北京九中2026届数学高一第一学期期末考试试题含解析

北京九中2026届数学高一第一学期期末考试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.2．函数f（x）=2ax+1–1（a>0，且a≠1）恒过定点A.（–1，–1） B.（–1，1）C.（0，2a–1） D.（0，1）3．已知，且，则A. B.C. D.4．函数在区间上的最小值是A. B.0C. D.25．已知函数，若，，，则（）A. B.C. D.6．下列不等式成立的是（）A.log31C.log23<7．棱长分别为1、、2的长方体的8个顶点都在球的表面上，则球的体积为A. B.C. D.8．若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（）A. B.C. D.9．对于直线的截距，下列说法正确的是A.在y轴上的截距是6 B.在x轴上的截距是6C.在x轴上的截距是3 D.在y轴上的截距是-310．设，为平面向量，则“存在实数，使得”是“向量，共线”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若偶函数在区间上单调递增，且，，则不等式的解集是___________.12．函数（其中，，）的图象如图所示，则函数的解析式为__________13．求过(2,3)点，且与(x－3)2＋y2＝1相切的直线方程为_____14．已知函数，，对，用表示，中的较大者，记为，则的最小值为______.15．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的体积是______16．已知，若，则_______；若，则实数的取值范围是__________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数（1）求函数的对称中心；（2）当时，求函数的值域18．若幂函数在其定义域上是增函数.（1）求的解析式；（2）若，求的取值范围.19．如图，在扇形OAB中，半径OA=1，圆心角C是扇形弧上的动点，矩形CDEF内接于扇形，且OE=OF.记∠AOC=θ，求当角θ为何值时，矩形CDEF的面积S最大?并求出这个最大的面积.20．（1）计算：，（为自然对数的底数）；（2）已知，求的值.21．如图，四棱锥的底面是菱形，，平面，是的中点.（1）求证：平面平面；（2）棱上是否存在一点，使得平面？若存在，确定的位置并加以证明；若不存在，请说明理由.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】原命题等价于恒成立，故即可，解出不等式即可.【详解】因为命题“，使”是假命题，所以恒成立，所以，解得，故实数的取值范围是故选：B2、B【解析】令x+1=0，求得x和y的值，从而求得函数f（x）=2ax+1–1（a>0，且a≠1）恒过定点的坐标【详解】令x+1=0，求得x=-1，且y=1，故函数f（x）=2ax+1–1（a＞0且a≠1）恒过定点（-1，1），故选B.【点睛】】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题3、A【解析】由条件利用两角和的正切公式求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系与二倍角公式，求得的值【详解】解：∵tan（α），则tanα，∵tanα，sin2α+cos2α＝1，α∈（，0），可得sinα∴2sinα＝2（）故选A点睛】本题主要考查两角和的正切公式的应用，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，考查计算能力，属于基础题4、A【解析】函数，可得的对称轴为，利用单调性可得结果【详解】函数，其对称轴为，在区间内部，因为抛物线的图象开口向上，所以当时，在区间上取得最小值，其最小值为，故选A【点睛】本题考查二次函数的最值，注意分析的对称轴，属于基础题．若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域.5、A【解析】可判断在单调递增，根据单调性即可判断.【详解】当时，单调递增，，，，.故选：A.6、A【解析】由对数的单调性直接比较大小.【详解】因为log31=log2=log24<故选：A.7、A【解析】球的直径为长方体的体对角线，又体对角线的长度为，故体积为，选A.8、D【解析】函数分别是上的奇函数、偶函数,，由，得，，，解方程组得，代入计算比较大小可得.考点：函数奇偶性及函数求解析式9、A【解析】令，得y轴上的截距，令得x轴上的截距10、A【解析】结合充分条件和必要条件的概念以及向量共线即可判断.【详解】充分性：由共线定理即可判断充分性成立；必要性：若，，则向量，共线，但不存在实数，使得，即必要性不成立.故选：A.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】根据题意，结合函数的性质，分析可得在区间上的性质，即可得答案.【详解】因为偶函数在区间上单调递增，且，，所以在区间上单调上单调递减，且，所以的解集为.故答案为：12、【解析】如图可知函数的最大值，当时，代入，，当时，代入，，解得则函数的解析式为13、或【解析】当直线没有斜率时，直线的方程为x=2,满足题意，所以此时直线的方程为x=2.当直线存在斜率时，设直线的方程为所以故直线的方程为或.故填或.14、【解析】作出函数的图象，结合图象即可得的最小值.【详解】如图，在同一直角坐标系中分别作出函数和的图象，因为对，，故函数的图象如图所示：由图可知，当时，函数取得最小值.故答案为：.15、【解析】设圆锥母线长为，底面圆半径长，侧面展开图是一个半圆，此半圆半径为，半圆弧长为，表面积是侧面积与底面积的和，则圆锥的底面直径圆锥的高点睛：本题主要考查了棱柱，棱锥，棱台的侧面积和表面积的知识点．首先，设圆锥母线长为，底面圆半径长，然后根据侧面展开图，分析出母线与半径的关系，然后求解其底面体积即可16、①.②.【解析】先判断函数的奇偶性，由求解；再根据函数的单调性，由求解.【详解】因为的定义域为R，且，，所以是奇函数，又，则-2；因为在上是增函数，所以在上是增函数，又是R上的奇函数，所以在R上递增，且，所以由，得，即，所以，解得或，所以实数的取值范围是，故答案为：，三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解；（2）由，可得，结合三角函数的图象与性质，即可求解；【小问1详解】解：由题意，函数，令，解得，所以函数的对称中心为.【小问2详解】解：因为，可得，当时，即时，可得；当时，即时，可得，所以函数的值域为18、（1）；（2）或.【解析】（1）根据幂函数的概念，以及幂函数单调性，求出，即可得出解析式；（2）根据函数单调性，将不等式化为，求解，即可得出结果.【详解】（1）因为是幂函数，所以，解得或，又是增函数，即，，则；（2）因为为增函数，所以由可得，解得或的取值范围是或.19、当时，矩形的面积最大为【解析】由点向作垂线，垂足为，利用平面几何知识得到为等边三角形，然后利用表示出和，从而得到矩形的面积，利用三角函数求最值进行分析求解，即可得到答案【详解】解：由点向作垂线，垂足为，在中，，，由题意可知，，，所以为等边三角形，所以，则，所以，所以，，所以矩形的面积为，因为，所以当，即时，最大为所以当时，矩形的面积最大为20、（1）2；（2）.【解析】（1）由条件利用对数的运算性质求得要求式子的值．（2）由条件利用同角三角函数的基本关系平方即可求解【详解】（1）原式.（2）因为，两边同时平方，得.【点睛】本题主要考查对数的运算性质，同角三角函数的基本关系，熟记公式是关键，属于基础题21、(1)见解析(2)点为的中点【解析】（1）证面面垂直，可先由线面垂直入手即，进而得到面面垂直；（2）通过构造平行四边形，得到线面平行．解析：（1）连接，因为底面是菱形，,所以为正三角形.因为是的中点,所以,因为面,，∴，因为，，,所以.又,所以面⊥面.（2）当点为的中点