专题2.1 等式性质与不等式性质（举一反三讲义）高一数学人教A版2019必修第一册（解析版）

2/30专题2.1等式性质与不等式性质（举一反三讲义）【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1用不等式表示不等关系】 1【题型2由不等式的性质比较数（式）大小】 3【题型3利用作差法比较大小】 5【题型4利用作商法比较大小】 6【题型5作差法比较代数式的大小的应用】 8【题型6利用不等式的性质判断正误】 11【题型7由不等式的性质证明不等式】 13【题型8利用不等式求值或取值范围】 15知识点1不等关系1．不等式的概念用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式.2．常见文字语言与符号语言之间的对应关系文字语言大于、高于、超过小于、低于、少于大于或等于、至少、不低于小于或等于、至多、不多于、不超过符号语言><≥≤3．不等关系的建立在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组．【题型1用不等式表示不等关系】【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5cm/s，人跑开的速度为4m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（）A．4×x0.5≥100 B．4×xC．4×x0.5＞100 D．4×x【答案】C【解题思路】人跑开的路程应大于100米，可得结论.【解答过程】导火线燃烧的时间为x0.5s，人在这段时间跑的路程为4×x由题意可得4×x0.5故选：C.【变式1-1】（24-25高一上·全国·课后作业）一个工厂原来每天可以加工x件商品，经过工艺改革后该工厂每天可以加工的商品比原来多560件，且30天加工的商品将超过75000件，这一关系可用不等式表示为（

）A．30x+560>75000 B．30C．30x+560≥75000 D．30【答案】B【解题思路】根据题设可得每天加工的商品数为x+560件，即可求出结果.【解答过程】由题意得现在工厂每天加工的商品数为x+560件，则该工厂30天加工的商品数为30x+560所以题中关系表示为30x+560故选：B.【变式1-2】（24-25高一上·河南·阶段练习）在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为x,y，则用不等式组表示为（

）A．170≤x+y≤190x<y B．C．170<x+y≤190x<y D．【答案】D【解题思路】根据题意列出不等关系即可.【解答过程】由题意得170<x+y≤190x>y故选：D.【变式1-3】（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共40km，其中靠近灭火前线5km的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为60kmh，设需摩托车运送的路段平均速度为xkmA．4060+x>1 C．3560+5【答案】D【解题思路】根据总时长小于1列不等式，即汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时即得．【解答过程】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即3560故选：D．知识点2比较大小1．两个实数大小的比较如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a＝b；如果a-b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a-b>0，a＝b⇔a-b＝0，a<b⇔a-b<0.从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．2．比较大小的基本方法关系方法作差法与0比较作商法与1比较或或【题型2\t"/gzsx/zj135330/_blank"\o"由不等式的性质比较数（式）大小"由不等式的性质比较数（式）大小】【例2】（24-25高一上·陕西宝鸡·阶段练习）已知a,b,c,d∈R，则下列说法正确的是（

）A．若a>b，则a4>b4 C．若ab≠0，且a>b，则1a<1b 【解题思路】ABC选项可以根据特殊值排除，D选项利用不等式的性质证明.【解答过程】A选项，1>−1，但14B选项，c=0时，acC选项，1>−1，但11D选项，ac−bd=ac−bc+bc−bd=c(a−b)+b(c−d)，由a>b>0, c>d>0可知，于是c(a−b)+b(c−d)>0，即ac>bd，D选项正确.故选：D.【变式2-1】（24-25高一上·上海·期末）若a>b>0，c<d<0，则一定有（

）A．ad>bc B．ad<bc C．ac<bd D．ac>bd【答案】C【解题思路】利用不等式的基本性质即可判断．【解答过程】因为c<d<0，所以−c>−d>0，又a>b>0，所以−ac>−bd>0，所以：ac<bd.故选：C.【变式2-2】（24-25高一上·吉林延边·期末）已知a，b，c∈R，则下列说法中错误的是（

A．a>b，ab>0⇒1a<1bC．a>b>c⇒1b−c<【答案】C【解题思路】根据不等式的性质进行判断.【解答过程】对于A，a>b，ab>0，不等式两边同时除以ab可得1b对于B，ac>bc，c<0对于C，因为a>b>c，所以a−c>b−c>0，所以1b−c对于D，a>b，c2≥0，所以故选：C.【变式2-3】（24-25高一上·上海闵行·期末）设a、b、c、d为实数，下列命题中成立的是（

）A．如果a>b，那么a>b B．如果ab>acC．如果a>b，c>d，那么a−c>b−d D．如果a>b，1c>【答案】A【解题思路】对于A、B选项，利用不等式的性质可判断原命题的真假；对于C、D选项，取特殊值可判断原命题的真假.【解答过程】对于A，若a>b，则a>b≥0，显然对于B，若ab>ac，当a>0时，b>c，当a<0时，b<c，选项B错误；对于C，令a=3,b=2,c=5,d=1，满足a>b，c>d，但是a−c=−2,b−d=1，不满足a−c>b−d，选项C错误；对于D，令a=3,b=−2,1c=1,1d=−2，满足不满足ac故选：A.【题型3利用作差法比较大小】【例3】（24-25高一上·四川南充·阶段练习）设M=2a(a−2)，N=(a+1)(a−3)，则M，N的大小关系为（）A．M>N B．M≤N C．M<N D．无法确定【答案】A【解题思路】作差并与0比较大小得解.【解答过程】依题意，M−N=2a(a−2)−(a+1)(a−3)=a所以M>N.故选：A.【变式3-1】（24-25高一上·全国·课后作业）若p=a+6−a+4，q=a+5−A．p<q B．p=q C．p>q D．不确定【答案】A【解题思路】利用作差比较大小可得答案.【解答过程】由题意知p−q=a+6a+6=2=2a因为a2+9a+18−a所以2a即a+6+所以p−q=a+6故p<q.故选：A.【变式3-2】（24-25高一上·福建泉州·期末）互不相等的实数a, b, c满足：c−b=4−4a+aA．b>a>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a【答案】D【解题思路】利用作差法先比较b,c的大小关系，再利用作差和配方法求得a,b的大小关系，从而得到正确选项.【解答过程】因为c−b=4−4a+a又因为实数a, b, c互不相等，故又因为a+b2+1=0即b−a=b2+b+1=综上：c>b>a故选：D.【变式3-3】（24-25高一上·全国·课后作业）若规定acbd=ad−bc（a,b∈R，且a≠b），则A．E<F B．E>F C．E≤F D．E≥F【答案】B【解题思路】根据新定义表示E,F，利用作差法即可比较大小.【解答过程】由题意得，E=ab−b∴E−F=a∵a≠b，∴E−F>0，即E>F.故选：B.【题型4利用作商法比较大小】【例4】（2025高二下·全国·专题练习）已知c＞1，且x＝c+1－c，y＝c－c−1，则x，y之间的大小关系是（

）A．x＞y B．x＝yC．x＜y D．x，y的关系随c而定【答案】C【解题思路】应用作商法比较xy【解答过程】由题设，易知x，y＞0，又xy∴x＜y.故选：C.【变式4-1】（2025·山西晋城·一模）若实数m，n，p满足m=4e35，n=5e2A．p<m<n B．p<n<m C．m<p<n D．n<p<m【答案】A【解题思路】根据作商法比较大小，即可得出结果.【解答过程】因为实数m，n，p满足m=4e35，n=5所以mn∴m<n；又mp∴m>p；∴p<m<n．故选：A．【变式4-2】（24-25高一·全国·课后作业）设a>2,  b>2，且a≠b，比较：a+b与【答案】a+b<ab.【解题思路】用作商法，结合已知条件，利用不等式性质即可判断大小.【解答过程】a+bab∵a＞2，b>2，∴1a<1∴1a故a+b<ab.【变式4-3】（24-25高一上·上海徐汇·阶段练习）已知a<b<0，试比较a2+b【答案】a【解题思路】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可.【解答过程】∵a<b<0，∴a−b<0,∴a两数作商a=a∴a【题型5作差法比较代数式的大小的应用】【例5】（24-25高一上·广西玉林·期中）小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（

）A．一样多 B．小齐低 C．小港低 D．无法比较【答案】C【解题思路】设两次葡萄的单价分别为a,ba≠b【解答过程】设两次葡萄的单价分别为a,ba≠b则小齐两次购买葡萄的平均价格是3a+3b3+3小港两次购买葡萄的平均价格是10050a+b2故a+b2故选：C.【变式5-1】（24-25高一上·北京·期中）司机甲和乙的加油习惯不同，甲每次加固定量的油，乙每次加固定钱数的油.恰有两次甲和乙所加油的单价相同，而这两次的油价不同，若从这两次加油的均价角度分析，则（

）A．甲更低 B．乙更低 C．甲和乙一样高 D．不能判断谁更高【答案】B【解题思路】设甲每次的加油量为x，乙每次得加油费为y，先后两次油的单价分别为a,b,依题意，计算甲与乙加油的均价，再作差比较，即可判断.【解答过程】设甲每次的加油量为x，乙每次得加油费为y，先后两次油的单价分别为a,b，则甲两次加油的均价为：ax+bx2x=a+b由a+b2−2aba+b=(a−b)2即乙两次加油的均价更低.故选：B.【变式5-2】（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）购买黄金是一种常见的投资方式，现有两种不同的投资策略：第一种是每次购买黄金定量为m克m>0，第二种是每次购买黄金定额为n万元n>0；在黄金价格有波动的情况下，选择一种策略购买黄金两次，以平均单价衡量，哪种购买方式更有利于控制投资成本？【答案】第二种购买方式更有利于控制投资成本.【解题思路】分别求出两种投资方式的黄金平均单价，利用作差法比较它们的大小，可得结论.【解答过程】设两次黄金的单价分别为x，y（x>0，y>0，x≠y）.第一种购买方式，黄金的平均单价为：mx+my2m第二种购买方式，黄金的平均单价为：2nn由x+y2−2xyx+y=x+y2所以x−y2故第二种购买方式更有利于控制投资成本.【变式5-3】（24-25高一上·四川广元·阶段练习）已知b g糖水中有a g糖（b>a>0），往糖水中加入m  g(1)请将这个事实表示为一个不等式，证明这个不等式；(2)利用（1）的结论比较M=20192019(3)证明命题：设x>0,y>0,z>0，证明：1<x【答案】(1)a(2)M>N(3)证明见解析【解题思路】（1）根据题意，得到不等式ab（2）根据题意，化简M=20192019（3）由（1）中的结论，得到xx+y<x+zx+y+z,yy+z【解答过程】（1）解：由题意，可得不等式ab证明：由ab因为b>a>0,m>0，可得a−b<0,b+m>0，所以ab−a+m（2）解：由M=20192019由（1）中的结论，可得20192016+320232020+3>20192016（3）证明：因为x>0,y>0,z>0，由（1）中的结论，可得xx+y所以xx+y又由xx+y=x+y−y则xx+y由上述结论，可得yx+y+z综上可得1<x知识点3等式性质与不等式性质1．等式的基本性质性质1对称性：如果a＝b，那么b＝a；性质2传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；性质5可除性：如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).2．不等式的性质(1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.(2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.(3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．3．不等式的两类常用性质(1)倒数性质①a>b，ab>0⇒；②a<b<0⇒；③a>b>0，0<c<d⇒；④0<a<x<b或a<x<b<0⇒．(2)有关分数的性质若a>b>0，m>0，则①真分数的性质；②假分数的性质.【方法技巧与总结】1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率.【题型6利用不等式的性质判断正误】【例6】（24-25高一上·浙江温州·期末）下列命题为真命题的是（

）A．若a>b>0，则ac2>bc2C．若a<b<0，则1a<1b 【答案】B【解题思路】根据不等式的性质逐项分析即可.【解答过程】对A，当c=0时，ac对B，a>b>0⇒a−b>0，a+b>0⇒a对C，若a<b<0，则1ab>0，则a×1对D，当a=−16,b=−4时，a<b<0，则−a=4>故选：B.【变式6-1】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）下面不等式成立的是（

）A．若a>b，c<d，则a+c>b+d B．若1abC．若a>b，则a2>b2 D．若a>b>0【答案】B【解题思路】AC选项，举出反例；B选项，由不等式性质得到a>b；D选项，先得到−1d>−1c>0，结合【解答过程】对于A，取a=2，b=1，c=−2，d=−1，满足a>b，c<d，而a+c=0=b+d，A错误；对于B，由1ab2>1a2对于C，取a=1，b=−1，满足a>b，而a2对于D，由c<d<0，得1d<1c<0于是−ad>−bc故选：B.【变式6-2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知a>b>0，则下列各式一定成立的是（

）A．1b3>C．ac<bc D．b+m【答案】A【解题思路】根据不等式的性质即可求解ABC，作差即可求解D.【解答过程】对于A,由于a>b>0，故a3>b对于B，由于a>b>0，故0<1对于C，当c>0时，ac>bc，故C错误，对于D，b+ma+m−ba=但由于m的值不确定，无法确定m,a+m的符号，故D错误，故选：A.【变式6-3】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）若a,b,c∈R，则下列命题正确的是（

）A．若a<b，则1B．若ac2C．苦a>b,c>d，那么a+d>b+cD．若a>b>0，则b+1【答案】B【解题思路】利用不等式的性质以及作差法比较大小一一判断求解.【解答过程】对A，取a=−1.b=1，满足a<b，但1a对B，因为ac2>bc2，所以c≠0对C，取a=4,b=2,c=3,d=0，满足a>b,c>d，但a+d>b+c不成立，C错误；对D，b+1a+1因为a>b>0，所以a−ba(a+1)>0，即故选:B.【题型7由不等式的性质证明不等式】【例7】（24-25高一上·全国·课后作业）设x>0，y>0，z>0，证明：1<xx+y【答案】证明见解析【解题思路】由x+y+z>x+y，x+y+z>x+z，x+y+z>y+z和xx+y>xx+y+z，【解答过程】由题意知x>0，y>0，z>0，则有x+y+z>x+y，x+y+z>x+z，x+y+z>y+z，①xx+y>xx+y+z，所以xx+y又根据①的结论可知xx+y<x+zx+y+z，所以xx+y综上所述，1<x【变式7-1】（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知a>b>1，d<c<−2．(1)求证：a−1b−1(2)求证：ac+bd>bc+ad．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解题思路】（1）利用不等式的性质证明即可；（2）应用作差法比较大小，即可证.【解答过程】（1）由a>b>1，则a−1>0,b−1>0，故(a−1)(b−1)>0，由d<c<−2，则c+2<0,d+2<0，故(c+2)(d+2)>0，所以a−1b−1（2）由ac+bd−bc−ad=c(a−b)+d(b−a)=(c−d)(a−b)，而a−b>0,c−d>0，所以ac+bd−bc−ad=(c−d)(a−b)>0，即ac+bd>bc+ad，得证.【变式7-2】（24-25高一上·四川成都·阶段练习）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：yx(1)证明糖水不等式；(2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：1<a【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解题思路】（1）由作差法证明；（2）由糖水不等式变形证明．【解答过程】（1）y+mx+m因为x>y>0,m>0，所以x+m>0,x−y>0，所以mx−yxx+m（2）因为a,b,c是三角形的三边，所以b+c>a>0，由（1）知ab+c同理ba+c所以ab+c又ab+c>所以a所以原不等式成立．【变式7-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知a>b>0，c<d<0，求证：ba−c<（2）已知bc−ad≥0，bd>0，求证：a+bb【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解题思路】（1）利用不等式性质4，5得出a−c>b−d>0，再取倒数，再利用性质6即可证明；（2）对不等式进行等价变形，利用分析法的思路来转化证明不等式．【解答过程】证明：（1）因为c<d<0，所以−c>−d>0．又a>b>0．所以a−c>b−d>0，所以0<1又因为0<b<a，所以ba−c（2）因为bd>0，要证a+bb≤c+d展开得ad+bd≤bc+bd，即ad≤bc，bc−ad≥0因为bc−ad≥0成立，所以a+bb【题型8\t"/gzsx/zsd28751/_blank"\o"利用不等式求值或取值范围"利用不等式求值或取值范围】【例8】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知实数x，y满足1≤x+y≤4，−1≤x−y≤2，则4x−2y的取值