江西省九校2025-2026学年高三上学期11月期中考试数学试卷（含答案）

姓名座位号

(在此卷上答题无效)

数学

(试卷满分：150分考试时间：120分钟)

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目

的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作

答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知复数z=1+i,则

A.1+3iB.1-3iC.3+iD.3-i

2.已知p:x>2,q:2x²-x-3>0,则p是q的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知等比数列{an}满足a₁=1,a₄=8,若将an除以5所得余数记为b则b2025=

A.1B.2C.3D.4

4.已知集合,MnN={x|x=f(k),k∈Z},则

A.B.

C.D.f(k)=k

5.已知q:3x₀∈R,使x2+2x₀+m<0为真命题，则实数m的取值范围是

A.m<0B.m<1C.m>1D.m>2

6.已知函数f(x)=In(x-1)-1n(3-x),则f(x)的图象

A.关于x=1对称B.关于x=2对称

C.关于(1,0)对称D.关于(2,0)对称

【C-026】数学试卷第1页(共4页)

7.已知函数,则

A.f(x)是奇函数B.f(x)是偶函数

C.f(x)的图象关于(0,1)对称D.f(x)的图象关于对称

8.已知a>b>0且4a+3b=1,则的最小值为

A.10B.9C.8D.7

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知f(x)=asinwx+bcoswx的部分图象如图，则

A.w=2

B.a=1

D.

10.已知函数f(x)=x²-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值，则函数在区间(1,+∞)上一

定

A.单调递减B.单调递增C.有最小值D.有最大值

11.已知数列{an}前n项和为S且an+2一an+1=2a若a₁=a₂=1,则下列结论正确的是

A.a₉+a10=512B.a10-2a₉=-1C.S₁₂=aD.a12=SH

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量a,b满足a·(a+4b)=0,且|a|=2|b|=1,则向量a,b的夹角为

,则sin2α=

14.已知曲线f(x)=a×-1-1(a>0且a≠1),g(x)=x²—2x.当实数a变化时，函数f(x),g(x)的图象

公共点个数最多有个，此时实数a的取值范围是

四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)

已知向量a=(cosx,2sinx),b=(2cosx,cosx),函数f(x)=a·b.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)取得最大值时自变量x的集合，并求出最大值.

IC—026】数学试卷第2页(共4页)

16.(15分)

已知函数f(x)=a(a>0,且a≠1)的图象过点(-2,e²).

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)过原点O作曲线y=f(x)的两条切线，切点分别为A,B.

①求切线OA,OB的方程；②求△OAB的面积.

17.(15分)

已知数列{a,}的首项a₁=2,

(1)求证：数列是等差数列；

(2)令,求满足b₁+b₂+…+的n的最小值.

18.(17分)

如图，四边形ABCD的对角线相交于点0,∠AOB=θ.

(1)求证：AD²+BC²-AB²-CD²=2AC·BDcosθ;

(2)已知AB=2,BC=CD=2√3,AD=2√7,θ=60°.

①求四边形ABCD的面积；

②若△ABD与△BCD面积相等，求证：AC⊥CD.

【C-026】数学试卷第3页(共4页)

19.(17分)

已知函数f(x)=ax+Inx(a∈R),当x=1时y=f(x)取得最值.

(1)求实数a的值；

(2)若函有三个极值点x₁x₂,x₃(x₁<x₂<x₃),

①求实数m的取值范围；

②证明：F(x₁)+0.05m<F(2x₃).(参考数据：e≈2.718,In2≈0.693)

【C-026】数学试卷第4页(共4页)

数学参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项

符合题目要求。

题号12345678

答案BAACBDDB

1.【解析】,故选B.

2.【解析】q:2x²—x-3>0等价于x<-1或x>1.5,故A.

3.【解析】由已知an=2”-¹,b₁=1,b₂=2,b₃=4,b₄=3,…,{bn}为周期为4的数列，

故b₂025=b₁=1,所以选A.

4.【解析】,所以,故选C.

5.【解析】q为真的充要条件为4-4m>0,即m<1,故选B.

6.【解析】因为f(x+2)=In(x+1)-In(1-x)为奇函数，故f(x)的图象关于(2,0)对称，所以选D.

7.【解析】,,f(x)既不是奇函数也不是偶函数；又f(x)+f(-x)=2|sinx|,故

f(x)的图象不关于(0,1)对称；因

,故f(x)的图象关于对称，故选D.

8.【解析】由a>b>0,知2a-b>0,a+2b>0,令m=2a-b>0,n=a+2b>0,故m+2n=4a+

3b=1,故当且仅当取等

号，此时取等号.故选B.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

题号91011

答案ADBCABD

9.【解析】有图像可求得

10.【解析】∵函数f(x)=x²-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值，∴函数图象的对称轴应当位于区间(

一∞,1)内，∴),任取

,由a<1,1≤x₁<x₂,有x₁-x₂<0,x₁x₂>1>0,x₁x₂-a>0,

则g(x₁)-g(x₂)<0,即g(x₁)<g(x₂),所以在区间(1,+∞)上单调递增，函数的

最小值为g(1)=1-a,无最大值.

11.【解析】由an+2=an+1+2a,得an+2+an+1=2(an+1+an),所以a₉+a1₀=2⁹=512;

an+2-2an+1=an+1+2an-2an+1=-(a+1-2an),所以an+1-2an=(-1)”,故a10-2a₉=-1;

数学参考答案第1页(共4页)

由an+2=an+1+2a,得S+2-Sn+1=Sn+1-Sₙ+2(Sₙ-Sn-1)(n≥2),

即n≥2时，S+2-2Sn+1=S-2S₋,又S₂-2S₁=0,S₃-2S₂=a₁=1.

所以{Sn+1-2Sn}的奇数项均为0,偶数项均为1.故S₁₂-2S=0,即a₁₂=S.故选ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.【答案】120°【解析】由已知得,向量a,b夹角为120°.

13.【答案】【解析】由已知),所以,即,1+

14.【答案】【解析】原题等价于F(x)=f(x+1)+1=aˣ(a>0)与G(x)=g(x+1)

+1=x²的图象公共点最多有几个，且此时a的取值范围问题.

(1)当a=1时F(x)=1与G(x)=x²有2个公共点

(2)当a>1时令F(x)-G(x)=a-x²=H(x)

①注意到H(x)在[-∞,0]上单调递增，且H(0)=1>0,

所以H(x)在[一∞,0]上只有1个零点，即F(x)与G(x)在(-∞,0)上只有一个公共点

②当x>0时解方程

,求导得

当x∈(0,e)时，h'(x)>0,h(x)单调递增；当x∈(e,+∞)时，h'(x)<0,h(x)单调递减

因此h(x)的最大值为,故时有2个公共点，此时a的范围是(1,e³),

(3)当0<a<1时类似得最多3个公共点

综上所述，最多3个公共点

四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.【解析】(1)由已知f(x)=2cos²x+2sinxcos.………………2分

…………4分

所以函数f(x)的最小正周期为T=π6分

(2)由(1)知函数f(x)取得最大值时，,………………….8分

解得………………………9分

故f(x)取得最大值时自变量x的集合为

此时，f(x)max=√2+1.…………………13分

16.【解析】(1)由已知得f(-2)=e²,………………2分

即a²=e²,所以a=e.故f(x)=e.……………4分

(2)①当x≥0时，f(x)=e.不妨设切点A(x₀,e)(x₀≥0),f'(x)=e6分

所以f'(x₀)=eˣ.故切线OA的方程为y-eˣ0=e(x-xo).……………8分

因为过原点O(0,0),故—eˣ=eˣ(-x₀),解得x₀=1.所以切线OA的方程为y=ex.....10分

数学参考答案第2页(共4页)

又f(x)=e为偶函数，其图象关于y轴对称，

故切线OB的方程为y=-ex.所以切线OA,OB的方程为y=ex,y=-ex…12分

②由①可知，A(1,e),由对称性可知B(-1,e),

△OAB为等腰三角形，其面积为…………15分

17.【解析】(1)由已知：

,所以数列是首项为1公差为1的等差数列…………6分

(2)由(1)知：,所以

………………12分

由已知,即n²-9n-16>0.

因为n∈N°,当1≤n≤9时，显然n²-9n-16<0,不满足条件；

当n≥10时，n²-9n-16单调递增，所以n≥11.故n的最小值为11……15分

18.【解析】(1)由余弦定理得

在△AOB中，AB²=OA²+OB²-20A·OBcosθ①

在△COD中，CD²=0C²+OD²-20C·ODcosθ②………2分

在△AOD中，AD²=OA²+OD²+20A·ODcosθ③

在△BOC中，BC²=OB²+OC²+2OB·OCcosθ④…………4分

由③+④-①-②得：

AD²+BC²-AB²-CD²=2(OA·OD+OB·OC+OA·OB+OC·OD)cosθ

=2[OA·(OD+OB)+OC·(OB+OD)]cosθ

=2(OA·BD+OC·BD)cosθ=2AC·BDcosθ.

故AD²+BC²-AB²-CD²=2AC·BDcose…………………7分

(2)①由(1)得AD²+BC²-AB²-CD²=2AC·BDcosθ,

又AB=2,BC=CD=2√3,AD=2√7,θ=60°

可求得AC·BD=24…………9分

又四边形ABCD的面积为

AC·BDsin60°=6√3..11分

②由若△ABD与△BCD面积相等，因为BD为公共底边，

故两个三角形BD上的高相等，即OAsin60°=OCsin60°,所以OA=OC…13分

设OA=OC=m,OB=n.

在△AOB中得：4=m²+n²-2mncos60°,即4=m²+n²-mn

数学参考答案第3页(共4页)

在△BOC中得：12=m²+n²+mn.两式相加得：m²+n²=8,两式相减得：2mn=8,

所以(m-n)²=m²+n²—2mn=0,故m=n