《初中数学•同步练习》九上24.1.3弧、弦、圆心角

PAGE124.1.3弧、弦、圆心角（七大题型提分练）类型一、圆心角的概念1．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（）A． B． C． D．2．（23-24九年级上·福建泉州·期中）下列图形中的角是圆心角的是（

）A．

B．

C．

D．

类型二、弧、弦、圆心角的关系3．（22-23九年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（

）A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的圆心角所对的弦心距相等C．度数相等的两条弧相等 D．相等的圆心角所对的弧的度数相等4．（2023·江苏扬州·三模）下列各项命题中，属于真命题的是（

）A．相等的弦，所对的圆周角相等B．同圆或等圆中，较长的弧，所对的弦也长C．相等的圆心角所对的弦相等D．相等的弦，所对的弧相等5．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，是的直径，如果，那么与线段相等的线段有，与相等的弧有．类型三、利用弧、弦、圆心角的关系求角度6．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，弦平行于直径，连接，，则弧所对的圆心角的度数为（）A． B． C． D．7．（23-24九年级上·广西南宁·期末）如图，在中，，，则的度数是（

）A． B． C． D．8．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，是的直径，，若，则的度数为（

）A． B． C． D．类型四、圆弧的度数9．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是10．（23-24九年级上·江苏·周测）如图，

是的直径，弦，若，则的度数是．11．（22-23九年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，那么的度数是．类型五、最短路径问题12．（2023·云南大理·一模）如图，在中，AB是的直径，，、为弧AB的三等分点，是AB上一动点，的最小值是．

13．（22-23九年级下·江苏南通·期末）如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径上一动点，若的直径为2，则的最小值是．

类型六、有关弧、弦、圆心角的计算问题14．（21-22九年级上·福建厦门·期中）已知：如图所示，A，B，C，D是⊙上的点，且，，求的度数．15．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，求的度数．16．（23-24九年级上·陕西安康·期末）如图，为的直径，点D是的中点，过点D作于点E，延长交于点F．若，求的长．17．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，等边三角形内接于，连结，，．(1)，，分别为多少度．(2)若等边三角形的边长为，求的半径．类型七、有关弧、弦、圆心角的证明问题18．（22-23九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在中，D，E分别是半径，的中点，点C在圆上，．求证：19．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，是的直径，点C、D在上，，，垂足分别为E，F，且，与相等吗？为什么？20．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，已知为的直径，，绕点旋转，，两点不与，重合．(1)求证：；(2)成立吗？为什么．一、单选题1．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）如图所示，在圆O中，如果（均小于），那么正确的是（

）A． B．C． D．2．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，等腰三角形的顶点是圆的等分点，且腰，所对的劣弧（不包括，，）上分别有个等分点，若等腰三角形是钝角三角形．则至少是（

）A．15 B．16 C．17 D．183．（2020·河北唐山·二模）已知锐角．如图（1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点．连接；（2）分别以点、为圆心，长为半径作弧，交于点、；（3）连接，．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．B．若，则C．D．点与点关于对称二、填空题4．（22-23九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，是的直径，，点A在上，，B为弧的中点，P是直径上一动点．则的最小值为．5．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，的半径为，点是半圆的中点，点是的一个三等分点（靠近点），点是直径上的动点，则的最小值．

6．（20-21九年级上·江苏南京·阶段练习）在⊙O中，AB是直径，AB＝2，C是上一点，D、E分别是、的中点，M是弦DE的中点，则CM的取值范围是．三、解答题7．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）如图，是的直径，弦于点E，点F在延长线上，连结交于点G，连结，．

(1)若弧度数是，求的度数．(2)求证：．8．（2024·江苏南京·二模）如图，、是的两条弦，与相交于点E，．(1)求证：；(2)连接作直线求证：．9．（22-23九年级上·云南红河·期末）如图，已知、是的直径，交于点，交于点．(1)求证：；(2)写出图中4组不同的且相等的劣弧（不要求证明）．10．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，分别以A，B为圆心，，为半径在的外侧构造扇形，扇形，且点E，C，D在同一条直线上，为，为．(1)求的度数．(2)若，，求点A，B到直线的距离的和．24.1.3弧、弦、圆心角（七大题型提分练）类型一、圆心角的概念1．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查圆心角的概念，确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是．【详解】解：根据圆心角的概念，、、的顶点分别是B、A、C，都不是圆心O，因此都不是圆心角．只有B中的的顶点在圆心，是圆心角．故选：B．2．（23-24九年级上·福建泉州·期中）下列图形中的角是圆心角的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角是圆心角是解题的关键．根据圆心角的概念解答．【详解】解：A、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意；B、是圆心角，故选项符合题意；C、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意；D、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意；故选：B．类型二、弧、弦、圆心角的关系3．（22-23九年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（

）A．相等的圆心角所对的弧相等 B．相等的圆心角所对的弦心距相等C．度数相等的两条弧相等 D．相等的圆心角所对的弧的度数相等【答案】D【分析】本题考查了圆形角，弧，弦心距之间的关系，根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，相等的圆心角所对的弦心距相等，度数相等的两条弧相等，以及相等的圆心角所对的弧的度数相等逐个判断即可．【详解】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故A不正确，不符合题意；B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦心距相等，B不正确，不符合题意；C、在同圆或等圆中，度数相等的两条弧相等，故C不正确，不符合题意；D、相等的圆心角所对的弧的度数相等，故D正确，符合题意；故选：D．4．（2023·江苏扬州·三模）下列各项命题中，属于真命题的是（

）A．相等的弦，所对的圆周角相等B．同圆或等圆中，较长的弧，所对的弦也长C．相等的圆心角所对的弦相等D．相等的弦，所对的弧相等【答案】B【分析】本题考查了弦、弧、圆周角、圆心角的关系，理解“在同圆或等圆中，弦、弧、圆周角、圆心角一组量相等，其它都相等”是解题的关键．【详解】解：A.同圆或等圆中相等的弦，所对的圆周角相等；结论错误，故不符合题意；B.同圆或等圆中，较长的弧，所对的弦也长；符合题意，故结论正确；C.同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等；结论错误，故不符合题意；D.同圆或等圆中，相等的弦，所对的弧相等；结论错误，故不符合题意；故选：B．5．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，是的直径，如果，那么与线段相等的线段有，与相等的弧有．【答案】，，，，，【分析】本题考查了圆心角、弦、弧的关系，等边三角形的判定与性质，由是的直径得，从而得出，，是全等的等边三角形，再根据性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：∵是的直径，，∴；又∵，∴，，是全等的等边三角形，∴，∴，故答案为：，，，，；，．类型三、利用弧、弦、圆心角的关系求角度6．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，弦平行于直径，连接，，则弧所对的圆心角的度数为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了圆的相关性质，平行线的基本性质，根据平行得出（内错角相等）即可求出答案．【详解】连接，∵弦平行于直径，∴，又∵，则，∴，∵∴．故选：A．7．（23-24九年级上·广西南宁·期末）如图，在中，，，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查圆心角，弧，弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，由此即可得到答案．【详解】解：，，．故选：D．8．（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，是的直径，，若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据同圆中等弧所对的圆心角相等得到，再由平角的定义可得答案．【详解】解：∵，∴，∴，故选：A．类型四、圆弧的度数9．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是【答案】/150度【分析】本题考查了求弧的角度，连接，过点O作于点E，设圆的半径为，根据题意可得，进而得，根据得，即可求解；【详解】解：如图所示：连接，过点O作于点E，设圆的半径为，由题意可得：，∴∴∴∴∴弧的度数是故答案为：10．（23-24九年级上·江苏·周测）如图，

是的直径，弦，若，则的度数是．【答案】30°/30度【分析】连接，根据平行线的性质可得，由可得，再根据三角形内角和定理可求得的度数，即的度数．【详解】连接，，．，，，∴的度数是．故答案为：【点睛】本题主要考查了弧的度数：圆中，弧的度数即弧所对的圆心角的度数，掌握这一点知识是解题的关键．11．（22-23九年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，那么的度数是．【答案】/度【分析】连接，根据三角形内角和定理求出的度数，根据等边对等角得出的度数，然后根据三角形外角的性质得出的度数，则结果可得．【详解】解：连接，∵，，∴，∵，∴，∴，∴的度数是，故答案为：．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，弧的度数，熟练掌握相关知识点是解本题的关键．类型五、最短路径问题12．（2023·云南大理·一模）如图，在中，AB是的直径，，、为弧AB的三等分点，是AB上一动点，的最小值是．

【答案】【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题，圆心角与弧的关系及垂径定理，作点关于AB的对称点，连接与AB相交于点，根据轴对称确定最短路线问题，点为的最小值时的位置，根据垂径定理可得，然后求出为直径，从而得解．【详解】解：如图，作点关于AB的对称点，连接与AB相交于点，

此时，点为的最小值时的位置，由题意得，则，∴，，AB为直径，为直径．则．故答案是：．13．（22-23九年级下·江苏南通·期末）如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径上一动点，若的直径为2，则的最小值是．

【答案】【分析】作点关于的对称点，连接交于点，连接，由三角形两边之和大于第三边即可得出此时最小，连接，根据点是半圆上一个三等分点、点是的中点，即可得出，再利用勾股定理即可求出的值，此题得解．本题考查了圆心角、弧、弦的关系，轴对称中最短路线问题，三角形的三边关系以及勾股定理，根据三角形的三边关系确定取最小值时点的位置是解题的关键．【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，连接，此时最小，连接，如图所示．

点和点关于对称，．点是半圆上一个三等分点，点是的中点，，，．，．故答案为：．类型六、有关弧、弦、圆心角的计算问题14．（21-22九年级上·福建厦门·期中）已知：如图所示，A，B，C，D是⊙上的点，且，，求的度数．【答案】．【分析】由题意易知，然后根据弧与圆心角的关系可直接进行求解．【详解】解：∵A，B，C，D是上的点，，∴，即，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等是解题的关键．15．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，求的度数．【答案】【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．根据，得到，根据等腰三角形的性质得到，于是得到答案．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴．16．（23-24九年级上·陕西安康·期末）如图，为的直径，点D是的中点，过点D作于点E，延长交于点F．若，求的长．【答案】【分析】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键．根据点是弧的中点，得到；根据为的直径，，得到，从而得到，得到，得到【详解】解：∵，∴．∵点D是的中点，∴．∴．∴．∴．17．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，等边三角形内接于，连结，，．(1)，，分别为多少度．(2)若等边三角形的边长为，求的半径．【答案】(1)；(2)的半径为．【分析】（）由等边三角形的三条边相等，且同一个圆中，等弦所对的圆心角相等求解；（）由等边三角形的性质可得的度数，由直角三角形的性质可得，同理可得，在中，结合勾股定理可解得与之间的关系，进而求解；此题考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）∵为等边三角形，∴，∴，∴；（2）过点作，垂足为，则，取的中点，连接，则，又∵∴为等边三角形，∴，又∵，∴根据勾股定理，得，∴，∴，∴的半径为．类型七、有关弧、弦、圆心角的证明问题18．（22-23九年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在中，D，E分别是半径，的中点，点C在圆上，．求证：【答案】见解析【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，证明，得出，即可得证．【详解】证明：∵D，E分别是半径，的中点，∴．在与中，，∴，∴，∴．19．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，是的直径，点C、D在上，，，垂足分别为E，F，且，与相等吗？为什么？【答案】，理由见解析【分析】此题考查全等三角形的判定和性质及圆心角、弧、弦的关系．在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．连接，欲证与相等，先证、关系，证明即可．【详解】，连接∵∴又∵∴∴，∵，∴．20．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，已知为的直径，，绕点旋转，，两点不与，重合．(1)求证：；(2)成立吗？为什么．【答案】(1)证明见解析；(2)不成立，理由见解析．【分析】（）直接利用弧度与圆心角的关系得出答案；（）利用三角形三边关系以及圆心角、弧、弦的关系得出即可；此题主要考查了圆心角、弧、弦的关系以及三角形三边关系，正确把握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．【详解】（1）证明：∵为直径，，∴，∴；（2）不成立，理由：如图，在上截取，则，则，，在中，，∴．一、单选题1．（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）如图所示，在圆O中，如果（均小于），那么正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，正确把握相关定理是解题关键．直接利用圆心角、弧、弦的关系得出各线段、角的关系即可解答．【详解】解：取的中点，连接，，，∵，，，∵，∴，故C正确；故选：C．2．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，等腰三角形的顶点是圆的等分点，且腰，所对的劣弧（不包括，，）上分别有个等分点，若等腰三角形是钝角三角形．则至少是（

）A．15 B．16 C．17 D．18【答案】C【分析】本题主要考查了不等式的应用，弧、圆心角之间的关系，圆周角定理及圆内接四边形的性质，在优弧AB上取一点，连接、BM、、，由弧，圆心角之间的关系得，，进而利用圆周角定理及圆内接四边形的性质得，根据等腰三角形是钝角三角形，得>90°，列不等式求解即可．【详解】解：在优弧AB上取一点，连接、BM、、，∵等腰三角形的顶点是圆的等分点，且腰，所对的劣弧（不包括，，）上分别有个等分点，∴，，∴，∵四边形是的内接四边形，∴，∵等腰三角形是钝角三角形，∴，即，解得，∴至少是，故选∶．3．（2020·河北唐山·二模）已知锐角．如图（1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点．连接；（2）分别以点、为圆心，长为半径作弧，交于点、；（3）连接，．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．B．若，则C．D．点与点关于对称【答案】B【分析】由作图知，OM=OC=OD，再利用对称的性质逐一判断可得．【详解】解：由作图知，且OM=OD，又OC=OC故△COM≌△COD，故选项正确；故M与D点关于OA对称，故D选项正确；，OM=ON是直角等腰三角形，，，，故选项错误；设，则，，又，，，故选项正确；故选：．【点睛】本题主要考查了作图，内角和定理，对称等基本性质，熟悉相关性质是解题的关键．二、填空题4．（22-23九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，是的直径，，点A在上，，B为弧的中点，P是直径上一动点．则的最小值为．【答案】2【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，最短路径问题，熟练掌握圆周角定理，即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，是解答本题的关键．作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点，然后根据垂径定理得到，然后利用勾股定理解题即可．【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点．此时最小，且等于的长.连接,，∴，∴弧的度数是60°，则弧的度数是30°，根据垂径定理得弧的度数是：30°，则又，则故答案为：2．5．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，的半径为，点是半圆的中点，点是的一个三等分点（靠近点），点是直径上的动点，则的最小值．

【答案】【分析】如图，作点关于直径的对称点，根据圆的对称性可知点在圆上，连接，交直径于点，此时的最小值是的长，根据弧的度数等于它所对圆心角的度数可知，，根据对称的性质可得，，由垂径定理及推论可知，，根据角的直角三角形和勾股定理可得，即可得出答案．【详解】解：如图，作点关于直径的对称点，则点在圆上，连接，交直径于点，∴，则的最小值是的长，∵点是半圆的中点，的半径为，∴等于半圆的一半，∴，∵点是的一个三等分点（靠近点），∴等于的，∴，∵点与点关于直径的对称，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即的最小值是．故答案为：．

【点睛】本题考查对称的性质，弧的度数和圆心角的关系，垂径定理及推论，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，角的直角三角形和勾股定理等知识点，掌握弧的度数和圆心角的关系，垂径定理以及直角三角形的边角关系是解题的关键．6．（20-21九年级上·江苏南京·阶段练习）在⊙O中，AB是直径，AB＝2，C是上一点，D、E分别是、的中点，M是弦DE的中点，则CM的取值范围是．【答案】1﹣≤CM＜【分析】如图，连接OD、OC、OE，先计算出∠DOC+∠COE＝90°，则可判断△ODE为等腰直角三角形，所以DE＝OD＝，则OM＝DE＝；由C点在弧DE上，则0≤∠COM＜45°，根据三角形的性质，∠COM越大，CM越长，当O、M、C共线时CM最小，C在点A或点B时CM最长，即OC-OM≤CM＜ME；【详解】解：如图，连接OD、OC，∵AB为直径，∴∠AOC+∠BOC＝180°，∵D、E分别是、的中点，∴∠AOD＝∠COD，∠COE＝∠BOE，∴∠DOC+∠COE＝（∠AOC+∠BOC）＝90°，∴△ODE为等腰直角三角形，∴DE＝OD＝，∵M是弦DE的中点，∴OM＝DE＝，∵C点在弧DE上，∴0≤∠COM＜45°，△OMC中，OM，OC的长度确定，∴∠COM越大，CM越长，∴O、C、M共线时CM最小，C在点A或点B时CM最长；∴CM≥1﹣，当C点在A点或B点时，CM＝，∴CM的取值范围是1﹣≤CM＜．【点睛】本题考查了圆心角的概念，三角形的三边关系；根据三角形的性质判断CM的长度是解题关键．三、解答题7．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）如图，是的直径，弦于点E，点F在延长线上，连结交于点G，连结，．

(1)若弧度数是，求的度数．(2)求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理及其推论，圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系定理；（1）利用垂径定理和圆周角定理解答即可；（2）利用垂径定理