2025年上学期高三数学周测（一）试题

2025年上学期高三数学周测（一）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|\log_2(x-1)<1})，则(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,3))C.((1,3))D.((2,+\infty))若复数(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)为虚数单位），则(|z|=)（）A.(\frac{\sqrt{5}}{2})B.(\frac{5}{2})C.(\sqrt{5})D.(5)已知向量(\vec{a}=(2,m))，(\vec{b}=(1,-2))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}-2\vec{b}))，则(m=)（）A.(-4)B.(-2)C.(2)D.(4)函数(f(x)=\frac{\sinx+x^3}{x^2+1})的图象大致为（）A.关于原点对称B.关于y轴对称C.关于直线(y=x)对称D.关于直线(y=-x)对称已知等比数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，若(a_1=1)，(S_3=13)，则公比(q=)（）A.(3)B.(-4)C.(3)或(-4)D.(-3)或(4)某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）A.(12\pi)B.(16\pi)C.(20\pi)D.(24\pi)（注：三视图中，主视图和侧视图为半径为2的半圆，俯视图为边长为4的正方形）已知(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2}))，且(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{\sqrt{5}}{2})，则(\sin2\alpha=)（）A.(\frac{1}{4})B.(\frac{1}{2})C.(\frac{3}{4})D.(1)执行如图所示的程序框图，若输入(n=5)，则输出的(S=)（）A.(10)B.(15)C.(20)D.(25)（注：程序框图为当型循环结构，初始(S=0,i=1)，循环条件(i\leqn)，执行(S=S+i)，(i=i+2)）已知双曲线(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的离心率为(\sqrt{3})，且过点((2,\sqrt{6}))，则双曲线(C)的标准方程为（）A.(\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4}=1)B.(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1)C.(x^2-\frac{y^2}{2}=1)D.(\frac{x^2}{2}-y^2=1)已知函数(f(x)=\lnx-ax^2+(2-a)x)，若(f(x))在((0,+\infty))上单调递增，则实数(a)的取值范围是（）A.((-\infty,1])B.((-\infty,0])C.([0,1])D.([1,+\infty))在三棱锥(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB=AC=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(PA=3)，则该三棱锥外接球的表面积为（）A.(13\pi)B.(25\pi)C.(34\pi)D.(50\pi)已知定义在(\mathbf{R})上的函数(f(x))满足(f(x+2)=f(x))，且当(x\in[0,2))时，(f(x)=x^2-2x)，则方程(f(x)=\frac{1}{2})在区间([-2,4])上的解的个数为（）A.3B.4C.5D.6二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）若(x,y)满足约束条件(\begin{cases}x+y\geq2\x-y\leq0\y\leq3\end{cases})，则(z=2x+y)的最大值为________。在((x-\frac{1}{\sqrt{x}})^6)的展开式中，常数项为________（用数字作答）。已知抛物线(C:y^2=4x)的焦点为(F)，准线为(l)，过点(F)的直线交抛物线于(A,B)两点，若(|AF|=3)，则(|BF|=)________。已知函数(f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2}))的最小正周期为(\pi)，且其图象经过点((\frac{\pi}{3},\frac{1}{2}))，则(\varphi=)________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分10分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所对的边分别为(a,b,c)，已知(a=2\sqrt{3})，(b=2)，(\cosA=-\frac{1}{2})。（1）求角(B)的大小；（2）求(\triangleABC)的面积。（本小题满分12分）某学校为了解高三学生的数学学习情况，从高三年级随机抽取100名学生进行数学成绩测试，将测试成绩（单位：分）分成五组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图。（1）求频率分布直方图中(a)的值；（2）估计这100名学生数学成绩的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）若从成绩在[50,60)和[90,100]的学生中随机抽取2人，求这2人成绩均在[90,100]的概率。（本小题满分12分）如图，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AC=BC=AA_1=2)，(\angleACB=90^\circ)，(D,E)分别是棱(A_1B_1,A_1C_1)的中点。（1）求证：(DE\parallel)平面(BCC_1B_1)；（2）求二面角(A-DE-B)的余弦值。（本小题满分12分）已知椭圆(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的离心率为(\frac{\sqrt{3}}{2})，且过点((2,1))。（1）求椭圆(C)的标准方程；（2）设直线(l:y=kx+m)与椭圆(C)交于(A,B)两点，(O)为坐标原点，若(k_{OA}\cdotk_{OB}=-\frac{1}{4})，求证：(\triangleAOB)的面积为定值。（本小题满分12分）已知函数(f(x)=xe^x-a(x+\lnx))，其中(a\in\mathbf{R})。（1）若(a=e)，求函数(f(x))的单调区间；（2）若(f(x)\geq1)在((0,+\infty))上恒成立，求实数(a)的取值范围。（本小题满分12分）在平面直角坐标系(xOy)中，曲线(C_1)的参数方程为(\begin{cases}x=2+2\cos\alpha\y=2\sin\alpha\end{cases})（(\alpha)为参数），以坐标原点(O)为极点，(x)轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线(C_2)的极坐标方程为(\rho=4\sin\theta)。（1）求曲线(C_1)的普通方程和曲线(C_2)的直角坐标方程；（2）设点(P)在曲线(C_1)上，点(Q)在曲线(C_2)上，求(|PQ|)的最小值及此时点(P)的直角坐标。四、选做题（本大题共2小题，每小题10分，考生只能选做一题。若两题都做，则按第一题计分）（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，已知直线(l)的极坐标方程为(\rho\sin(\theta+\frac{\pi}{4})=\sqrt{2})，曲线(C)的极坐标方程为(\rho=4\cos\theta)。（1）求直线(l)和曲线(C)的直角坐标方程；（2）设点(M)在曲线(C)上，求点(