《初中数学•同步练习》九上22.3 实际问题与二次函数

PAGE122.3实际问题与二次函数题型一图形问题1．（24-25九年级上·陕西西安·期中）为了深入推进劳动教育，开展劳动实践活动，某校打算建一个如图所示的矩形菜地．菜地的一面利用学校边墙（墙长），其他三面用栅栏围住，但要开一扇宽的进出口（不需要栅栏），已知栅栏的总长度为，求矩形菜地的面积最大为多少平方米（栅栏的宽度忽略不计）【答案】矩形菜地的面积最大为平方米【分析】本题考查了二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出二次函数表达式．设菜地垂直于墙的一边长是x米，则平行于墙的一边是米，面积，再利用二次函数的性质解答即可．【详解】解：设菜地垂直于墙的一边长是米，则平行于墙的一边是米，面积，∵解得：，，对称轴，当时，最大（平方米），答：矩形菜地的面积最大为平方米．2．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期末）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长，篱笆长．设垂直于墙的边为．(1)围成的矩形花圃的面积能否为？若能，求出x的值；若不能，说明理由；(2)围成的矩形花圃的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)围成的矩形花圃的面积能为，此时x的值为25(2)围成的矩形花圃的面积存在最大值，最大值为，此时x的值为20【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用（与图形有关的问题），二次函数的实际应用（图形问题），读懂题意，根据题中的数量关系正确列出函数解析式或方程是解题的关键．（2）根据题意设未知数列一元二次方程，判断此方程有解，然后再解方程即可；（3）先列函数关系式，将二次函数解析式化成顶点式，然后根据自变量的取值范围和二次函数的性质求二次函数的最值即可．【详解】（1）解：围成的矩形花圃的面积能为．∵平行于墙的边，而，且，∴．由题意，得．解得（舍去）或．答：围成的矩形花圃的面积能为，此时x的值为25．（2）解：设围成的矩形花圃的面积为．由题意，得．∵，且，∴当时，S取得最大值800．答：围成的矩形花圃的面积存在最大值，最大值为，此时x的值为20．3．（24-25九年级上·新疆和田·阶段练习）如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为．(1)请写出y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)怎样围才能使矩形场地的面积为？(3)当x为多少时，矩形的面积最大？最大为多少？【答案】(1)，；(2)当，时面积等于；(3)当x为时，矩形的面积最大，最大值为【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，解不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）根据矩形的性质，得出，根据面积公式列式计算，即可作答．（2）把代入进行计算，即可作答．（3）结合二次函数的图象性质，因为，则函数的开口向下，故在对称轴处取得最大值，即可作答．【详解】（1）解：依题意，∵，且篱笆长为以及宽建造一扇门，∴，∴，∵墙的长度不超过44，∴，即；（2）解：依题意，，，（舍）当，时面积等于；（3）解：∵，∴函数的开口向下，故在对称轴处取得最大值，则在取值范围之内，把代入，解得，答：当x为时，最大值为．4．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，小亮父亲想用长的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个如图所示的矩形羊圈，已知房屋外墙，设矩形的边，面积为(1)请用含有x表示的长度．(2)若当为多少米时，羊圈的面积S最大？最大值是多少？【答案】(1)(2)当时，S有最大值，为【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是找到所给面积的等量关系．（1）根据即可求得；（2）根据配方法求出二次函数最值即可．【详解】（1）解：（2），，又，当时，S有最大值，为．题型二拱桥问题1．（24-25九年级上·陕西渭南·期中）如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线的一部分，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系．(1)求抛物线的解析式；(2)若有一艘船准备从桥下穿过，船舱顶部为矩形，船比水面高出，当船的宽度小于多少米时，船能安全穿过桥洞．（船舱顶部矩形的宽所在的边始终与平行）【答案】(1)(2)6米【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式等知识，解题的关键是：（1）根据待定系数法求解即可；（2）把代入（1）中解析式，求出x的值即可求解．【详解】（1）解：根据题意，得抛物线的顶点为，设抛物线的解析式为，把代入，得，解得，∴抛物线的解析式为（2）解：当时，，解得，，∴当船的宽度小于米时，船能安全穿过桥洞．2．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，某公司的大门呈抛物线形，大门底部宽为，顶部距地面的高度为．(1)试建立适当的直角坐标系，求抛物线对应的二次函数表达式；(2)一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面，装货宽度为，那么这辆汽车能否顺利通过大门？【答案】(1)(2)这辆汽车能够通过大门【分析】本题考查二次函数的应用，涉及到用待定系数法求二次函数的解析式及点的坐标、二次函数图象的性质，根据题意求出二次函数的解析式是解答此题的关键．（1）先过的中点作的垂直平分线建立直角坐标系，得出点、、的坐标，用待定系数法即可求出过此三点的抛物线解析式（2）根据题意，判断点或点与抛物线的关系即可．【详解】（1）解：如图，过的中点作的垂直平分线，建立平面直角坐标系．点，，的坐标分别为，，．设抛物线的表达式为．将点代入得，解得，故此抛物线的表达式为；（2）货物顶点距地面，装货宽度为，只要判断点或点与抛物线的位置关系即可．将代入抛物线，得，点和点都在抛物线内．这辆汽车能够通过大门．3．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，某隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，隧道顶端D到路面的距离为，建立如图所示的平面直角坐标系．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)现需在这一隧道内壁上安装摄像头，即在该抛物线上确定一点安装摄像头（大小忽略不计）．已知摄像头到的水平距离为，求摄像头到地面的竖直距离．【答案】(1)(2)摄像头到地面的竖直距离为【分析】本题考查了二次函数的应用；（1）先求出抛物线顶点坐标，再按顶点式设出抛物线解析式，代入解析式；（2）令，求出，即可求解．【详解】（1）解：依题意，该抛物线的顶点坐标为，点的坐标为，设抛物线解析式为，代入得，，解得：∴该抛物线的函数解析式为（2）解：依题意，当时，答：摄像头到地面的竖直距离为4．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图为一座拱桥的示意图，桥洞的拱形是抛物线，已知水面宽，桥洞顶部离水面．(1)请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式．(2)若有一艘船的宽度为，高度为，则这艘船能否从该桥下通过？【答案】(1)作图见解析，(2)能通过【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是建立平面直角坐标系，熟练掌握待定系数法．（1）先建立平面直角坐标系，然后用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）把代入抛物线解析式，求出，然后作出判断即可．【详解】（1）解：按如图方式建立直角坐标系（答案不唯一），设抛物线解析式为：，把代入，得，解得：，．（2）解：当时，，能通过．题型三投球问题1．（24-25九年级上·河北邢台·期中）小宇同学是足球社团的一名成员，同时喜欢运用数学知识对足球训练进行技术分析，下面是他对某次足球射门路线的分析．在如图所示的平面直角坐标系中，点O是原点，小宇从球门正前方的点A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球离球门的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．．(1)求抛物线（足球的飞行路线）的函数表达式；(2)已知球门高为，通过计算判断球能否被射进球门（不考虑其他因素）．【答案】(1)(2)球不能被射进球门【分析】此题考查了二次函数的应用，求出抛物线（足球的飞行路线）的函数表达式是解题的关键．（1）利用待定系数法求解即可；（2）求出当时的函数值，进行比较即可．【详解】（1）解：由题意，得，抛物线顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，点在抛物线上，，解得抛物线的函数表达式为；（2）当时，球不能被射进球门．2．（24-25九年级上·青海海东·期末）甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方的P处发出一球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足函数解析式，已知点O与球网的水平距离为，球网的高度为．当时．(1)求h的值；(2)通过计算判断此球能否过球网．【答案】(1)(2)能【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．（1）把a的值以及点代入解析式，即可求出h的值；（2）把代入抛物线的解析式中求出对应的y的值，再与1.55比较大小即可判断是否过网【详解】（1）解：∵，且经过，∴，解得；（2）解：由（1）知：，当时，，∵，∴能过网．3．（24-25九年级上·河南新乡·期末）足球训练中，球射向球门的路线呈抛物线，球员从距离球门底部中心点正前方9米的处射门，当球飞行的水平距离为7米时，球达到最高点，此时球离地面3米，建立如图所示的平面直角坐标系．(1)求抛物线的函数表达式；(2)已知球门高为米，通过计算判断足球能否射进球门？（忽略其他因素）【答案】(1)(2)不能【分析】本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．（1）根据题意得抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，再代入点的坐标求出的值，即可解答；（2）求出抛物线与轴交点的纵坐标，再与球门高度比较即可得出结论．【详解】（1）解：，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，把点代入得：，解得：，抛物线的函数表达式为．（2）解：当时，，足球不能射进球门．4．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）实心球是中考体育项目之一，在掷实心球时，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．已知小军在一次掷实心球训练中，第一次投掷时出手点距地面，实心球运动至最高点时距地面，距出手点的水平距离为．设实心球掷出后距地面的竖直高度为，实心球距出手点的水平距离为．如图，以水平方向为x轴，出手点所在竖直方向为y轴建立平面直角坐标系．(1)求第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的函数表达式．(2)若实心球投掷成绩（即出手点与着陆点的水平距离）达到为满分，请判断小军第一次投掷实心球能否得满分．【答案】(1)(2)小军第一次投掷实心球不能得满分【分析】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．（1）设抛物线的表达式为，将代入解得a即可；（2）令，解得x，与比较即可；【详解】（1）解：由题意，可知抛物线最高点的坐标为，设抛物线的表达式为，将代入，得，解得．∴第一次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式为；（2）解：令，解得（负值已舍去），∴实心球出手点与着陆点的水平距离为．∵，即，∴，∴小军第一次投掷实心球不能得满分．题型四喷水问题1．（24-25九年级上·江西赣州·期末）图1是喷水管从点向四周喷出水花的喷泉，喷出的水花是形状相同的抛物线．如图2，以点为原点，建立平面直角坐标系，水平方向为轴，所在直线为轴，点为水花的落水点在轴上，抛物线的解析式为．(1)求喷水管的高度；(2)现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离5米，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点2米处达到最高，求喷水管要升高多少？【答案】(1)m(2)m【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握并灵活应用二次函数的性质是解题的关键．（1）将代入二次函数解析式，求得值即为水管的高度；（2）假设上升的高度为，将坐标代入解析式中，求出未知数即可．【详解】（1）解：抛物线为，令，则，，喷水管的高度为m；（2）解：设喷水管的高度要升高m，则抛物线的表达式为．把代入得：．解得：．喷水管的高度要升高m．2．（24-25九年级上·河南南阳·期末）某小区有一个喷水池，喷水池的中心有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心处达到最大高度，水柱落地点到水池中心的水平距离为，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系．(1)点，点的坐标分别为________、__________；(2)求水柱所在抛物线对应的函数表达式；(3)王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为的地方，通过计算说明身高的王师傅是否会被淋湿？【答案】(1)，(2)(3)王师傅不会被淋湿，理由见解析【分析】本题考查了二次函数的应用．（1）由图可得点C、D的坐标；（2）根据抛物线的顶点设出其顶点式，再将点C坐标代入计算即可；（3）求出时y的值，与1.85比较大小即可得出答案．【详解】（1）解：由题意知抛物线顶点D坐标为，点C坐标为，故答案为：，；（2）解：由题意，可设抛物线的表达式为，将点C的坐标代入得，解得，抛物线的表达式为：；（3）解：当时，，．答：王师傅不会被淋湿．3．（24-25九年级上·甘肃陇南·期末）如图，护林员在一个斜坡上的点处安装自动浇灌装置（其高度忽略不计）为坡地进行浇灌，，点处的自动浇灌装置喷出的水柱呈抛物线形，已知水柱在距出水口的水平距离为时，达到距离地面的竖直高度的最大值为．以所在的水平方向为x轴，所在的竖直方向为轴建立平面直角坐标系，如图所示，经过测量，可知斜坡的函数表达式为．(1)求图中水柱所在抛物线的函数表达式；(2)若该装置浇灌的最远点离地面的竖直高度为，求此时喷到处的水柱距出水口的水平距离．【答案】(1)(2)米【分析】本题考查了二次函数的图象与性质及其应用、一次函数的图象与性质，解一元二次方程，熟练掌握与灵活运用相关知识，运用数形结合的思想分析问题是解题的关键．（1）利用顶点坐标设抛物线解析式为，求出，将代入抛物线解析式求解即可；（2）对于抛物线，令，求解即可．【详解】（1）解：令，则，则，根据题意可知，抛物线的顶点坐标为，则设抛物线解析式为，将代入，可得：，解得：，∴水柱所在抛物线的函数表达式为；（2）解：对于抛物线，令，得：，整理可得：，解得：，（舍去），∴此时喷到处的水柱距出水口的水平距离米．4．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，求水流喷射的最远水平距离．【答案】20米【分析】本题考查二次函数的实际应用，设出顶点式，利用待定系数法求出函数解析式，求出时的的值即可．【详解】解：喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，∴设抛物线解析式为，将点代入，得，解得，抛物线解析式为：．令，则，解得，（不合题意，舍去）．∴，．答：水流喷射的最远水平距离为20米．题型五销售问题1．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．设该种品牌玩具的实际销售单价为元，实际销售量为y件，销售该品牌玩具获得的利润为元．(1)分别求出y与x、w与x之间的函数表达式；(2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？【答案】(1)y与x之间的函数表达式为，w与x之间的函数表达式为(2)10000元【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及利用二次函数最值求解．（1）根据用600减去减少的销售量可得y与x之间的函数表达式；根据一件的利润与销售数量的积，即可表示出w与x函数关系式；（2）由题意列出不等式组，可求得x的范围，再由二次函数的性质即可求得最大利润．【详解】（1）解∶y与x之间的函数表达式为，w与x之间的函数表达式为；（2）解∶根据题意得：，解得：；∵，且，∴当时，w取得最大值，最大值为10000，答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是10000元．2．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个．(1)设该吉祥物毛线玩具每个售价定为元，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；(2)若获利不得高于进价的，每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？【答案】(1)(2)当每个毛绒玩具的售价定为54元，每天最大利润是1248元【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，对于（1），先表示出上涨的价格，进而得出销售量与售价的关系式；对于（2），根据单件利润乘以销售量等于总利润列出关系式，再根据自变量取值范围讨论极值即可．【详解】（1）解：根据题意，得；（2）解：设总利润为w，根据题意，得，且，∵，，∴抛物线的开口向下，当时，函数值y随着x的增大而增大，当时，（元）．所以每个毛绒玩具售价定为54元，每天销售玩具所获得利润最大，最大利润是1248元．3．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）某商店销售一种成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，每日可售出50千克，销售价每涨价1元，日销售量就减少1千克．(1)请你直接写出日销售利润y(元)与售价x(元/千克)之间的函数关系式．(2)当售价定为多少元时，这种水产品的日销售利润最大？最大利润是多少元．【答案】(1)(2)当售价定为每千克70元时，这种水产品的日销售利润最大，最大利润是900元【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．（1）根据题意可以得到日销售量为，根据销售利润每千克利润日销售量，即可得出答案；（2）根据（1）中的关系式化为顶点式即可解答本题．【详解】（1）解：由题意得：，即：；（2），又由可知抛物线的开口向下，∴当时，最大值为900，故当售价定为每千克70元时，这种水产品的日销售利润最大，最大利润是900元．4．（24-25九年级上·广东云浮·期末）张老板经营一家水产品店，在销售河蟹期间，他发现将售价定为80元/千克时，每天可销售20千克．后来为了扩大销售量，他适当降低了售价，每天的销售量y（千克）与降价x（元）的关系如图所示．已知河蟹的进价为50元/千克．(1)求y与x之间的函数关系式．(2)若要使每天销售这种河蟹的平均利润w最大，则每千克河蟹应降价多少元？最大利润为多少元？【答案】(1)(2)应降价10元，最大利润为800元【分析】此题考查了二次函数和一次函数的应用，（1）根据函数图像得到图像中的两个点，利用待定系数法确定一次函数的解析式即可；（2）根据题意列出二次函数，求得函数的最值即可求解答案．【详解】（1）设，依题意，得，解得所以与之间的函数关系式是．（2）依题意，得，∵，∴当时，．答：若要使每天销售这种河蟹的平均利润最大，则每千克河蟹应降价10元，最大利润为800元．题型六其他问题1．（24-25九年级上·河南三门峡·期末）如图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为80米，高度为200米，求离地面150米处的水平宽度（即的长）．

【答案】40【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的解析式，是解题的关键．以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，求出内侧抛物线的解析式为，将代入求出，然后求出即可．【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示：则，，设内侧抛物线的解析式为：，将代入得：，解得：，内侧抛物线的解析式为，将代入得：，解得：，，，（米）．2．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）兰州牛肉面以其独特的风味火遍全围，是行走的兰州历史文化代表，如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底O为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽28cm，碗深，则当满碗汤面的竖直高度下降6.6cm时，求碗中汤面的水平宽度为多少？（碗的厚度不计）．【答案】【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意，求出抛物线表达式为，进而根据题得出，代入进行计算即可求解．【详解】解：根据题意得抛物线经过点，设抛物线表达式为，代入得，解得：∴抛物线表达式为，∵当满碗汤面的竖直高度下降时，∴碗中汤面高度为，当时，解得：，∴碗中汤面的水平宽度为，3．（24-25九年级上·广东广州·期中）由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．某公司设计了一款新型汽车，现在对它的刹车性能（车速不超过）进行测试，测得数据如表：车速刹车距离(1)以车速为横坐标，刹车距离为纵坐标，在坐标系中描出表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点；(2)若车速和刹车距离的函数关系近似看作二次函数，请求出这个函数的解析式（不要求写出的取值范围）；(3)若该型汽车某次测试的刹车距离为，请根据（2）中求出的函数解析式，估计该车的速度．【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握描点、连线画函数图象，待定系数法求解析式，根据函数值求自变量值的方法是解题的关键．（1）根据坐标画图即可；（2）根据待定系数法求出解析式；（3）由（2）解析式，再把代入可得车速．【详解】（1）解：如图，（2）解：由题意，设与的关系式为，把和代入得，∴，∴与的关系式为．（3）解：由题意，由（2）得，，令，则，解得或（负值舍去），∴该型汽车某次测试的刹车距离为，估计该车的速度约为．4．（24-25九年级上·山东淄博·期中）有心理学家研究发现，学生对某类概念的接受能力y与讲授概念所用时间x（min）之间满足函数关系．y值越大，表示接受能力越强．根据这一结论回答下列问题：(1)将二次函数关系式化成顶点式；(2)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？在什么范围内，学生的接受能力逐渐降低？【答案】(1)(2)当时，学生的接受能力逐步增强；当时，学生的接受能力逐渐降低【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握配方法和二次函数的性质是解题的关键．（1）根据配方法求解；（2）根据二次函数的性质求解．【详解】（1）解：；（2）解：∵，对称轴为直线，∴当时，学生的接受能力逐步增强；当时，学生的接受能力逐渐降低．题型一图形运动问题1．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从开始沿向点以的速度移动，如果点，同时从点出发，试问：(1)出发多少时间时，点之间的距离等于？(2)面积的是否有最大值？若有是多少？此时时间是多少？【答案】(1)出发时间时，点之间的距离等于(2)面积的有最大值，此时时间是秒【分析】此题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出解析式是关键．（1）设出发时间时，点之间的距离等于，根据勾股定理列方程并解方程即可；（2）根据题意得到面积的函数表达式，根据二次函数的性质进行解答即可．【详解】（1）解：设出发时间时，点之间的距离等于，依题意有，解得（不合题意舍去）．答：出发时间时，点之间的距离等于；（2）依题意有，，∴面积的有最大值，此时时间是秒．2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，矩形中，，，点E在边上，且，点P从点B出发，沿运动，速度为每秒2个单位；点Q从点B出发，沿方向运动，速度为每秒1个单位，点Q到达点E时停止运动．两个点同时出发，点P的运动时间为x秒，且．在运动过程中，的面积为y．(1)求出y与x的函数解析式，并在所给的坐标系中画出函数y的图象；(2)结合图象，写出函数y的一条性质；(3)根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围．（误差不超过）【答案】(1)，函数图象见解析(2)当时随的增大而增大(3)当时，自变量的取值范围【分析】（1）当时，当时，当时，根据三角形的面积公式即可得到结论；（2）根据函数图象即可得到结论；（3）根据函数图象即可得到结论．【详解】（1）解：当时，∵，；当时，，；当时，，，综上所述，与的函数解析式为；函数图象如图所示；（2）解：当时，随的增大而增大；（3）解：由图象知，当时，自变量的取值范围．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，三角形的面积，二次函数的应用，一次函数的应用，一次函数的性质，正确地求出函数解析式是解题的关键．3．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．(1)填空：________，________（用含t的代数式表示）；(2)当t为何值时，的长度等于？(3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．(4)是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)或2(3)存在，秒(4)存在，【分析】（1）根据路程与速度的关系解决问题即可；（2）利用勾股定理得到方程，求解即可得到结果；（3）根据长方形的面积减去的面积等于五边形的面积，列出方程，然后求解即可得到结果；（4）根据（3）可知的面积为，据此求解即可．【详解】（1）解：由题意：，故答案为．（2）解：由题意得：，解得：，．或2时，；（3）解：存在秒，能够使得五边形的面积等于．理由如下：长方形的面积是：，五边形的面积，，即，解得：（不合题意舍去），．即当秒时，使得五边形的面积等于．（4）解：由题意得，，当时，的面积最大．【点睛】本题考查动态几何问题，矩形的性质，一元二次方程，二次函数最值等知识，利用参数构建方程解决问题是解题的关键．4．（24-25九年级上·山西大同·期中）如图，中，．动点分别从两点同时出发，点沿边以的速度运动到点停止，点沿边匀速运动到点停止．点同时停止运动．设运动时间为．根据题意，完成下列解答．(1)点的速度为______．(2)设之间的距离为，则与满足______（选填“正比例”“一次”“二次”）函数关系．(3)连接，设的面积为，请用含的代数式表示，并求出的最大值．【答案】(1)(2)一次(3)，6【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，涉及动点问题、三角形面积等知识，解题的关键是用含的代数式表示的长度．（1）根据点同时停止运动，得到运动时间一样，再根据路程、速度、时间的关系求解即可；（2）由题意得，，则，即，即可确定函数关系；（3）根据三角形面积公式得到关于的函数解析式，再配方求最值即可．【详解】（1）解：由题意得，点从运动到点用时∴点的速度为，故答案为：；（2）解：由题意得，，则，∴，∴与满足一次函数关系，故答案为：一次；（3）解：由题意得，，∴，∴，∵，∴当时，取得最大值为．题型二面积问题1．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，已经抛物线经过点，且它的对称轴．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点B是抛物线线上的一点，当的面积为15时，直接写B的坐标；(3)P是对称轴上的一点，当的值最大时，求P的坐标以及的最大值．【答案】(1)(2)或或或(3)点时，的值最大为，【分析】（1）根据题意可设抛物线为再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；（2）设，设的解析式为：，利用待定系数法求出的解析式，再求出点C的坐标，进而可得出，代入即可求出a的值，进而可求出点B的坐标，再当时，求的面积是否为15进而可得出点B的另一个坐标．（3）做点O的对称点，连接交对称轴于点P，则，有，当点P、点C和点A三点共线时即可取得最大值，利用待定系数法求得直线的直线方程为，当时求得，则点时，的值最大，并利用勾股定理求得即可．【详解】（1）解：抛物线经过点，∴设抛物线为：抛物线过，且它的对称轴为．解得：∴抛物线为：；（2）解：设，设的解析式为：，则，解得：，则的解析式为：，当时，则，解得：，侧，∴∵∴，解得：或或或（舍去），此时点，或，当时，则直线为，平行于x轴此时，，满足题意，综上：则或或或．（3）解：做点O的对称点，连接交对称轴于点P，如图，则，∴，当点P、点C和点A三点共线时即可取得最大值，设直线的直线方程为，则，解得，∴直线的直线方程为，当时，，那么，点时，的值最大，．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、等面积法、对称的性质、三角形三边关系和勾股定理的应用，解题的关键是熟悉二次函数的性质和对称性．2．（24-25九年级上·青海西宁·期中）如图已知二次函数图象与x轴交于A，C两点，与y轴交于点B．(1)连接，求直线的解析式；(2)点P为该二次函数图象在第一象限上一点，当的面积最大时，求P点的坐标．【答案】(1)(2)【分析】（1）求出，两点坐标，利用待定系数法求解；（2）过点作轴交于点，设，则，然后构建二次函数，利用二次函数的性质求解．【详解】（1）解：对于，令，则，，令，可得，解得或，，，设直线的解析式为，，解得，∴直线的解析式为；（2）解：过点作轴交于点，设，则，，，∵，，当时，的面积最大，面积的最大值为4，此时．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数的解析式，二次函数的图象上的点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．3．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点、点，与轴交于点，其中．(1)求二次函数的解析式；(2)若点在二次函数图象上，且，求点的坐标．【答案】(1)(2)或【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，求二次函数解析式，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出，再根据三角形面积计算公式求出的值，再把代入函数解析式中求出点P的坐标即可．【详解】（1）解：把代入到中得，解得，∴二次函数解析式为；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，在中，当时，解得或，∴此时点P的坐标为或；在中，当时，则，此时，故原方程无解，即此种情形不存在；综上所述，点P的坐标为或．4．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线点P是此抛物线上的点，其横坐标为，连接，取的中点B，过点B作y轴的平行线交此抛物线于点Q，连接．(1)求此抛物线对应的函数关系式；(2)当抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围；(3)当的边与x轴平行时，求的面积．【答案】(1)(2)(3)8或64【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质及几何综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．（1）根据点A及抛物线的对称轴可进行求解；（2）由题意可得点P、点Q都在对称轴的右侧时，然后问题可求解；（3）由题意可分当轴时，则有点P的坐标为，当轴时，则有点Q的坐标为，然后根据三角形面积公式可进行求解；【详解】（1）解：∵抛物线经过点，其对称轴为直线∴，解得：，∴抛物线对应的函数关系式；（2）解：∵点P的横坐标为，B为的中点，，∴点B的横坐标为，∵过点B作y轴的平行线交此抛物线于点Q，∴点Q的横坐标为m，∴点P、点Q都在对称轴的右侧时，即时，抛物线在点P与点Q之间的部分（包括点P和点Q）的图象对应的函数值y随x的增大而增大；∴m的取值范围为；（3）解：当轴时，点A、P关于对称轴直线对称，∴点P的横坐标为，∴点P的坐标为，即，当时，，∴点Q的坐标为，∴；当轴时，点A、Q关于对称轴直线对称，∴点Q的坐标为，即，∴，即点P的横坐标为，∴当时，，∴点，∴．题型三线段周长问题1．（23-24九年级上·甘肃武威·阶段练习）直线与抛物线相交于和，点P是线段上异于C，D的动点，过点P作垂直x轴，交抛物线于点M．(1)求抛物线的解析式；(2)直接写出的x的取值范围；(3)是否存在这样的P点，使的长有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，线段有最大值【分析】本题考查了二次函数的综合运用，涉及了待定系数法求函数解析式，配方法求最值等知识点，解答本题的关键是根据解析式设出点和点的坐标，列出的代数式．（1）将点坐标代入直线解析式，求出的值，然后把坐标代入二次函数解析式，求出，即可求得抛物线的解析式；（2）根据图象即可求解．（3）设动点的坐标为，点的坐标为，表示出的长度，然后利用配方法求出二次函数的最大值，并求出此时的值．【详解】（1）解：∵在直线上，∴，即，∵和在抛物线上，，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）解：∵点和点是抛物线和直线的交点，结合图象可得：的x的取值范围是．（3）解：存在，理由如下：设动点的坐标为，点的坐标为，，，∴抛物线开口向下，有最大值，∴当时，线段有最大值．2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点．(1)求二次函数的解析式．(2)若点是这个二次函数图象在第二象限内的一点，过点作轴的垂线与线段交于点，求线段长度的最大值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，求直线解析式，函数最值问题，将线段列出函数关系式利用最值确定线段的最大值的解题思路是关键．（1）将点B坐标代入即可求出解析式；（2）先求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点C的坐标为，列出线段的关系式配方即可得到的最大值．【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，∴，解得，∴二次函数的解析式为；（2）∵二次函数的解析式为，∴时，，∴，设直线的解析式为，把代入，得，解得，所以直线的解析式为设点的坐标为．则点的坐标为．因为点在点的右边，所以．因为点是这个二次函数图象在第二象限内的一点，所以，所以当时，线段的长度有最大值，最大值为．3．（24-25九年级上·四川凉山·期中）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．设动点坐标为．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当为何值时矩形的周长有最大值？最大值是多少？【答案】(1)抛物线的函数表达式为(2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为．【分析】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质．（1）利用待定系数法求得抛物线的函数表达式，化成顶点式，即可求得顶点坐标；（2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得．【详解】（1）解：∵抛物线过点，，∴，解得，∴抛物线的函数表达式为，（2）解：∵四边形是矩形，∴，∵点，在抛物线上，∴点，关于抛物线对称轴对称，∴由抛物线的对称性得，，当时，，则点的纵坐标为，矩形的周长，，当时，矩形的周长有最大值，最大值为．4．（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图，已知抛物线与x轴分别交于点，与y轴交于点C，点Q是抛物线上一点．(1)求抛物线的解析式：(2)若点Q在直线下方的抛物线上，过点Q作轴于点D，交直线于点E，作于点F，当时，求点Q的坐标．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式，线段问题等知识．（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可．（2）先求出，再得出，结合已知条件分别得出为等腰直角三角形，利用待定系数法求出直线的解析式，设点，则点，进而由等腰直角三角形的性质可得出，，根据得出关于x的一元二次方程，求解即可得出答案，并选择点Q在直线下方的抛物线上的点即可．【详解】（1）解：由已知可设：，则，得：进而有所以抛物线的解析式为：（2）解：由（1）知：，当时，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，设直线的解析式为：，则，解得：∴的解析式为：，设点，则点，则，而，∵，即，解得：（舍去）或，即点；题型四特殊三角形问题1．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点(1)求抛物线解析式；(2)若点为抛物线部分上一动点（可与，两点重合），过点作轴交直线于点，交轴于点．连接，当为等腰三角形时，直接写出的值．【答案】(1)(2)或或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出直线的解析式为，，由两点之间距离公式求得、、，然后分情况讨论等腰三角形的腰相等并分别计算即可．【详解】（1）解：∵抛物线经过点，∴将点代入，得，解得，抛物线的解析式为；（2）解：设直线的解析式为，将点代入，得，解得，∴直线的解析式为．∵点M在直线上，且点，∴点M的坐标为．将代入，则，∴，∴，∴，．当为等腰三角形时，（ⅰ）若，则，即，解得．（ⅱ）若，则，即，解得或（舍去）．（ⅲ）若，则，即，解得或（舍去）．综上所述，或或．【点睛】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、两点之间距离公式、等腰三角形的性质、解一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用相关知识综合解决问题．2．（24-25九年级上·新疆昌吉·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点，交轴于点．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在一点，使是以为底边的等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点P的坐标；(3)若为抛物线对称轴上的一点，连接，，将沿直线翻折得到，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标．【答案】(1)；(2)存在，或；(3)或；【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、等腰三角形的判定和性质、轴对称等知识．（1）利用待定系数法求解即可；（2）求出的垂直平分线为，与二次函数联立即可求出答案；（3）分两种情况进行求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，抛物线的表达式为：；（2）存在，理由：是以为底边的等腰三角形，则点P在的中垂线上，∵，∴，而，∴为等腰直角三角形，∵的中点为，∴的垂直平分线为，∴，解得：，∴或．（3）∵点，，∴，抛物线的对称轴为直线，如图，由题意得，设翻折后点和点B对应，则，，，∴，∴，∴，当点M在x轴下方时，根据对称性，则点；故点M的坐标为：或．3．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点．设点的横坐标为．(1)分别求直线和这条抛物线的解析式；(2)若，求此时点的坐标；(3)是否存在这样的点，使得以、、为顶点组成直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)直线的解析式为，(2),(3)，，或【分析】（1）设，将，代入两个函数解析式即可求出答案；（2）设，，根据，则，即可解答；（3）设，分当时；，三种情况依次进行讨论即可．【详解】（1）解：设，将，代入，得，解得，直线的解析式为，抛物线经过点，两点，将，代入，，解得，；（2）设，，，则，当时∵，整理得，，（舍去）；当时∵，整理得，∴（舍去）或；∴当时∴不存在综上所述：,（3）设，则，，，①当时，即，，，，，，解得或（舍去），②时，即，，，，而，，，③时，即，，，（舍去）或，或，或，综上所述：，，或【点睛】本题考查二次函数的综合应用，主要考查二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．4．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），点是抛物线的顶点，连接、．(1)求、的坐标（用含的式子表示）；(2)若抛物线与直线交于，两点，当，满足时，直线是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标，否则，请说明理由；(3)如图，若是等腰直角三角形，点是一动点且满足，连接，将线段绕点逆时针旋转到，连接，求的最大值．【答案】(1)(2)直线l总经过定点，理由见解析(3)最大值为【分析】（1）当时，，求得点A的坐标，将函数解析式化为顶点式，得到点C的坐标；（2）由直线与抛物线相交得到，根据根与系数的关系得到，由等式变形后，将根与系数的关系式代入求得，由此得到答案；（3）作于M，由是等腰直角三角形，得，求出，将线段绕点逆时针旋转到，连接，作于H，证得，推出，由，得，由两点距离公式求出得到当A，N，P三点共线时，有最大值．【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），∴当时，，解得，∴，∵，∴；（2）解：直线l总经过定点，理由如下：∵抛物线与直线交于，两点，∴，整理得，∴，∵，∴∴，∴∴得，∴当时，∴直线l总经过定点；（3）解：作于M，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴将线段绕点逆时针旋转到，连接，作于H，则，∴，又∵，∴，∴，在中，，∴，∴∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴当A，N，P三点共线时，有最大值．【点睛】此题考查二次函数的性质，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数与特殊三角形问题，勾股定理，一元二次方程的根与系数关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．题型五特殊四边形问题1．（24-25九年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线和线段，其中点，点，点是抛物线与轴的交点，点是抛物线的顶点．(1)求直线的解析式；(2)点在抛物线上，且与点关于对称轴对称，连接，，，射线交轴于点，连接，，四边形是否能构成平行四边形？如果能，请求的值；如果不能，说明理由；(3)若抛物线与线段只有一个交点，结合函数图象，求的取值范围．【答案】(1)直线的解析式为；(2)四边形能构成平行四边形，；(3)的取值范围为或【分析】本题考查待定系数法，平行四边形性质及应用，二次函数与一元二次方程的关系等，解题的关键是数形结合思想的应用．（1）设的解析式为，用待定系数法可得直线的解析式为；（2）由，，，知向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得到，故当向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得到时，四边形是平行四边形，即得；（3）联立，得，当时，即时，直线与抛物线只有一个交点，交点在线段上，当时，即，直线与抛物线有两个交点，若抛物线过时，，得，当抛物线过时，，得，由图可得抛物线L与线段只有一个交点，m的取值范围为或．【详解】（1）解：设的解析式为，把点，点代入得，，解得，直线的解析式为；（2）解：四边形能构成平行四边形，理由：∵，抛物线顶点，对称轴为直线，当时，，点，、都在抛物线上，且关于对称轴对称，，，，，，且，，，，，向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到，当向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到时，四边形是平行四边形，∵在轴上，，；（3）解：联立，整理得：，，当时，即时，直线与抛物线只有一个交点，交点在线段上，如图：当时，即时，直线与抛物线有两个交点，若抛物线过时，，解得，此时直线与抛物线有两个交点，坐标分别为，都在线段上；如图：当抛物线过时，，解得，此时直线与抛物线有两个交点坐标分别为，，只有一个点在线段上；如图：综上所述，抛物线与线段只有一个交点时，的取值范围为或．．2．（24-25九年级上·广东湛江·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．(1)求抛物线的表达式．(2)点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标：(3)在平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线的表达式为(2)点的坐标为(3)存在，或或【分析】（1）利用抛物线的交点式直接代值求解即可得到答案；（2）过点作轴的垂线，交于，如图所示，由二次函数图象与性质，利用平面直角坐标系中三角形的面积求法得到，进而由二次函数最值的求法即可得到答案；（3）根据平行四边形的对角线互相平分，则逐个情况进行讨论，运用中点公式列式计算，即可作答．【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点，设抛物线的交点式为，即抛物线的表达式为；（2）解：过点作轴的垂线，交于，如图所示：由（1）知抛物线的表达式为，抛物线与轴交于点，设直线，将、代入得，解得，直线，点是抛物线上位于线段下方的一个动点，设，则，，，抛物线开口向下，当时，有最大值，此时点的坐标为；（3）解：存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，过程如下：∵、，，且点，，，为顶点的四边形是平行四边形，∴当为对角线时，则，∴，解得，∴点的坐标为；∴当为对角线时，则，∴，解得，∴点的坐标为；∴当为对角线时，则，∴，解得，∴点的坐标为；综上所述：点的坐标为或或．【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质、平面直角坐标系中求三角形面积、二次函数最值、平行四边形的性质，中点公式，熟练掌握二次函数图象与性质、二次函数综合问题的解法是解决问题的关键．3．（24-25九年级上·重庆永川·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线下方的抛物线上一个动点，求四边形面积的最大值及此时P点的坐标；(3)点F是直线l上一点，点G是平面内一点，是否存在以为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)四边形面积的最大值为9，此时点P的坐标为；(3)或或或【分析】1）利用待定系数法解答，即可求解；（2）连接，设点P的坐标为，再由四边形面积，结合二次函数的性质解答，即可求解；（3）设点F的坐标为，分两种情况：当为边，为对角线时，；当为边，为对角线时，，即可求解．【详解】（1）解：把点代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）解：∵点，∴，当时，，∴点，∴，如图，连接，设点P的坐标为，∴四边形面积，∵，∴当时，四边形面积最大，最大值为9，此时点P的坐标为；（3）解：∵点，∴抛物线的对称轴为直线，设点F的坐标为，当为边，为对角线时，，即，∴，解得：，∴点F的坐标为或；当为边，为对角线时，，即，∴，解得：，∴点F的坐标为或；综上所述，点F的坐标为或或或．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数与坐标轴的交点、面积的计算，菱形的性质，勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．4．（2025·河南商丘·二模）如图，抛物线过点，与轴交于点、，抛物线顶点坐标为，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求证：直线与该抛物线没有交点；(3)设，矩形的周长为，写出与的函数关系式，并求的最大值；【答案】(1)(2)见解析；(3)，的最大值是20【分析】本题主要考查了二次函数综合，矩形的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．（1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可；（2）联立两函数解析式得到一个一元二次方程，利用判别式求解即可；（3）根据题意可得，可证明点E和点F关于抛物线对称轴对称，则可得到，进而求出，，根据据此周长计算公式可得，据此利用二次函数的性质求出最大值即可．【详解】（1）解：由题意可设抛物线的函数解析式为，将点代入解析式可得，解得，抛物线的函数表达式为；（2）证明：将直线与抛物线联立可得，整理得；∴，直线与抛物线没有交点；（3）解：由题意得，则∵四边形是矩形，∴，∴点G和点D关于抛物线对称轴对称，∴点E和点F关于抛物线对称轴对称，由（1）可得抛物线对称轴为直线，，，．，即与的函数关系式是当时，的值最大，的最大值是20．1．（24-25九年级上·福建福州·期中）根据以下的素材，制定方案，设计出面积最大的花圃：素材：有一堵长米（）的围墙，利用这堵墙和长为的篱笆围成矩形花圃，设花圃面积为y，甲、乙、丙三人讨论如何设计一个面积最大的花圃．素材：甲的设计方案，利用墙面作为矩形花圃的一边（如图），求解决过程如下：设平行于墙面的篱笆长为米，则垂直于墙面的篱笆长为依题意得：∵函数开口向下，对称轴为直线∴当时，随的增大而增大∴时，的最大值为素材：受甲的方案的启发，乙、丙各自有了新的设计方案．乙的方案：利用全部围墙作为矩形一边的一部分（如图）；丙的方案，利用部分围墙作为矩形一边的一部分（如图）设墙左端篱笆长为米，解决下列问题：任务：当时，对于乙的方案，则可知（用含的代数式表示），花圃面积（用含的代数式表示），求该方案对应的花圃面积的最大值．任务：对于丙的方案，设所用墙的长度为米（），求该方案对应的花圃面积的最大值．任务：比较甲、乙、丙三种方案，判断哪种方案设计出的花圃面积更大？并说明理由．【答案】任务：；，该方案对应的花圃面积的最大值为．任务：当时，花圃面积取最大值任务：丙方案设计出的花圃面积更大，【分析】任务：根据题意分别表示，，即可得花圃面积为，，故当时，的最大值为；任务：根据题意分别表示，，即可得花圃面积为，，故当时，花圃面积取最大值；任务：分别计算当时，当时，相应的最大值和的最大值，排除方案乙，设的最大值函数为，的最大值函数为，令，得，根据，可得与仅有一个交点，因为当时，，在取值范围内，的最大值函数图象在的最大值函数图象的上方，故丙方案设计出的花圃面积更大，【详解】解：任务：∵，，∴，又∵篱笆总长为，，∴，∵乙的方案：利用全部围墙作为矩形一边的一部分，∴，，∴，∴花圃面积，即，∵函数开口向下，对称轴为直线，∴时，最大值，故答案为：；，该方案对应的花圃面积的最大值为．任务：∵，，∴，又∵篱笆总长为，，∴，∵丙的方案，利用部分围墙作为矩形一边的一部分，∴，，∴，∴花圃面积，即，∵函数开口向下，对称轴为直线，∴当时，花圃面积取最大值．任务：∵甲方案：的最大值为；乙方案：最大值为，丙方案：最大值；∴当时，的最大值为，的最大值为；当时，的最大值为，的最大值为，∴排除乙方案，设的最大值函数为，的最大值函数为，令，则，即，∴，∴与仅有一个交点，当∵当时，，∴在取值范围内，的最大值函数图象在的最大值函数图象的上方，∴丙方案设计出的花圃面积更大．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图象和性质，二次函数的最值问题，列代数式，一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．2．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）定义：如果四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，那么这个四边形叫做和谐四边形，这条对角线叫做和谐对角线，[概念理解]（1）下列图形中，属于和谐四边形的是____________．A．平行四边形

B．对角线互相垂直的四边形

C．对角线相等的四边形[性质探讨]；（2）和谐四边形的性质：在和谐四边形中，和谐对角线平分另一条对角线．利用所学知识证明和谐四边形的性质，即：如图1，已知：四边形是和谐四边形，和谐对角线与对角线交于点与的面积相等．求证：．[探究应用]；（3）①如图2，已知四边形是和谐四边形，和谐对角线与对角线交于点．求证：；②如图3，已知直线与抛物线交于两点，点在轴负半轴上，满足，点在第一象限且位于抛物线上，若四边形是和谐四边形，求点的横坐标．【答案】（1）A；（2）见解析；（3）①见解析；②【分析】（1）根据和谐四边形的定义进行判断即可；（2）过点作于点，过点作于点，根据，得到，证明，即可得证；（3）①在上取一点T，使得，连接，证明四边形是平行四边形，进而得到，得到，推出，得到，再利用外角的性质，可得结论．②联立直线和抛物线的解析式，求出两点坐标，过点作轴，