《选择适当方法解二元一次方程组》教案

《选择适当方法解二元一次方程组》教案教学目标及教学重点、难点学习目标：1．根据方程组结构特征，选择适当的消元法解二元一次方程组；2.会用整体消元法解某些特殊的二元一次方程组.重点难点：根据方程组的结构特征，选择适当的方法解二元一次方程组.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图复习前两节课中分别学习了解二元一次方程组的方法，通过消元，将二元一次方程组转化为一元一次方程，从而达到求解方程组的目的在具体的消元过程中，我们学习了两种消元的方法：第一种方法是代入消元法，因为在同一个问题中，同一个字母表示相同的量，因此根据其中的一个方程，可以用含有一个为知数的代数式表示另外一个未知数，再代入到另外一个方程中，通过等量代换可以达到消元的目的；第二种方法是加减消元法，通过选择或构造相同或相反的未知数系数，将两个方程相减或相加，即方程的左右两边分别对应相减或相加，利用等式的性质就可以达到消元的目的。复习消元的两种方法，及对应的依据，为选择适当的方法消元做铺垫。新课1选择适当的方法解二元一次方程组（1）（2）（3）分析：第1题：如果使用代入消元法，观察方程组中未知数系数的特征，由于方程1中x的系数为1，因此通过移向就可以用含有y的代数式表示x，代入方程2中就可以消去未知数x，达到消元的目的。如果选择加减消元法，观察方程组中未知数的系数特征，两个方程中y的系数互为相反数，相加即可消去未知数y总结该方程组中的两种消元的方法，可以发现如果方程组中有未知数的系数为1或-1，则可以选择代入消元；如果方程组中，同一个未知数的系数相同或互为相反数，则可以直接用加减消元法消元第2题：根据前面的分析，你想选择什么方法来消元呢？观察方程组中未知数系数的特征，方程1中y的系数是1，而其他未知数的系数既不相同，也不互为相反数，所以我们可以选择代入消元法去消元。第3题：如果使用代入消元法，观察方程组中未知数的系数特征，方程组中并没有系数为1或-1的未知数，所以要用代入消元法，则可以任选一个方程变形，用含有一个未知数的代数式表示出另外一个未知数后，代入到另一个方程中消元；如果选择加减消元法，由于方程组中未知数的系数不相同，也不互为相反数，则需要通过对方程变形，使其中的一个未知数的系数相同或互为相反数，然后再相减或相加消元。对比该方程组中的两种消元的方法，由于方程组中的两个未知数的系数不是1或-1，所以如果使用代入消元法，则变形过程中分数系数的运算容易出错，所以此时我们可以选择加减消元法。特别的，该方程组的两个方程中，x的系数正好满足整数倍的关系，所以，只需对其中的一个方程变形，加减消元也是比较简便的。根据前面的例题，总结解二元一次方程组可以选择的消元的方法，观察方程组中未知数的系数特征：1.如果存在未知数系数是1或-1，可以选择代入消元；2.如果存在未知数系数相同或互为相反数或成整数倍关系，可以选择加减消元；3.如果未知数的系数都不是1或-1，可以选择加减消元.选择适当的方法解二元一次方程组分析：观察方程组的结构特征.方法一，整理方程组，根据整理后的方程组结构特征选择消元的方法；方法二，两个方程中都含有x-y，如果将x-y看成整体，则根据第一个方程，可以得到x-y=1，直接代入到第二个方程中，得到4×1-y=5，即可求出y的值。在这个方法中，是把x-y看成整体，通过整体代入，达到了消元的目的。对比这两种方法，方法一是通过整理方程组，然后根据系数特征选择代入或加减消元求解方程组；而方法二则是整体代入消元。因此，为了用更简便的方法解方程组，需要先观察方程组的结构特征，观察方程中的未知数、系数以及从整体观察方程组的结构，再来选择消元的方法。结合具体的例题，帮助学生体会如何根据未知数的系数特征选择消元的方法，通过对比不同的方法体会计算量的不同.根据例题，总结如何根据方程组中未知数的系数特征，选择适当的方法消元，解方程组。根据例题，帮助学生理解：具有特殊结构形式的方程组的特殊的消元方法：两个方程中含有公共部分时，可以整体消元.让学生进一步体会，选择何种消元的方法更简便，取决于方程组的结构特征，在求解之前要注意观察方程组的结构特征。练习1练习1：选择适当的方法解二元一次方程组分析：观察方程组的结构特征方法一：因为含有括号，所以可以先整理，再根据系数特征选择消元的方法。方法二：发现两个方程中均含有2x+4和y-5这两个整体，所以可以选择整体消元求解方程组。练习2：选择适当的方法解二元一次方程组分析：观察方程组的结构特征，第二个方程的左侧是两个关于x和y的一次式的乘积，其中2x-y这项正好与第一个方程中的6x-3y成倍数的关系，所以可以将2x-y看成整体，整体代入消元。练习3：选择适当的方法解二元一次方程组分析：就一般方法而言，对于该方程组，我们可以根据方程组中未知数的系数特征选择消元的方法，从而求解方程组；特别的，根据方程组的结构，把第2个方程中的3x+7y看作整体，在第1个方程中也找到这部分整体，然后通过等量代换消去这个整体，这样就可以简化系数，可以从代入和加减消元两种方式去尝试。落实巩固，如何根据方程组的结构特征，选择整体消元求解二元一次方程组新课2已知是方程组的解，求a+b的值.分析：方法一：根据条件，x=a，y=b是方程的解，因此求解方程组，即可求出a和b的值，从而求出a+b的值；要求解方程组，观察方程组的结构特征，第一个方程中y的系数为1，第二个方程中x的系数为1，因此选择其中一个未知数代入消元即可求解方程组。方法二：可否从整体的角度求a+b的值呢？观察方程组的系数特征，两个方程中x的系数分别是2和1，y的系数分别是1和2，将两个方程相加，就可以得到3x+3y=3，提取公因数3，就可以构造出x+y整体，直接求出这个整体的值。因此，在某些特殊的二元一次方程组的问题中，根据方程组的特殊结构，可以通过构造整体，来解决问题对例3进一步拓展：把问题改为求a-b的值。用方程1-方程2，即可得到x-y=1，从而求出a-b的值为1.在前面分析的基础上，结合例题进一步发现：根据方程组的结构特征，如果没有整体，则可以构造整体解决问题。练习2练习4：若关于x，y的方程组的解满足，求m的值．分析：根据条件，方程组的解满足x+y=0，所以问题是求解方程组的问题。方法一:观察所给方程组，把x和y看成未知数，把m看成已知的参数，则由于方程中含有系数-1，因此可以通过代入消元消去x或y，从而将x和y用含有m的代数式表示出来，再代入x+y=0中，转化为关于m的一元一次方程，即可求出m的值。方法二：根据前面的例题分析，可否构造x+y的整体，从而整体代入求值呢？观察两个方程中，x的系数分别是2和-1，y的系数分别是-1和2，于是两个方程相加，就可以构造出x+y，即x+y=m+5，整体代入到x+y=0中，就可以求出m的值。练习4拓展：若关于x，y的方程组的解满足，求m的值．分析：观察两个方程中，x的系数分别是2和-1，y的系数分别是-1和2，于是两个方程相减，就可以构造出3x-3y=-7m-5，等式的两边同时除以3，就构造出了x-y这个整体，用含有m的代数式表示了出来，根据x-y=0，代入即可求出m的值。落实巩固总结根据前面的学习，我们总结一下本课时的学习内容：本课时，我们结合具体的问题，研究了如何选择适当的方法求解二元一次方程组。一般情况下，我们可以整理方程组，然后根据方程组中未知数的系数特征选择是使用代入消元法，还是加减消元法；特别的，对于某些具有特殊结构的方程组，还可以通过识别方程组中的整体，或者构造整体，通过整体消元来求解问题。而到底要选择哪种解法，取决于方程组的结构特征，解方程组时，要先观察方程组的结构特征，再去选择求解的方法。但是本质都是消元。总结解二元一次方程组，消元的一般方法和特殊方法。作业选择适当的方法解二元一次方程组（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）2.（1）已知方程组，求的值.（2）已知关于、的方程组且，求的值.综合训练一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.若(4-m)x|m-3|+2y=0是关于x,y的二元一次方程,则m的值为()A.2 B.4 C.0 D.2或42.下列各组数中,是二元一次方程2x-y=4的一个解的是()A.x=1,y=3 C.x=0,y=43.若关于x,y的方程组mx-2y=5,2xA.9 B.±3 C.7 D.±34.对于方程组3x+4yA.由①,得x=2-4y3 B.由C.由②,得x=y+52 D.由②,得y=25.方程2x+y=8的正整数解的个数是()A.4 B.1 C.2 D.36.“寒夜客来茶当酒,竹炉汤沸火初红.”茶,作为中国传统文化的重要组成部分,承载着深厚的历史与文化底蕴.在品茶的过程中,茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的体验有显著影响.某茶具厂共有120名工人,每名工人一天能做200个茶杯或50个茶壶,如果8个茶杯和1个茶壶为一套,如何安排生产可使每天生产的产品配套.设生产茶杯的工人有x人,生产茶壶的工人有y人,则下列方程组正确的是()A.x+y=120,200xC.x+y=120,7.某班组织学生参加植树活动,男生植树的数量比女生植树数量的2倍多8棵,男生、女生植树的总数是56棵,则男生植树()A.14棵 B.16棵 C.28棵 D.40棵8.已知方程组x+y=8,y+z=-2,A.0 B.57C.-107 D.9.对于有理数x,y,定义新运算“※”:x※y=ax+by+1,a,b为常数,若3※5=15,4※7=28,则5※9=()A.41 B.42 C.43 D.4410.关于x,y的二元一次方程ax+y=b(a,b是常数,且a≠0),甲、乙、丙、丁四名同学给出了下列四组解,其中只有一组是错误的,则错误的一组是()A.x=-6,yC.x=-1,二、填空题(将结果填在题中横线上)11.已知x,y满足方程组3x+2y=4,12.已知关于x,y的二元一次方程组x+y=10,A=2的解为x13.已知关于x,y的二元一次方程组x-2y=-14.某种植大户计划安排10个劳动力来耕作30公顷土地,这些土地可以种蔬菜也可以种水稻,种这些作物所需劳动力及预计产值如下表:作物每公顷所需劳动力/个每公顷预计产值/元蔬菜145000水稻110500为了使所有土地种上作物,全部劳动力都有工作,应安排种蔬菜的劳动力为人,这时预计产值为元.

15.已知|a+b+2|+(a-2b-4)2=0,则ab=.

16.把某个式子看成一个整体,用一个字母代替它,从而使问题得到简化,这叫整体代换或换元思想,请根据上面的思想解决下面问题:若关于x,y的二元一次方程组3x-my=5,2x+ny=6的解是三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.解下列方程组:(1)3x-18.一个篮球的价格是x元,一个排球的价格是y元.(1)买4个篮球和5个排球共花费多少元?(2)若第一次买3个篮球和2个排球共花费460元,第二次买2个篮球和3个排球共花费440元,求x+y的值.19.已知关于x,y的二元一次方程组3x-y=4m+120.已知y=ax2+bx+c,当x=1时,y=0;当x=2时,y=5;当x=-3时,y=0.求a,b,c的值.21.小李和小张共同解关于x,y的二元一次方程组ax+y=7,①2x-by=1,②由于粗心,小李看错了方程①22.一批货物要运往某地,货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车,已知过去租用这两种货车的情况如下表:次序甲种货车数量/辆乙种货车数量/辆累计运送货物质量/吨第一次运输2315.5第二次运输5635(1)每辆甲、乙两种货车一次分别运送多少吨货物?(2)现租用该公司3辆甲种货车及6辆乙种货车一次刚好运完这批货,如果按每吨付费300元计算,那么货主应付运费多少元?23.某中学新建了一栋4层的教学楼,每层楼有8间教室,进出这栋楼共有4道门,其中两道正门大小相同,两道侧门大小也相同.安全检查时对4道门进行了测试:当同时开启一道正门和两道侧门时,1分钟内可以通过300名学生;当同时开启一道正门和一道侧门时,1分钟内可通过230名学生.(1)平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生?(2)检查中发现,紧急情况时学生争分夺秒地有序离开,出门的效率提高20%.在防震应急疏散演练中,学校规定全楼的学生应在3分钟内通过这4道门安全撤离.假设这栋教学楼每间教室最多有50名学生,则建造的这4道门是否符合安全规定?请你说明理由.答案：1.A解析:由题意,得4-m≠0,|m-3|=1,解得m=2.故选A.2.B解析:A选项中,把x=1,y=3代入2x-y=4,左边=2×1-3=-1,右边=4,左边≠右边,x=1,y=3不是方程2x-y=4的解,故A选项不符合题意;B选项中,把x=3,y=2代入2x-y=4,左边=2×3-2=4,右边=4,左边=右边,x=3,y=2是方程2x-y=4的解,故B选项符合题意;C选项中,把x=0,y=4代入2x-y=4,左边=2×0-4=-4,右边=4,左边≠右边,x=0,y=4不是方程2x-y=4的解,故C选项不符合题意;D选项中,把x=2,y=8代入2x-y=4,左边=3.B解析:∵x=3,y=-1是方程组mx-2y=5,2x+ny=14的解,∴34.D5.D解析:由2x+y=8,得y=-2x+8.∵x,y都是正整数,∴-2x+8是正整数.∴x=3,y=2,x=2,6.C7.D解析:设女生植树的数量为x棵,男生植树的数量为y棵.根据题意列方程组,得y=2x+8,x+y=56.8.C解析:由x把x=7,y=1,得7k+2×1-(-3)=-5.解得k=-107故选C.9.A解析:根据题中的新定义,得3解得a故x※y=-37x+25y+1.故5※9=-37×5+25×9+1=41.故选A.10.C解析:将所给的四组解分别代入ax+y=b,得-6a+8=b,①-4a+6=b,②-a+2=b,③5a-3=b.④由①,得b=8-6a.代入②,得a=1.代入③,得a=65代入④,得a=1.故C项为错误的解.故选C.11.-1解析:3①-②,得x-y=-1.12.x-1(答案不唯一)解析:∵关于x,y的二元一次方程组x+y∴x-1=3-1=2.∴整式A可以是x-1.13.5解析:解方程组x解方程组x∵关于x,y的二元一次方程组x-2y=-1∴2m-n=2×8-11=5.14.5660000解析:设种植蔬菜的有x人,耕作土地y公顷,则种水稻的有(10-x)人,耕作土地(30-y)公顷,则x解得x则预计产值为45000×10+10500×(30-10)=660000(元).15.0解析:∵|a+b+2|+(a-2b-4)2=0,∴|a+b+2|=0,(a-2b-4)2=0.∴a+b=-2,a-2b=4.解得a=0,b=-2.∴ab=0×(-2)=0.16.a=1.5,b=-0.5∴关于a,b的二元一次方程组3(a+b故关于a,b的二元一次方程组3(a17.解:(1)3①×3+②×4,得17x=34.解得x=2.把x=2代入①,得3×2-4y=-6.解得y=3.所以这个方程组的解是x(2)x整理,得5①+②×5,得46y=46.解得y=1.把y=1代入①,得