复数代数形式的乘除运算讲义

3.2.2复数代数形式的乘除运算

峻皿3tfA丽曲课前自主学习，基稳才能楼高

预习课本P109〜111,思考并完成下列问题

⑴复数乘法、除法的运算法则是什么？共枕复数概念的定义是什么？

⑵复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同？如何应用共扼复数的性质解决问题?

1.复数代数形式的乘法法则

=

设zi=a十5i,zic-\~d\(afb,c,d£R),则5Z2=(G+历)(c+$)=(〃c—

2.复数乘法的运算律

对任意复数zi,Z2,有

交换律zrz2=Z2-Z]

结合律(ZrZ2)*Z3=Zr(Z2*Z3)

分配律Zl(Z2+Z3)=Z1Z2+Z1Z3

3.共掘复数

已知zi="+力i,Z2=c+</i,Q,b,cfd£R,贝!1

(Dzi,匕互为共扼复数的充要条件是a=c且b=-d.

(2)z„一互为共枕虚数的充要条件是a=c且力=-dWO.

4.复数代数形式的除法法则：

〃+加ac+bd,be-ad,,

3+历)+(c+Ji)=^=^^+^^i(c+diHO).

［点睛］在进行复数除法时，分子、分母同乘以分母的共新复数c-di,化简后即得结果，这个过程实

际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似.

1.判断(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)两个复数互为共施复数是它们的模相等的必要条件.()

(2)若z”Z2WC,且d+S=O,则zi=Z2=0.()

(3)两个共挽虚数的差为纯虚数.()

答案：(1)X(2)X(3)J

2.(北京高考)复数i(2-i)=()

A.l+2iB.1—2i

C,-14-2iD.-l-2i

答案：A

3.若复数zi=l+i,Z2=3—i,则…Z2=()

A.4+2iB.24-i

C.2+2iD.3+4i

答案；A

24

4.复数i+三P+十i

答案:F?

日於哙粉HD}gHR课堂讲练设计，举一能通类题

心复数代数砥的乘法运算

［典例］(1)已知i是虚数单位，若复数(l+〃i)(2+i)是纯虚数，则实数。等于()

B.eqB.T

C.-1D.—2

(2)(江苏高考)复数z=(l+2i］(3-i),其中i为虚数单位，贝Ijz的实部是________.

［解析］(l)(l+ai)(2+i)=2—a+(l+2a)i,要使复数为纯虚数，所以有2—a=0,l+2aWO,解得a=

2.

(2)(l+2i)(3-i)=3-i4-6i-2i2=5+5i,

所以z的实部是5・

［答案I(1)A(2)5

~~L两个复数代数形式乘法的一般方法

(1)首先按多项式的乘法展开.

(2)再将i2换成-1.

(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式.

2.常用公式

(1)3+历)2=〃2—加+2〃加(a,bWR).

(2)(a+Z>i)(a—Z>i)=a24-ft2(fl,力£R).

(3)(l±i)2=±2i.

j涪学活用|

1.已知x,i为虚数单位，且xi—y=-l+i,则(l+i)x+〉'的值为()

A.2B.—2i

C.-4D.2i

解析：选D由诵一y=-l+i得x=l,y=lf所以(1+以+，=(l+i)2=2i.

2.已知。，b^R,i是虚数单位.若(a+i)(l+i)=历，则。+历=.

解析：因为(a+i)(l+i)=a—l+(a+l)i=Ai,所以a—1=0,。+1=力，即a=l,b=2,所以a+加=1

+2i.

答案：l+2i

02/14

复数代数形式的除法运算

［典例］(1)若复数z满足z(2—i)=ll+7i(i是虚数单位)，贝人为()

A.3+5iB.3-5i

C.-3+5iI).-3—5i

⑵设i是虚数单位，复数害为纯虚数，则实数。为()

A.2B.-2

C.-TD.eqD.

［解析］(l)Vz(2-l)=ll+7i,

.•=-1-14---7i=-?-H-+-7-i?-?-2-+-i-?=-1-5-+-2-5i=与

z72-i?2-i??2+i?5

1+oi?l+ai??2+i?2—a.14-2a,l+ai,,j,.,,2—a1+2。z”

(2)2—i=?2—i??2+i?=5+-—lf由？一i是纯L虚数，o则5=°，~5-二°，所以"=2.

［答案］(1)A(2)A

7r而不复数枚薮凝的嗓赤算为骤

⑴首先将除式写为分式；

⑵再将分子、分母同乘以分母的共施复数；

⑶然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式.

2.常用公式

［活学活用］

1.(天津高考)i是虚数单位，计算卷的结果为________

XI1

l-2i_?l-2i??2—i?_?2-2?-i-4i_

解析：2+i=?2+i??2-i?=5=~k

答案：一i

2・计算：?2-i??l-i?=------------•

?l+i??4+3i?_l+7i_?l+7i??l+3i?

薜折：法一：?2—i/i-i?=1一肘=10

?l+i??4+3i?_”iY4+3i)

法一：?2-i??l-i?

i?4+3i??2+i??-3+4i??2+i?

55

—10+5i

—z—=-2+i.

答案：-2+i

LLQIi的乘方的周期性及应用

［典例］(1)(湖北高考)i为虚数单位，*7的共枕复数为()

C.1D.-1

(2)计算P+F+F+…+产。】6=.

［解析］⑴因为*7=i4X151+3=j3=-L所以其共朝复数为i,故选A.

i?l-i2016?i[l-?j2?1008]i?l-I?

(2)法一：原式=一°・

i—i-i1—-ij-i—j

法二：vP+P+P+i^o,

・•・i"+i”+i+i”+2+i"+3=o(〃£N),

r.i'+P+PH--4-i2,),6

=(i1+i2+P+i4)+(i5+i6+i7+i8)+-+(i20,3+i20,4+i20,5+i20,6)=o.

[答案I(1)A(2)0

虚数单位i的周期性

(l)i4M+,=i,i4n+2=-l,i4n+3=-i,i4w=l(/ieN*).

(2)in+i"+1+i"+2+i"+3=o(〃EN).

［活学活用］

计算罟•筒・简••一筒』

答案：一

复数综

合应用

［典例I设z是虚数，c”=z+十是实数，且一1VOV2,求团的值及z的实部的取值范围.

［解］因为z是虚数，所以可设2=》+炉，x,jGR,且y¥0.

所以“=z+；=x+yi+^j

_I.」_1一』/+产+卜一

因为“是实数且

04/14

所以y一武1=0,所以x2+y2=i,

即0=1.此时（o=2x.

因为一1VsV2,所以一1V2XV2,

从而有一1,

即Z的实部的取值范围是（一；，1）.

［一题多变］

1.［变设问］若本例中条件不变，设〃=旨|,证明〃为纯虚数.

证明：设Z=x+yi,X,yCR,且yXO,

由典例解析知，x2+j2=l,

.1—z1—?x+yi??1-x-yi??l+x-yi?

"・"=ri^=］+?x+yi?=?l+x?2+j2

］—x2-y2-2yiy

=?l+x?2+j2=

因为*（一/1），产°，所以日也

所以〃为死虚数.

2.［变设问］若本例条件不变，求"一宏）的最小值.

解：设2=工+丸，x,>ER,且yWO,

由典例解析知x2+j2=l.

则

1-X2

=2X+?1+X?2

2?

=2一+而=2(工+1)+用一3.

因为一JvxVl,

所以l+x>0.

于是s-(Sf>=2(x+D+2一32

2

2?』?京-3=1

当且仅当2（x+l）=皆p

即x=0时等号成立.

所以"一"j^『的最小值为1,此时z=±i.

复数运算的综合问题解决方法

在有关复数运算的综合问题中，常与集合、数列、不等式、三角函数、函数、解析几何等内容结合在

一起，要解决此类问题常将复数设为x+M(x，y£R)的形式，利用有关条件及复数相等转化为实数问题或

利用复数的几何意义转化为点的坐标及向量问题进行解决.

睬课后层级训练，步步提升能力

层级一学业水平达标

1.复数(1+讲(2+驾)的值为()

A.6—4iB.—6—4i

C.6+4iD.-6+4i

解析；选D(l+i)2(24-3i)=2i(24-3i)=-6+4i.

2.(全国卷I)已知复数z满足(zT)i=l+i,则Z=()

A.-2—iB.—2+i

C.2-iD.2+i

解析：选Cz-l=^1J।=l-i,所以Z=2—i,故选C.

3.(广东高考)若复数z=i(3—2i)(i是虚数单位)，则z=()

A.2—3iB.2十3i

C.3+2iD,3-2i

解析：选AVz=i(3-2i)=3i-2i2=2+3i,，三=2-3i.

4.(l+i)2o-(l-ip的值是()

A.-1024B.1024

C.0D.512

解析：选C(1+i产-(1一讲。=[(1+评]1。一[(1-i)2]io=⑵)10—(一2炉)=⑵)1。一⑵严=0.

5.(全国卷n诺。为实数，且与黑=3+i,则。=()

A.-4B.一3

C.3D.4

2+ai?2+“i??l-i?。+2/-2..

解析：选D14-i=?l4-i??l-i?="2-+21=3+,»

06/14

所以3解得a=4,故选D.

a-2

=b

6.在复平面内，复数z=i(l+3i)对应的点位于第象限.

解析：Vz=i(l+3i)=i+3i2=-3+i,

・,・复数z对应的点为(一3,1),在第二象限.

答案：二

7.设i为虚数单位，贝!)；+*+*+*=.

解析：；+杆*+*=-i—l+i+l=O.

答案：0

8.若黄j=l一历，其中。，〃都是实数，i是虚数单位，则|。+历|=

解析：V«,bWR,且含=1一历，

则a=(l-Z>i)(l-i)=(l-^)-(l+Z>)i,

a=l-b,{a=2

••.f

••|_O=l+b.**U=-1.

:.|a+历|=|2—“=222+?—1?2==.

答案：V5

,?i-2??i-l?-3-2i

9・计算：?14-i??i-l?+i+2-3i*

?i-2??i-l?

薜：因为？l+i??i-l?+i=

?i-2??i-l??i-2??i-l?

i2-l+i=--2+i

___一3一方_?-3-2i??2+3i?_—13i_

=1，2-3i=?2-3i??2+3i?=13=一|'

”,?i-2??i-l?.-3-2i

所以？l+i??i_l?+i+2—3=i-1+(一】)=-1・

10.已知z为z的共枕复数，若z・z—3iz=l+3i,求z.

解：设［=。+从(〃，5GR),

则一加3,力ER),

由题意得(〃+历)(a—4)-3i(a—历)=l+3i,

即«2+Z>2—3/>—3m=l+3i,

标+反-3力=1"一一"或〃=-1,

则有,,解得

[-3。=3,力=0,力=3.

所以z=—1或z=—l+3i.

层级二应试能力达标

1.如图，在复平面内，点4表示复数z,则图中表示z的共枕复数的点是（）

A.AB.B

y

C.CD.D

解析：选B设z=a+〃i（明力WR）,且“VO,力＞0,则z::0一半二的共朝复数为a~b\f

其中“V0,—6V0,故应为8点.

2.设。是实数，且席£R，则实数。=（）

A.-1B.1

C.2D.-2

解析；选B因为甘手CR,所以不妨设:詈

xtAGR,则l+ai=(l+i)x=x+*i,所以有

a=xt

所以。=1.

3.若〃为正实数，i为虚数单位，—=2,则〃=（）

B.eqB.A/5

C.eqD.1

解析：选•.•哼^=（〃+。（一）

Bi=l—ai,.”+i=|1一洲=、1+。2=2,解得或"=一45（舍）.

、t3?—]+6i?3-2+i^._日

今计算？1+6+l钻的值是（)

A.0B.1

D.2i

懊班法n届1?T+小i?3J—2+i??—2i??-1+7^?31-2+4i+i+2-孚]

解航：过D原六一[?i+i?2]3十？1+方?？1一方？一？2i?3十5一一i十

+i=?-i?i+i=2i

5.若zi=o+2i,Z2=3-4i,且y为纯虚数，则实数a的值为________

Z2

钿+=&a+2i?a+2i??3+4i?3a+4ai+6i-8

解析:Z=3-4i=9+16=25—

?3a-8?+?4〃+6?i

=25，

08/14

3〃-8=0,

・・,?为绽虚数,8

4。+6#0,3,

fg8

答案：3

6.i是虚数单位，贝4罔4=.

解析：隹%"骷卦"肾》二h

答案：1

7.设复数z=彘有，若z2+1V0,求纯虚数

解：由z2+m〈o可知z?+m是实数且为负数.

ZZ

?l+i?2+3?l-i?2i+3-3i

Z=2+i=2+i

3-i

=而=1・

•・•“为纯虚数，，设。=加（加£R且加W0）,则

5+：=（］_［）2+4

,mi-m

=-2i+i

.*./n=4,/.«=4i.

|p能选做瓯

*?1+汹3%+川？_

8.复数z=，；二且团=4,z对应的点在第一象限，若复数0,z,z对应的点是正三角形的

三个顶点，求实数。，力的值.

?l+i?2・？l+i?

解：z（fl+M）

1-i

=2i・i（a+历）=—2。-2万i.

由0=4,得”?+力2=%①

•・•复数0,z,三对应的点构成正三角形,

*'•\z-Z|=|z|.

把z=-2a-2b\代入化简得步|=1.②

又•・•？对应的点在第一象限，

/.a<0,方VO.

由①②得〈。=一木,

lb=­l.

故所求值为“=一<5,b=—l.

••……％幽・>阶段质量楼测（三）救氽的“无与复致的引入•……

（时间：120分钟满分：150分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的）

1.i是虚数单位，复数导=（）

A.2+iB.2—i

C.—2+iD.-2—i

5y、&7—i?7-i??3-i?20-10i

解析：选B3+i=io=-io-=2-h

z

2.若复数z满足万］=1,其中i是虚数单位，贝h=（）

A.1—iB.1+i

C.-1-iD.-l+i

解析：选Az=(1—i)i=_i2+i=l+i,z=l-i,故选A.

3.设i是虚数单位，则复数占在复平面内所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

解析：选B吕=万驾挣^=受"=-1+。由复数的几何意义知一l+i在复平面内的对应点

JL11••X1•/

为1-1,1）,该点位于第二拿限，故选B.

-2—z

4.设复数-为虚数单位），Z的共朝复数是Z,则^~等于（）

A.-l-2iB.-2+i

C.-l+2iD.l+2i

2—z2—、—l+i9

解析：选C由题意可得<=13^-

10/14

?-l-i??-14-i?="1+2i»故选C

5.已知复数2=一;+率，则、+|z|=()

A.一：一给B.一；+*

C.eq+坐D.eqD.g—乎i

，所以z+0=一乎T

解析：选D因为z

2

6.已知复数Z满足(l-i)z=i2。叫其中i为虚数单位)，则Z的虚部为()

A.eq

C.eqi

2

解析：选BV2016=4X504,Ai^=^=l：z=-L-=l^：-=!-1i,.・.；的虚部为一;.

故选B.

___z

7.设Z的共辗复数为Z,若z+Z=4,Z・Z=8,则；•等于（）

A.1B.-i

C.±1D.±i

—2a=4,fo=2,

解析：选D设z=a+加（％》£R）,则z=a—b\,由条件可得J,解得J因此

口2+"=8.（b=±2.

Z=2+2i,一/刊±_2-2il-i?l-i?2-2i.±__2+2i1+i

A=Z=：Z=

7=2-2i,7=2+2i,所以"=2+:=币=?1+1??1—?=亍=一|'T22iTi

?l+i?2_2iz

所以二=见

?l-i??l+i?=5z

8.已知复数z=(x-2)+yi(x,y£R)在复平面内对应的向量的模为由，贝吐的最大值是()

A.eqB.eqB.

C.eqD.eqD.

解析：选D因为|(x—2)+刈=45,所以(x—2户+)2=3,所以点(x,『)在以C(2,0)为圆心，以小为半

径的圆上，如图，由平面几何知识一小W，W巾.

二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.请把正确答案填在题中

横线上)

9.i是虚数单位，若复数(l-2i)(a+i)是纯虚数，则实数。的值为.

解析：由(l-2i)(a+i)=3+2)+(l-2tz)i是比虚数可得。+2=0,1—2aH0,解得。=一2.

答案：一2

10.已知复数z=(5+2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为z=.

解析：复数z=(5+2i)2=21+20i,其实部是21,z=21-20i.

答案：2121-20i

11.若。为实数，春蕾=一让「则。=，2+5在第象限.

解析：[2+I右ai=一®可得2+ai=-&i(l+，ii)=2-Ei,所以a=—也,2+ai=2—，ii在第四

象限.

答案：一位四

12.若复数z=(a—2)+3i(a£R)是纯虚数，则。=____,.

1十〃1

解析：・.・z=a-2+3i(aWR)是纯虚数，：.a=2t

・〃+i_2+i?2+i??l-2i?_4_3.

'l+ai=l+2i=5=5-5h

答案：2Ri

13.已知复数N=7^(i是虚数单位)，则N的实部是_____，kl=_______.

1I/I

解析：Vz=Y^^7=2+i,的实部是2.

|z|=|24-i|=V5.

答案：2小

14.设复数。+历(a,/>£R)的模为有，则(a+历)(。一加)=.

解析：V|a+bi\=yja2+b2=\[3,

(a+bi)(a—bi)=a2-\-b2=3.

答案：3

15.若关于x的方程/+(2—i)x+(2m—4)i=0有实数根，则纯虚数〃?=.

解析：设机=/>iSWR且内M)),则炉+(2-迷+(24-4)i=0,化—得(炉+丈一动)+(-*-4)1=0,

fx2+2x-2Z>=0,fx=-4,

即1解得彳：.m=4i.

-x-4=0,1b=4t

答案：4i

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三、解答题(本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16.(本小题满分14分)设复数z=lg—2〃L2)+(/〃2+3/n+2)i(〃?GR),试求,"取何值时？

(l)z是实数.

(2)z是纯虚数.

(3)z对应的点位于复平面的第一象限.

解：(1)由〃产+3，〃+2=0且加一2〃?一2>0,解得/〃=—1或切=-2,复数表示实数.

(2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数.

由lg(m2—2/n