【数学】江苏省南通市海门区2026届高三上学期第一次调研测试试题(解析版)

江苏省南通市海门区2026届高三第一次调研测试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合满足，则（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为全集，集合满足，所以.故选：C.2.若，则（

）A. B.C. D.【答案】B【解析】选项A：因为，所以，所以，即.所以选项A错误；选项B：因为，所以，所以，即.所以选项B正确；选项C：因为，所以，即.所以选项C错误；选项D：因为，所以.所以选项D错误；故选：B.3.下列函数与函数的图象相同的是（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为函数的最小正周期是.所以函数的图象与函数的相同.故选：A.4.已知函数的定义域为，设甲：，乙：不是减函数，则（

）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】A【解析】充分性：如果，那么不是减函数，因为减函数要求增大时减小，所以甲能推出乙，即甲是乙的充分条件；必要性：不是减函数，它可能是增函数、常函数、或非单调函数，如果，则，不满足，所以乙不能推出甲，即甲不是乙的必要条件；综上，甲是乙的充分条件但不是必要条件，故选：A.5.已知，则的最小值为（

）A.4 B.5C. D.【答案】D【解析】因为，所以，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.故选：D.6.若是正方体的面上的一个动点，则下列结论不可能成立的是（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】是正方体的面上的一个动点，对于A，在正方体中当点与重合时，为平行四边形，则，A成立；对于B，在正方体中若，那么共面，因为是面上的一个动点，则不能在同一平面，B不成立；对于C，在正方体中当点与重合时，平面，因为平面，所以，C成立；对于D，在正方体中当点与重合时，平面，因为平面，所以，又，，平面，所以平面，因为平面，所以，D成立；故选：B.7.在平面四边形ABCD中，已知，则的外接圆的直径长度为（

）A.4 B.5 C. D.【答案】D【解析】因为，所以，得，在中，，在中，，所以，所以，所以，所以，在中，利用正弦定理得，的外接圆的直径长度为．故选：D.8.已知，其中e为自然对数的底数，则（

）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意，由可得，由可得，由可得，令，则有，，，又，当时，，所以在上单调递增，所以，因为，所以，所以，由在上单调递增知，.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知m、n是两条不同直线，是三个不同的平面，则下列结论一定成立的有（

）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】AC【解析】选项A：若，由线面垂直的性质可知，故A选项正确；选项B：若，则不一定正确，因为与可能相交，故选项B不正确；选项C：若，由线面垂直的性质和面面平行的定义或判定定理可知，故C选项正确；选项D：若，则不一定正确，因为m与n可能相交，也可能m与n异面，选项D不正确；故选：AC.10.记的内角的对边分别为，若的面积为，，则（

）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】因为，所以，化简得，可知，因为，所以，因为的面积为，所以，化简得，联立方程组，解得或对于A，因为，所以，A错误；对于B，由上分析可知，B正确；对于C，由上分析可知，C正确；对于D，因为正弦定理，所以，则，当，，时，，当，，时，，D正确；故选：BCD.11.已知函数，则（

）A.B.是的极值点C.当时，D.当时，【答案】ACD【解析】选项A：由题可知：，所以选项A正确；选项B：由得函数的定义域为，在上恒成立，所以函数单调递增，没有极值点，所以选项B错误；选项C：当时，因为，所以，由选项B知，函数单调递增，所以，所以选项C正确；选项D：因为函数，所以，所以，所以.当时，，即，由选项B知函数单调递增，所以，所以所以选项D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若两个平行平面之间的距离为6，一条直线与这两个平面分别交于A，B两点，线段AB与其中一个平面所成角为，则AB的长度为____________.【答案】12【解析】如图，平面，，过作于，连接，依题意，，所以，所以AB的长度为12.故答案为：1213.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______.【答案】【解析】根据题意，设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为，而的导函数为，的导函数为，所以两曲线的切线分别为，两条切线对应相同，且切线为，可得，解得，所以.故答案为：.14.若对于，总，使得，则实数的最小值为______________.【答案】【解析】因为，所以，所以的解集为，对于，总，使得，所以，，，所以，所以，即实数的最小值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）若，求；（2）若在上是增函数，求的取值范围.【答案】解：（1）因为函数，且，所以，所以.所以，所以.（2）.当时，，若在上是增函数，则，所以.所以的取值范围是.16.已知偶函数与奇函数的定义域均为.（1）求函数的解析式；（2）若在上有2个不同的零点，求实数的取值范围.【答案】解：（1）因为，故，而是偶函数，是奇函数，故，由，可得.（2）由（1）可知：，所以，令，因为，由单调性可知，故在上有2个不同的零点，即在有2个不同的零点，则，解得：，所以实数的取值范围是.17.如图，在四棱锥中，平面，.（1）求证：平面；（2）设为棱PD上一点，若平面ABC与平面EAC的夹角的正弦值为，求.【答案】（1）证明：因为平面，平面，所以.因为，所以.因为所以.因为，所以.所以，所以.因为平面，，所以平面.（2）解：因为平面，平面，所以.因为，所以.所以三线两两垂直.如图所示，分别所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则所以.设，则，.设平面EAC的法向量为，则，所以，令则.由题易知是平面的一个法向量，所以，解得.所以，即.18.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求.（2）若在AB上，CD平分.（i）若，求BD；（ii）若在AC上，BE平分，且，求.【答案】解：（1）因为，由正弦定理得：，因为，所以.因为，所以，所以，所以.（2）因为CD平分，所以.（i）中，，由余弦定理，得：，所以，或.当时，，所以，所以，所以.所以，所以.当时，，所以，所以，所以，所以，所以.（ii）设，则，因为，所以，，.由正弦定理，得，.因为BC，所以，因为，所以，即，所以.因为，所以，即，所以.因为，所以，所以，所以，所以，所以.19.（1）若函数在处取得极值，求实数的值；（2）已知，求证：对于任意；（3）若是关于的方程的两个不等实根，求证：.【答案】（1）解：因为，因为，所以，即．当时，，所以，所以满足在处取得极值．（2）证明：因为，所以，所以当时，恒成立.要证任意，即证：．设，因为，令，则时，，所以在上单调递增，即，所以在上单调递减，所以，即证．（3）证明：法1：由题意，设，所以，当时，恒成立，此时单调递增，不会存在两个零点，故，则当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即．不妨设，则由（2）得，令，所以，所以，化简得，①：同理，②；①②得，因为，所以，所以，即证．法2：同法1得到，令，则（），设，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，且．不妨设．（）式可以化为，取对数得，，所以．由（2）得，则，所以，即，所以，即，所以．要证：，即证：．因为，所以只要证