专题1.4 充分条件与必要条件（举一反三讲义）高一数学人教A版2019必修第一册（原卷版）

2/30专题1.4充分条件与必要条件（举一反三讲义） 【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1命题的概念】 1【题型2判断命题的真假】 2【题型3充分条件、必要条件及充要条件的判定】 3【题型4充分条件、必要条件及充要条件的探索】 4【题型5由充分条件、必要条件求参数】 4【题型6根据充要条件求参数】 5【题型7充要条件的证明】 5【题型8充分、必要条件与集合交汇】 6知识点1命题1．命题及相关概念(1)定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题.(2)命题的分类①真命题：判断为真的语句；②假命题：判断为假的语句.(3)命题的形式：“若p，则q”.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论.【注】数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题.【题型1命题的概念】【例1】（24-25高一上·甘肃酒泉·期中）下列语句是命题的是（

）A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180°C．这里的景色山真美啊! D．x>2【变式1-1】（24-25高一上·广西河池·阶段练习）有下列语句，其中是命题的个数为（

）（1）数学真有趣（2）0是自然数（3）a（4）x>3（5）素数都是奇数.A．2 B．3 C．4 D．5【变式1-2】（24-25高一上·江苏·课后作业）有下列语句，其中是命题的个数为（

）．（1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）a2+1>0(a∈RA．3 B．4 C．5 D．6【变式1-3】（2025高一·全国·课后作业）下列语句中：①−1<2；②x>1；③x2−1=0有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③【题型2判断命题的真假】【例2】（2025·山东·二模）下列命题是真命题的是（

）A．5>2且7>8 B．3>4或3<4C．9≤7 D．方程x2【变式2-1】（24-25高一上·陕西延安·阶段练习）已知p:2+2=5,q:3≥2，则下列判断中，正确的是（

）A．p为真，q为假 B．p为假，q为真C．p为真，q为真 D．p为假，q为假【变式2-2】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）对于命题p：全等三角形的周长相等，命题q：周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（

）A．p和q都是真命题 B．p和q都是假命题C．p是真命题，q是假命题 D．p是假命题，q是真命题【变式2-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中正确的个数有（

）．①如果a=b≠0，那么1a=1b；②如果a=b，n≥1③a2=b2，则a=b；④若A．1个 B．2个C．3个 D．4个知识点2充分、必要与充要条件1．充分条件与必要条件命题真假“若p,则q”是真命题“若p,则q”是假命题推出关系及符号表示由p通过推理可得出q，记作：p⇒q由条件p不能推出结论q，记作：条件关系p是q的充分条件

q是p的必要条件p不是q的充分条件

q不是p的必要条件一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．2．充要条件如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．【注】：“⇔”的传递性若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件．3．充分、必要与充要条件的判定(1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q.(2)如果p⇒且q⇒，则p是q的既不充分也不必要条件.(3)如果p⇒q且q⇒，则称p是q的充分不必要条件.(4)如p⇒且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件.(5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}，若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若A=B，则p是q的充要条件.4．充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.5．充分条件、必要条件的应用充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.【题型3充分条件、必要条件及充要条件的判定】【例3】（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）设x∈R，则“x>3”是“|x−1|>2”的（

）A．充分不必要条件 B．充要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【变式3-1】（24-25高一上·福建福州·期中）p:a+b>0，q:a>0且b>0，则p是q的（

）条件A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要【变式3-2】（24-25高一上·广东揭阳·阶段练习）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式3-3】（24-25高一上·陕西宝鸡·阶段练习）若a,b∈R，则“a2+b2≤18A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【题型4充分条件、必要条件及充要条件的探索】【例4】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）已知p:x²−4x<0，则p成立的一个充分不必要条件是（

）A．−2<x<0 B．0<x<2 C．0<x<4 D．1<x≤4【变式4-1】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数解的一个必要不充分条件的是（A．m<12 B．m≤14 C．【变式4-2】（24-25高一上·新疆阿克苏·阶段练习）若x,y∈R，则“x>yA．x>y B．x2>y2【变式4-3】（24-25高一上·江西·阶段练习）对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，如[π]=3，[−2.1]=−3，那么方程[x]2A．x∈[0,2] B．x∈[−1,1] C．x∈(−1,1) D．x∈(0,2)【题型5由充分条件、必要条件求参数】【例5】（24-25高一上·江苏泰州·期中）已知p：−2≤x≤5，q:2−2m≤x≤2+mm>0，若p的充分不必要条件是q，则实数m的取值范围为（

）A．m≤3 B．0<m≤3C．m≥2 D．0<m≤2【变式5-1】（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知p：−2≤x≤10，q：1−m≤x≤1+m（m>0），若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为（

）A．0<m≤3 B．0≤m≤3C．m<3 D．m≤3【变式5-2】（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）已知集合A=x−2≤x≤5，B=xm+1≤x≤2m−1.若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则A．m|m≤3 B．m|2≤m≤3 C．∅ D．m|2<m≤3【变式5-3】（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）命题p：−3≤x≤1，q：x≤a.若q的一个充分不必要条件是p，则a的取值范围是（

）A．(−3,+∞) C．(1,+∞) 【题型6\t"/gzsx/zj145202/_blank"\o"根据充要条件求参数"根据充要条件求参数】【例6】（24-25高一上·全国·课后作业）集合A=−1,1,3,5，集合B=a,1,3,5，若“x∈A”是“x∈B”的充要条件，则a=（

A．0 B．−1 C．3 D．5【变式6-1】（24-25高一上·全国·课后作业）若命题p：“2x>6−a”是命题q：“x∈R”的充要条件，则（

A．a<6 B．a>6 C．a<0 D．a>0【变式6-2】（23-24高一上·贵州黔西·期末）关于x的方程x2+ax+1=0有两个不相等的实数根的充要条件是（A．a>2或a<−2 B．a≥2或a≤−2C．a<1 D．a>2【变式6-3】（24-25高一下·湖南·期末）已知集合M=1,2,3,N=x∈Z∣x−2≤a，若x∈M是x∈NA．4 B．3 C．2 D．1【题型7充要条件的证明】【例7】（24-25高一上·全国·课后作业）已知ab≠0，求证：a+b=1的充要条件是a3+【变式7-1】（24-25高一上·安徽淮南·阶段练习）已知ab≠0，求证：a3−2a2【变式7-2】（24-25高一上·全国·课后作业）证明：“△ABC中两边上的高相等”是“△ABC为等腰三角形”的充要条件．【变式7-3】（24-25高一上·全国·课堂例题）证明：ac<0是一元二次方程ax2【题型8充分、必要条件与集合交汇】【例8】（24-25高一上·江西宜春·期中）已知集合A=x∣−2≤x−1≤5，集合B=x∣m+1≤x≤2m−1(1)若m=3，求∁R(2)设命题p:x∈A；命题q:x∈B，若命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【变式8-1】（24-25高一上·四川自贡·阶段练习）已知集合A=x−2≤x−1≤5，集合(1)若m=4，求∁R(2)若集合A成立的充分不必要条件是集合B，求实数m的取