形如根式复合函数y=√(a-√(b-cx))的图像示意图及性质解析A4

函数y=eq\r(12-\r(33-11x))的性质及图像主要内容：本文主要介绍根式复合函数y=eq\r(12-\r(33-11x))的定义域、单调性、凸凹性、极限等性质，并通过导数知识解析函数的单调区间和凸凹区间，同时简要画出函数的图像示意图。※.函数的定义域对于根式函数y=eq\r(12-\r(33-11x))，要求为非负数，所以有：33-11x≥0且12-√(33-11x)≥0，即：x≤3且x≥-eq\f(111,11)≈-10.09,则函数的定义域为：[-eq\f(111,11)，3]。※.函数的单调性两种思路来解析函数的单调性。(1)函数单调性法:该函数y=eq\r(12-\r(33-11x))由以下函数复合函数，即：y=eq\r(u)，u=12-eq\r(v)，v=33-11x，其中v为一次函数，且为减函数，则u=12-eq\r(v)为增函数，进一步知y=eq\r(u)在定义域上也为增函数。(2)函数导数法：根式函数y=eq\r(12-\r(33-11x))，对x求导有：eq\f(dy,dx)=eq\f((12-\r(33-11x))',2\r(12-\r(33-11x)))=eq\f(\f(11,2eq\r(33-11x)),2eq\r(12-\r(33-11x)))=eq\f(11,4eq\r(33-11x)*eq\r(12-\r(33-11x)))＞0,所以函数y为增函数。※.函数的凸凹性∵eq\f(dy,dx)=eq\f(11,4eq\r(33-11x)*eq\r(12-\r(33-11x)))∴eq\f(d2y,dx2)=-eq\f(11,4)*eq\f([eq\r(33-11x)*eq\r(12-\r(33-11x))]]',(33-11x)(12-eq\r(33-11x)))=eq\f(11,4)*eq\f(-eq\f(11eq\r(12-\r(33-11x)),2eq\r(33-11x))+eq\f(eq\r(33-11x)*(eq\r(33-11x))',2eq\r(12-\r(33-11x))),(33-11x)(12-eq\r(33-11x)))=eq\f(121,16)*eq\f(-24+3eq\r(33-11x),eq\r([(33-11x)(12-eq\r(33-11x))]3)).令eq\f(d2y,dx2)=0，则-24+3eq\r(33-11x)=0，即x=-eq\f(31,11)≈-2.8，此时有：(1)当x∈[-eq\f(111,11)，-eq\f(31,11)]时，eq\f(d2y,dx2)≥0，函数y为凹函数。(2)当x∈[-eq\f(31,11)，3]时，eq\f(d2y,dx2)≤0，函数y为凸函数。※.函数的极限lim(x→3)eq\r(12-\r(33-11x))=eq\r(12);lim(x→0)eq\r(12-\r(33-11x))=eq\r(12-\r(33));lim(x→-eq\f(111,11))eq\r(12-\r(33-11x))=0。※.函数的五点图x30.10-2.8-6.45-10.09eq\r(33-11x)05.657.9910.2012eq\r(12-\r(33-11x))3.462.5221.340※.函数的示意图y=eq\r(12-\r(33-11x))图像示意图y(3.00,3.46)(0.10,2.52)(-2.80,2) (-6.45,1.34)