江苏省丹阳中学2026届高二上数学期末考试模拟试题含解析

江苏省丹阳中学2026届高二上数学期末考试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点、，交其准线于点，若，且，则的值为（）A. B.C. D.2．已知点是椭圆上的任意点，是椭圆的左焦点，是的中点，则的周长为（）A. B.C. D.3．设数列的前项和为，若，，，则、、、中，最大的是（）A. B.C. D.4．大数学家阿基米德的墓碑上刻有他最引以为豪的数学发现的象征图——球及其外切圆柱(如图).以此纪念阿基米德发现球的体积和表面积，则球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的（）A. B.C. D.5．已知点是双曲线的左焦点，定点，是双曲线右支上动点，则的最小值为（）.A.7 B.8C.9 D.106．已知，满足，则的最小值为（）A.5 B.-3C.-5 D.-97．已知圆与圆相交于A、B两点，则圆上的动点P到直线AB距离的最大值为（）A. B.C. D.8．已知直线交圆于A，B两点，若点满足，则直线l被圆C截得线段的长是（）A.3 B.2C. D.49．“1＜x＜2”是“x＜2”成立的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件10．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A.至少有一个黑球与都是黑球B.至少有一个黑球与至少有一个红球C.恰好有一个黑球与恰好有两个黑球D.至少有一个黑球与都是红球11．若，则下列结论不正确的是（）A. B.C. D.12．下列数列是递增数列的是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某人实施一项投资计划，从2021年起，每年1月1日，把上一年工资的10%投资某个项目.已知2020年他的工资是10万元，预计未来十年每年工资都会逐年增加1万元；若投资年收益是10%，一年结算一次，当年的投资收益自动转入下一年的投资本金，若2031年1月1日结束投资计划，则他可以一次性取出的所有投资以及收益应有__________万元.（参考数据：，，）14．已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间；15．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，且，的面积为，则的标准方程为______16．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：其中，所有正确结论的序号是____________①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线C所围城的“心形”区域的面积小于3三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列的首项为，且满足.（1）求证：数列为等比数列；（2）设，记数列的前项和为，求，并证明：.18．（12分）已知等比数列满足，（1）求数列通项公式；（2）记，求数列的前n项和19．（12分）已知数列的前项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和20．（12分）王同学入读某大学金融专业，过完年刚好得到红包6000元，她计划以此作为启动资金进行理投资，每月月底获得的投资收益是该月月初投入资金的20%，并从中拿出1000元作为自己的生活费，余款作为资金全部投入下个月，如此继续.设第n个月月底的投资市值为an.（1）求证：数列{-5000}为等比数列；（2）如果王同学想在第二年过年的时候给奶奶买一台全身按摩椅（商场标价为12899元），将一年后投资市值全部取出来是否足够？21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆C上，且满足（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线与椭圆C交于不同的两点M，N，且（O为坐标原点）．证明：总存在一个确定的圆与直线l相切，并求该圆的方程22．（10分）城南公园种植了4棵棕榈树，各棵棕榈树成活与否是相互独立的，成活率为p，设为成活棕榈树的株数，数学期望.（1）求p的值并写出的分布列；（2）若有2棵或2棵以上的棕榈树未成活，则需要补种，求需要补种棕榈树的概率.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】分别过点、作准线的垂线，垂足分别为点、，设，根据抛物线的定义以及直角三角形的性质可求得，结合已知条件求得，分析出为的中点，进而可得出，即可得解.【详解】如图，分别过点、作准线的垂线，垂足分别为点、，设，则由己知得，由抛物线的定义得，故，在直角三角形中，，，因为，则，从而得，所以，，则为的中点，从而.故选：B.2、A【解析】设椭圆另一个焦点为，连接，利用中位线的性质结合椭圆的定义可求得结果.【详解】在椭圆中，，，，如图，设椭圆的另一个焦点为，连接，因为、分别为、的中点，则，则的周长为，故选：A.3、C【解析】求出的表达式，解不等式可得结果.【详解】由已知可得，故数列为等差数列，且公差为，所以，，令可得.因此，当时，最大.故选：C.4、C【解析】设球的半径为,则圆柱的底面半径为，高为，分别求出球的体积与表面积，圆柱的体积与表面积，从而得出答案.【详解】设球的半径为,则圆柱的底面半径为，高为所以球的体积为,表面积为.圆柱的体积为：,所以其体积之比为：圆柱的侧面积为：,圆柱的表面积为：所以其表面积之比为：故选：C5、C【解析】设双曲线的右焦点为M，作出图形，根据双曲线的定义可得，可得出，利用A、P、M三点共线时取得最小值即可得解.【详解】∵是双曲线的左焦点，∴，，，，设双曲线的右焦点为M，则，由双曲线的定义可得，则，所以，当且仅当A、P、M三点共线时，等号成立，因此，的最小值为9.故选：C.【点睛】关键点点睛：利用双曲线的定义求解线段和的最小值，有如下方法：（1）求解椭圆、双曲线有关的线段长度和、差的最值，都可以通过相应的圆锥曲线的定义分析问题；（2）圆外一点到圆上的点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解.6、D【解析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解【详解】解：作出可行域，如图内部（含边界），作直线，在中，，当直线向下平移时，增大，因此把直线向上平移，当直线过点时，故选：D7、A【解析】判断圆与的位置并求出直线AB方程，再求圆心C到直线AB距离即可计算作答.【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，，，即圆与相交，直线AB方程为：，圆的圆心，半径，点C到直线AB距离的距离，所以圆C上的动点P到直线AB距离的最大值为.故选：A8、B【解析】由题设知为圆的圆心且A、B在圆上，根据已知及向量数量积的定义求的大小，进而判断△的形状，即可得直线l被圆C截得线段的长.【详解】∵点为圆的圆心且A、B在圆上，又，∴，∴，又，∴，故△为等边三角形，∴直线l被圆C截得线段的长是2故选：B9、A【解析】因为“若，则”是真命题，“若，则”是假命题，所以“”是“”成立的充分不必要条件．选A考点：充分必要条件的判断【易错点睛】本题主要考查了充分条件,必要条件,充要条件的判断,属于基础题.对于命题“若,则”是真命题,我们说,并且说是的充分条件，是的必要条件，命题“若,则”是假命题,我们说,由充分条件，必要条件的定义，可以判断出“”是“”成立的充分不必要条件．掌握充分条件，必要条件的定义是解题关键10、C【解析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，逐项判断.【详解】A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，这两个事件不是互斥事件，故错误；B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，故错误；C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，两个事件是互斥事件但不是对立事件，故正确D：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，这两个事件是对立事件，故错误；故选：C11、B【解析】由得出，再利用不等式的基本性质和基本不等式来判断各选项中不等式的正误.【详解】，，，，A选项正确；，B选项错误；由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，，则等号不成立，所以，C选项正确；，，D选项正确.故选：B.【点睛】本题考查不等式正误的判断，涉及不等式的基本性质和基本不等式，考查推理能力，属于基础题.12、C【解析】分别判断的符号，从而可得出答案.【详解】解：对于A，，则，所以数列为递减数列，故A不符合题意；对于B，，则，所以数列为递减数列，故B不符合题意；对于C，，则，所以数列为递增数列，故C符合题意；对于D，，则，所以数列递减数列，故D不符合题意.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、24【解析】根据条件求得每一年投入在最终结算时的总收入，利用错位相减法求得总收入.【详解】由题知，2021年的投入在结算时的收入为，2022年的投入在结算时的收入为，，2030年的投入在结算时的收入为，则结算时的总投资及收益为：①，则②，由①-②得，，则，故答案为：2414、（1）（2）详见解析【解析】（1）分别求得和，从而得到切线方程；（2）求导后，令求得两根，分别在、和三种情况下根据导函数的正负得到函数的单调区间.【详解】（1），，，，又，在处的切线方程为.（2），令，解得：，.①当时，若和时，；若时，；的单调递增区间为，；单调递减区间为；②当时，在上恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间；③当时，若和时，；若时，；的单调递增区间为，；单调递减区间为；综上所述：当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为；当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求解曲线在某一点处的切线方程、利用导数讨论含参数函数的单调区间的问题，属于常考题型.15、【解析】利用待定系数法列出关于的方程解出即可得结果.【详解】设的标准方程为，则解得所以的标准方程为故答案为：.16、①②【解析】根据题意，先判断曲线关于轴对称，由基本不等式的性质对方程变形，得到，可判定①正确；当时，，得到曲线右侧部分的点到原点的距离都不超过，再根据曲线的对称性，可判定②正确；由轴的上方，图形的面积大于四点围成的矩形的面积，在轴的下方，图形的面积大于三点围成的三角形的面积，可判断③不正确.【详解】根据题意，曲线，用替换曲线方程中的，方程不变，所以曲线关于轴对称，对于①中，当时，，即为，可得，所以曲线经过点，再根据对称性可知，曲线还经过点，故曲线恰好经过6个整点，所以①正确；对于②中，由①可知，当时，，即曲线右侧部分的点到原点的距离都不超过，再根据曲线的对称性可知，曲线上任意一点到原点的距离都不超过，所以②正确；对于③中，因为在轴的上方，图形的面积大于四点围成的矩形的面积，在轴的下方，图形的面积大于三点围成的三角形的面积，所以曲线所围城的“心形”区域的面积大于3，所以③不正确.故选：①②三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2），证明见解析【解析】（1）根据等比数列的定义证明；（2）由错位相减法求得和，再由的单调性可证得不等式成立【小问1详解】由得又，数列是以为首项，以为公比的等比数列.【小问2详解】由（1）的结论有①②①②得：又为递增数列，18、（1）（2）【解析】（1）通过基本量列方程组可得；（2）由裂项相消法可解【小问1详解】由题意得解得，所以数列的通项公式为【小问2详解】由（1）知，则所以19、（1）（2）【解析】（1）结合作差法可直接求解；（2）由错位相减法可直接求解.【小问1详解】当时，；当时，，当时，满足上式，所以；【小问2详解】由（1）知，所以①，②，①-②得，所以.20、（1）证明见解析（2）足够【解析】（1）由题意可得出递推关系，变形后利用等比数列的定义求证即可；（2）由（1）利用等比数列的通项公式求出，再求出，再计算即可得出结论.【小问1详解】依题意，第1个月底股票市值则又∴数列是首项为1200，公比为1.2的等比数列.【小问2详解】由（1）知∴∵，所以王同学将一年理财投资所得全部取出来是足够的.21、（1）；（2）理由见解析，圆的方程为.【解析】(1)根据给定条件可得，结合勾股定理、椭圆定义求出a，b得解.(2)联立直线l与椭圆C的方程，利用给定条件求出k，m的关系，再求出原点O到直线l的距离即可推理作答.【小问1详解】因，则，点在椭圆C上，则椭圆C的半焦距,，，因此，，解得，，所以椭圆C的标准方程是：.【小问2详解】由消去y并整理得：，依题意，，设，，因，则，于是得，