第二章 二次函数（压轴专练）（十六大题型）（学生版）-北师大版九下

第二章二次函数（压轴专练）（十六大题型）题型1：存在性问题1．如图，抛物线与x轴交于点A-4,0、两点，与y轴交于点B0,3，点是线段上的一个动点，过点M作x轴的垂线l，分别与直线和抛物线交于D、E两点，连接、．(1)求抛物线的解析式；(2)求出当的面积为3时，m的值；(3)当时，m的值为；(4)在x轴上有一点F，恰好是等腰三角形，请你直接写出点F的坐标．题型2：最值问题2．已知二次函数（，是常数）．(1)当是二次函数图象上的点时，求代数式的值；(2)若二次函数的表达式可以写成（是常数）的形式，求的最大值；(3)若二次函数的表达式可以写成（是常数，且）的形式，该函数图象与轴交于、两点（点在点左侧），已知点、点都是该抛物线对称轴上的点，点位于第一象限，且，点是点关于该抛物线的对称轴对称的点，连接并延长交轴于点，连接．当的周长的最小值等于时，求此时的值．题型3：取值范围问题3．【项目式学习】如图，抛物线与x轴分别交于A、B两点（A、B分别在原点左右两侧），与y轴交于点C，点P为抛物线上第一象限内一动点，过点A、点P的直线交y轴于点M，过点B、点P的直线交y轴于点N，连接，试探究之间的数量关系．为探究该问题，拟采用研究问题的一般路径一一由特殊到一般的研究方式：(1)设．①若点P的横坐标为2，计算：______，______；比较大小：______（填“>”、“=”或“<”）．②若点P的横坐标为m，上述、之间的数量关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(2)根据上述研究经验，当A、B两点的横坐标为、时，之间的数量关系仍然成立吗？请说明理由．(3)若，求出k的取值范围．题型4：定点问题4．如图，直线与抛物线交于、两点（点在点的左侧），抛物线与轴交于点．(1)若点的横坐标为，求抛物线的解析式；(2)在（1）条件下，点为直线：上方的抛物线上一点，若，求点的坐标；(3)将抛物线平移使得顶点落在原点得到抛物线，直线交抛物线于，两点，已知点，直线，分别交抛物线于另一点，．求证：直线恒过一个定点．题型5：定值问题5．如图1，抛物线与x轴交于、两点，D为抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，经过定点G的直线交抛物线于E、F两点（点E在点F的左侧），若的面积是面积的三倍，求k的值：(3)如图3，直线与抛物线有唯一公共点M，直线与抛物线有唯一公共点N，且直线过定点，则的面积为定值，求出这个定值．题型6：新定义题6．定义：若抛物线的顶点和与轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时，则称此抛物线为正抛物线．概念理解：（1）如图，在中，，点是的中点．试证明：以点为顶点，且与轴交于两点的抛物线是正抛物线；问题探究：（2）已知一条抛物线经过轴的两点（在的左边），且若此条抛物线为正抛物线，求这条抛物线的解析式；应用拓展：（3）将抛物线向下平移个单位后得新的抛物线．抛物线的顶点为，与轴的两个交点分别为（在左侧），把沿轴正半轴无滑动翻滚，当边与轴重合时记为第次翻滚，当边与轴重合时记为第次翻滚，依此类推，请求出当第次翻滚后抛物线的顶点的对应点坐标．题型7：二次函数与特殊平行四边形7．已知直线与x轴交于A

，与y轴交于点B，抛物线与x轴交于A，C两点，与y轴交于点B(1)求这个抛物线的解析式(2)若P是直线上方抛物线上一点，存在点P使得，求点P的坐标(3)在对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小，若存在，请直接写出Q点坐标，若不存在，请说明理由(4)点M在x轴上，在坐标平面内是否存在点N，使以A

，B

，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．题型8：二次函数与相似三角形8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，，连接，．(1)求该抛物线的解析式；(2)点P为直线下方抛物线上一点，过点P作交y轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标；(3)将该抛物线沿射线方向平移，经过点B时得到新抛物线，在新抛物线上有一点M，过点M作轴于点N．若以B，M，N三点为顶点的三角形与相似，写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程．题型9：二次函数与解直角三角形9．如图，已知抛物线经过点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为该抛物线上一动点．①当点P在直线下方时，过点P作轴，交直线于点E，作轴．交直线于点F，求的最大值；②若，求点P的横坐标．10．已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，线段的两个端点，分别在y轴和x轴的正半轴上，现将线段绕点B按顺时针方向旋转得到线段，抛物线经过点D．(1)如图1，若该抛物线经过原点O，且①求点D的坐标及该抛物线的解析式；②在抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；(2)如图2，若该抛物线经过点，点Q在抛物线上，且满足．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．题型10：动点问题11．如图，抛物线与x轴交于点、B4,0两点，与y轴交点C，连接，顶点为M．(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；(2)已知点P是抛物线上的一点，连接，若，求点P的坐标；(3)如图2，若D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点E，当的值最大时，求点D的坐标．题型11：平移问题12．已知抛物线与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧，点B在原点O右侧），与y轴交于点C，且．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P是直线上方抛物线上一点，过点P作平行于y轴交于点Q，点D是的中点，过点D作的平行线交y轴于点F，过点C作平行于x轴交于点H，当取最大值时，求此时点P的坐标及的最大值；(3)如图2，点E坐标为，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，在抛物线是否存在点M，满足，若存在，直接写出点M的坐标并写出其中一个点的求解过程，若不存在请说明理由．题型12：对称问题13．已知抛物线的顶点为D，与x轴交于A，B两点（点A在点B左边）．(1)若该抛物线的顶点D的坐标为，求其解析式；(2)如图1，已知抛物线的顶点D在直线上运动，且与直线l交于另一点E，若的面积为，求点A的坐标；(3)如图2，在（1）的条件下，P，Q为y轴上的两个关于原点对称的动点，射线，分别与抛物线交于M，N两点，求与的数量关系．题型13：翻折问题14．我们约定：抛物线与轴的两个交点以及顶点构成的三角形称为“顶点三角形”，若顶点三角形为等边三角形，则称该抛物线为“正抛物线”（如图3），若顶点三角形为等腰直角三角形，则称该抛物线为“正直抛物线”（如图2）．(1)如图1，已知，是线段的中点，，，求证：以为顶点且过点、的抛物线是“正抛物线”；(2)若点与点在“正直抛物线”上，求该“正直抛物线”的解析式；(3)已知：与“正抛物线”关于原点中心对称的抛物线为，将抛物线图象中在直线上方的图象沿直线向下翻折，当直线与翻折后的图象有个交点时，求的取值范围．题型14：旋转问题15．平面直角坐标系中，抛物线（，均为常数）与轴相交于点，与轴相交于、两点，连接，过点作交抛物线于点．(1)求出该抛物线的函数表达式及点的坐标；(2)如图1，已知点是线段上方抛物线上一点，过点作轴交于，在线段和线段上分别有两个动点、，且满足，是的中点，当取得最大值时，在线段上是否存在一点，使得的值最小？若存在，请求出点的坐标以及的最小值；若不存在，请说明理由．(3)如图2，是线段上一定点，且满足，连接，将线段沿轴向下平移6个单位至，连接，是线段上一动点，点、同时绕点逆时针旋转，应对点分别是、．在旋转过程中，当是直角三角形时，请直接写出此时的坐标．题型15：二次函数与一元二次方程16．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．(1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：①；②．(2)已知关于x