

点。若小球初速变为看其落点位于。，则（）

A.K）<rC2VoB.v=2vn

C.D.v>3vo

7.如图，某军队在一次空地联合军事演习中，离地面米500（）勿高处的飞机以水平对地速度％=200勿Zs发射一

颗炸弹轰炸地面目标已，反应灵敏的地面拦截系统同时以初速度吸竖直向上发射一颗炮弹拦截（炮弹运动过

程看作竖直上抛），设此时拦截系统与飞机的水平距离为所3000/〃，若拦截成功，不计空气阻力，则外的值

应为（)

A.咽^B.120C.200D.200J-

3V3

8（2023-南昌模拟）如图，战机在斜坡上方进行投弹演练。战机水平匀速飞行，每隔相等时间释放一颗炸弹，

第一颗落在石点，第二颗落在b点。斜坡上。、"两点与d人共线，豆ab=bc=cd,不计空气阻力。第三

颗炸弹将落在（）

A.曲之间B.c点

C.cd之间【）.d点、

9.（2023•浙江杭州质检）如图所示，从水平地面上的力、8两点分别斜抛出两小球，两小球均能垂直击中前

方竖直墙面上的同一点儿已知点〃距地面的高度力=0.8m,力、8两点距墙的距离分别为0.8m和0.4m。

不计空气阻力，则从力、8两点抛出的两小球（）

A.从抛出到击中墙壁的时间之比为2：1

B.击中墙面的速率之比为1:1

C.抛出时的速率之比为炉：2m

D.抛出时速度方向与地面夹角的正切值之比为1:2

10.（多选）在水平路面上做匀速直线运动的小车上有一固定的竖直杆，其上的三个水平支架上有三个完全

相同的小球A、B、C,它们离地的高度分别为3力、2力和力。当小车遇到障碍物P时，立即停下来，三个小

球同时从支架上水平抛出，先后落到水平路面上，如图所示。则下列正确的是（）

A.三个小球落地时间差与车速无关

B.三个小球落地点的间隔距离A,=L2

C.三个小球落地点的间隔距离Z-,<L2

D.三个小球落地点的间隔距离L,>L2

11.（多选）在高处以初速度-水平抛出一个带刺飞镖，在离开勉出点水平距离/、2/处有点4两个小气

球以速度外匀速上升，先后被飞镖刺破（认为飞镖质量很大，刺破气球不会改变其平抛运动的轨迹）。则下

列判断正确的是（）

P2/2

A.飞镖刺破力气球时，飞镖的速度大小为％=J