专升本数学2025年离散数学练习试卷（含答案）

专升本数学2025年离散数学练习试卷（含答案）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在题后的括号内。1.设集合A={1,2,3},B={2,3,4},C={3,4,5}，则(A∪B)∩C=?(A){1,2,3,4}(B){3}(C){1,2}(D){4,5}2.下列哪个语句是命题？(A)今天天气真好！(B)x+y=5(C)请你安静一点！(D)这朵花很漂亮。3.设命题p:今天下雨，q:我去图书馆，则命题"如果今天不下雨，那么我不去图书馆"的符号表达式是？(A)p→q(B)¬p→¬q(C)q→p(D)¬q→¬p4.下列哪个函数是奇函数？(A)f(x)=x^2(B)f(x)=x^3(C)f(x)=x+1(D)f(x)=e^x5.设集合A有5个元素，集合B有3个元素，则从A到B的函数共有？(A)15个(B)25个(C)45个(D)125个二、填空题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。请将答案填写在题中横线上。6.设集合A={a,b,c},B={b,c,d},则A∪B=__________。7.命题公式p∧(q∨r)的主析取范式是__________。8.无向图G中，所有顶点的度数之和等于边数的__________倍。9.设n是正整数，则C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)=__________。10.已知集合A={1,2,3,4,5,6}，A的一个子集S包含3个元素，且3∈S，则这样的子集S共有__________个。三、判断题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。请将答案填写在题后括号内，正确的填“√”，错误的填“×”。11.如果集合A是集合B的子集，且集合B是集合C的子集，则集合A是集合C的子集。()12.命题公式(p→q)↔(¬p∨q)是重言式。()13.任何有限集合都有可数个子集。()14.完全图K_n中有n(n-1)/2条边。()15.如果函数f:A→B和函数g:B→C是满射，则复合函数g∘f:A→C也是满射。()四、计算题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。16.设集合A={1,2,3,4},B={x|x是小于10的正偶数},C={x|x是小于10的正奇数}。求(A∩B)×(A∩C)。17.求命题公式(p∧¬q)∨(r∧(p∨¬q))的主析取范式。18.设有6个城市，每两个城市之间都有一条道路。问最多需要多少条边才能保证城市之间互相连通？五、证明题：本大题共2小题，每小题10分，共20分。19.证明：对于任意集合A，有A⊆A∪A。20.证明：设G是一个无向图，如果G中每个顶点的度数都大于等于2，则G中存在一条路径，该路径经过至少两个不同的顶点。试卷答案一、选择题1.B解析：A∪B={1,2,3,4},(A∪B)∩C={3}。2.B解析：只有命题才能判断真假。选项B是一个条件语句。3.B解析：原命题的否定形式为“如果今天不下雨，那么我不去图书馆”，即¬p→¬q。4.B解析：奇函数满足f(-x)=-f(x)。只有选项B满足此条件。5.C解析：从A到B的函数个数等于3^5=243个。二、填空题6.{a,b,c,d}解析：集合的并集包含属于A或属于B的所有元素。7.p∧q∧r解析：主析取范式是所有使得公式为真的指派对应的合取式。原公式在p=True,q=True,r=True时为真。8.2解析：根据图论中的手边定理，顶点度数之和等于2倍边数。9.2^n解析：根据二项式定理，(1+1)^n=C(n,0)+C(n,1)+...+C(n,n)。10.10解析：从{1,2,4,5,6}中选择2个元素，有C(5,2)=10种方法。三、判断题11.√解析：子集的定义具有传递性。12.√解析：可以通过真值表验证该公式在所有情况下都为真。13.×解析：无限集合的子集是不可数的。14.√解析：完全图的定义就是每对顶点之间都有一条边。15.√解析：如果对于每个y∈C，都存在x∈A使得g(f(x))=y，由于g是满射，所以对于每个y∈C，都存在z∈B使得g(z)=y，由于f是满射，所以对于每个z∈B，都存在x∈A使得f(x)=z，因此对于每个y∈C，都存在x∈A使得g(f(x))=y，即g∘f是满射。四、计算题16.{(1,1),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,3),(4,1),(4,3)}解析：A∩B={2,4},A∩C={1,3}，(A∩B)×(A∩C)是这两个集合的笛卡尔积。17.(p∧q∧r)∨(p∧¬q∧r)∨(¬p∧¬q∧¬r)解析：通过分配律和德摩根定律将原公式化简为主析取范式。18.15解析：需要n-1条边才能保证n个顶点的连通图，这里是6个顶点，需要5条边。但要保证“最多”，即构成一个完全图，需要C(6,2)=15条边。五、证明题19.证明：设x∈A，则根据集合的定义，x∈A。又因为A⊆A∪A，所以x∈A∪A。因此，对于任意x∈A，都有x∈A∪A，即A⊆A∪A。20.证