高中数学《计数原理与概率统计》练习题（含答案解析）

高中数学《计数原理与概率统计》练习题（含答案解析）

一、单选题

1.某校有学生800人，其中女生.有350人，为了解该校学生的体育锻炼情况，按男、女学生采用分层抽样

法抽取容量为80的样本，则男生抽取的人数是（）

A.35B.40C.45D.60

2.数据323.4,3.8,4.2,434.5,x,6.6的65百分位数是4.5,则实数％的取值范围是（）

A.[4.5,+co)B.[4.5,6.6)

C.(4.5,+co)D.(4.5,6.61

3.若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是故事书的概率为（）

A.-B.—C.-D.；

51052

4.已知随机变量X服从二项分布Xp）,若E（X）=〃D（X）孝,贝”=（）

416

A.-B.-C.-D.-

4345

5.总体由编号01,02,29,3（）的30个个体组成.利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从如

下随机数表的第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编

号为（）

第I行78166232080262426252536997280198

第2行32049234493582003623486969387481

A.27B.26C.25D.19

6.已知随机变量X的分布列为

X012

2

P

333

设丫=2X+3,则力（y）等于（）

7.将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

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8.为保障食品安全，某监管部门对辖区内一家食品企业进行检查，现从其生产的某种产品中随机抽取100

件作为样本，并以产品的一项关键质量指标值为检测依据，整理得到如下的样本频率分布直方图.若质量

()

B.0.61

C.0.122D.0.75

9.有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表不

事件”第一次取出的球的数字是1",乙表示事件”第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件”两次取出的球的

数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则()

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

10.在一副去掉大小王的52张扑克牌中随机抽取I张，记M表示事件“取到红桃”，N表示事件“取到J”，

有以下说法:①M与N互斥;②M与N相互独立;③而与N相互独立.则上述说法中正确说法的序号为()

A.①B.②C.①②D.②③

二、填空题

11.已知随机变量X服从正态分布NQ/),且P(0<XWl)=0.4,则P(x>2)=.

12.从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的样本点个数为.

13.己知随机变量匕y分别满足x8(几〃)，YN(5.4),旦均值E(x)=E(y).方差。(x)=o(y).

贝P=.

14.若随机变量X服从二项分布则使P(X=A)取得最大值时，k=.

三、解答题

15.某科技公司研发了一项新产品A,经过市场调研，对公司I月份至6月份销售量及销售单价进行统计,

销售单价x(千元)和销售量)'(千件)之间的一组数据如下表所示：

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月份i123456

销售单价

99.51010.5118

苍

销售量111086515

（1）试根据i至5月份的数据，建立》关于工的回归直线方程；

（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.65千件，则认为所得到的回归直

线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？

参考公式：回归直线方程$，=良+3其中刃=上匕----------.

i=l

参考数据：£>/=392,£¥=502.5.

i-li»l

16.某中学要从高一年级甲、乙两个班级中选择一个班参加市电视台组织的“环保知识竞赛”.该校对甲、乙

两班的参赛选手（每班7人）进行了一次环境知识测试，他们取得的成绩（满分100分）如下：

甲班:75、78>80、89、85、92、96.

乙班：75、80、80、85、90、90、95.

求甲、乙两班学生成绩的方差，并从统计学角度分析该校应选择甲班还是乙班参赛.

17.第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办，为了普及冬奥知识，京西某校组织全体学

生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了2（）名学生作为样本,得到他们的分数统计如下：

分数段[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人数122833I

我们规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格：70分及以上至80分以下为良好；80分及

以上为优秀.

（I）从这20名学生中随机抽取2名学生，恰好2名学生都是优秀的概率是多少？

（H）将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取2人，以X表示这2人中优秀人数，求X

的分布列与期望.

18.某保险公司根据官方公布的2011—2020年的营业收入，制成表格如下：

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表I

年份20112012201320142015

年份序号X12345

营业收入），（亿元）0.520.3633.6132352

年份20162017201820192020

年份序号X678910

营业收入y（亿元）571912120716822135

由表I,得到下面的散点图:

17亿元

2250

1950

1650

1350

1050

750

450

150

()678910M年份序号

根据已有的函数知识，某同学选用二次函数模型），=区2+。（〃和4均为常数）来拟合），和X的关系，这时,

可以令/=得）,=4+。，由表1可得/与），的相关数据如表2

ti491625

y0.529.3633.6132352

t36496481100

y571912120716822135

（1）根据表2中数据，建立y关于I的回归直线方程（系数精确到个位数）；

（2）根据（1）中得到的I可归直线方程估计2023年的营业收入以及营业收入首次超过4000亿元的年份.

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.支®-万)(匕-M)

参考公式；回归直线方程6=氏+近中，力=上一-----------，a^v-pii.

Z(w1-«)2

f=l

10,10

参考数据：7=38.5,y=703.45,=1.051xl(T,2&广)®-刃=2.327x1()5.

f=if=i

参考答案与解析:

1.C

【解析】利用分层抽样的定义直接求解即可

【详解】由题意可得男生抽取的人数是当*x80=45.

800

故选：C

2.A

【分析】根据〃％分位数的定义判断求解.

【详解】因为65%X8=5.2,第65百分位数是4.5,故这组数据的第65百分位数是第六个数，所以工的取值

范围是［4.5,+00),

故选：A.

3.B

【分析】由古典概率模型的计算公式求解.

【详解】样本点总数为10,“抽出一本是故事书”包含3个样本点，所以其概率为3热.

故选：B.

4.A

【分析】由二项分布的均值和方差公式列方程组求解.

5

np=—1

4,解得,

【详解】由题意

np(\-p)=—〃二5

Io

故选:A.

5.D

【分析】根据随机数衣法的步骤即可求得答案.

第5页共11页

【详解】由题意，取出的数有23,20.80（超出范围，故舍去），26.24,26（重复，故舍去），25,25（重复，故

舍去），36（超出范围，故舍去），99（超出范围，故舍去），72（超出范围，故舍去），80（超出范围，故

舍去），19.

故选：D.

6.A

【分析】根据分布列求出*Y）,0（Y）,再根据条件得力（了）=4。（丫），计算答案即可.

【详解】由X的分布列得E（X）=0x；+lx；+2x；=l,

Z9（X）=（0-1）2X1+（1-1）2X1+（2-1）2X^=|,

因为y=2X+3,

plljD（r）=4D（x）=-

故选:A.

7.C

【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.

【详解】解：将3个1和2个。随机排成一行，可以是：

00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100,

共10种排法,

其中2个0不相邻的排列方法为：

01011,01101,01110,10101,10110,11010,

共6种方法，

故2个0不相邻的概率为磊=0.6,

故选:C.

8.B

频率

【分析】利用频率=京点、组距，即可得解.

【详解】根据频率分布直方图可知，质量指标值在［25,35）内的概率

尸=（0.080+0.042）x5=0.122x5=0.61

故选：B

9.B

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【分析】根据独立事件概率关系逐一判断

【详解】p（甲）=1，p（乙）=!，0（丙）=1p（丁）===3，

oo36366

P（甲丙）=0HP（甲）P（丙），尸（甲丁）=[=P（甲）P（丁）,

36

P（乙丙）=JHP（乙）P（丙），P（丙丁）二00P（丁）P（丙），

36

故选：B

【点睛】判断事件A8是否独立，先计算对应概率，再判断P（A）P（B）=P（AB）是否成立

10.D

【分析】根据互斥事件和相互独立事件的定义逐一判断即可得出答案.

【详解】解：因为M表示事件“取到红桃”，包括“取到红桃J”，

N表示事件“取到r,包括“取到红桃J”，

所以事件M,N可以同时发生，

所以事件不是互斥事件，故①错误；

52张扑克牌中有13张红桃，4张J,

所以P（"）=£=；〃（N）=£=1尸（而）=1一%?

事件McN表示“取到红桃J”，有1张，

事件向CN表示“取到除了红桃JH勺J”，有3张，

所以P（MCN）=-!-=P（M）P（N）,P（A?nN）=—=P（A7）P（/V）,

5252

所以“与N相互独立，而与N相互独立，

故②③正确.

故选：D.

11.0.1

【分析】利用正态分布对称性可求解.

【详解】由正态分布密度曲线对称性可知，

P（X<l）=P（0<X<l）+P（X<0）=0.5,

所以尸（XvO）=O.l,所以P（x>2）=P（X<0）=0.1,

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故答案为：o.l.

12.4

【分析】直接列举基本事件即可.

【详解】从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数有(1,2,3)，(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,

3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)共10种情况，其中(1,2,4),(I,

3,5),(2,3,4),(2,4,5)中三个数字之和为奇数，共有4种.

故答案为：4.

13.-##0.2

5

【分析】由二项分布和正态分布的期望、方差公式建立方程，求解即可.

【详解】解：因为随机变量X,丫分别满足X4(”,p),YN(5,4),

所以E(X)=〃〃=E(y)=5,D(X)=/2p(l-p)=D(r)=4,

解得〃=25,〃=：,

故答案为：!.

14.3或4

【分析】先求得P(X=k)的表达式，利用列不等式组的方法来求得使尸(X=女)取得最大值时女的值.

【洋解】依题意O«RM15"£N,

/।、*/1、15-4।于5-£[

依题意p(x=%)y[J(T=3•不产=不.3.支,

3=。)$・黑丁=图；­1)$©.32=5><图’5,

P(X=15)=lY,P(X=15)<P(X=0)<P(X=l),

(4J

所以尸(X=0)、P(X=15)不是P(X=A)的最大项,

1—

夕i

5->6-

产-I

Y-不

A5-14-

当1WAW14时,由,1-c154—

>3火

一-/

-C15

4,5

第8页共11页

15!15!

--------------->3x

C23CT小(15-&)!一(A:-l)!x(16-A:)!

整理得

33NC仅'。15!、15!

3x-------------—>---------------------

k!x(15/!(女+1)k(14-&)!

整理得二择一、\6-k>3k

=>3<A:<4,

3k+3>\5-k

\5-k~~k+i

所以当我为3或4时,P(X=&)取得最大值.

故答案为：3或4

15.(1)y=-3.2x+40；(2)是.

【分析】(1)先由表中的数据求出7,亍，再利用已知的数据和公式求出从而可求出了关于*的回归直

线方程;

(2)当x=8时，求出)，的值，再与15比较即可得结论

【详解】(1)因为元=,(9+9.5+10+10.5+11)=10,y=1(ll+10+8+6+5)=8,

392-5x10x8

所以6==-3.2,

502.5-5xlO2

得&二8一(—3.2)X10=40,

于是y关于丫的回归直线方程为»=-3.2X+4O：

(2)当x=8时，§，=-3.2x8+40=14.4,

则花一>'|=||4.4-15|=0.6<0.65,

故可以认为所得到的回归直线方程是理想的.

16.该校应该选择乙班参赛.

【分析】设有〃个数据为川1W—"),则其平均数为14£可，其方差为1,£代一4，据此代

〃1.1〃r-l'

入题干数据即可计算求解.

75+78—80+89+85+92+96__

【详解】由题意,知晶==o5f

7

75+80+80+85+90+90+95

石==o5c•

7

・,・4=gx[(75-85)2+(78-85『+L+(96-85)[=等,

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4=1x［（75-85）2+（80-85）2+L+（95-85）［=一.

••同1=x乙,s甲＞s乙♦

即两班平均成绩相同，但乙班成绩较甲班成绩稳定，故应该选择乙班参赛.

7、2

17.（1）—；（2）分布列见详解；£（%）=-.

【分析】（1）利用组合数以及古典概型的概率计算公式即可求解.

（2）由题意可得x=0J2,再利用二项分布的概率计算公式列出分布列，从而求出数学期望.

【详解】（1）记恰好2名学生都是优秀的事件为A,

则p(A)=q=9=a

'7q19095

（2）抽到一名优秀学生的概率为〃=4=3,

X的取值为0」,2,