湖北省圆创教育联盟2025-2026学年高二上学期11月阶段性练习（期中）数学试题含答案

2025年高二年级11月阶段练习

高二数学

本试卷共4页，19题。满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的

指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、

草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题

卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的)

1.若复数z满足,其中i为虚数单位，则z为

A.1+2iB1-2iC.-1+2iD.-1-2i

2.下列说法正确的是

A.截距相等的直线都可以用方表示

B经过点P(2,1),倾斜角为θ的直线方程为y-1=tanθ(x-2)

C.“a=2”是“直线l₁:ax+2y+a=0与直线l₂:2x+ay-a=0平行”的充分不必要条件

.经过两点P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂)的直线方程为(y₂-y₁)(x-r₁)一(r₂-x₁)(y-y)=0

3.从数字1,2,3,4,5中随机抽取两个数字(不允许重复),则这两个数字的乘积是禺数的概率为

A.BCD.

4.在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是边长为2的正方形，若∠A₁AB=∠A₁AD=60°,且

AA₁=1,则AC₁的长为

A.√5B.2√2C.√13D.√15

5.已知向量a,b满足la|=2,|b|=1,|a-b|=2,则b在a方向上的投影向量是

C

AB.D.

高二数学试卷第1页(共4页)

6.先后抛掷质地均匀的硬币3次，得到以下结论，其中错误的是

A.可以从不同的观察角度写出不同的样本空间

B.事件“至少2次正面朝上”与事件“至少1次反面朝上”是互斥事件

C.事件“至少1次正面朝上”与事件“3次反面朝上”是对立事件

D.事件“1次正面朝上2次反面朝上”发生的概率是

7.在△ABC中，已知AB=2,点O为三角形的外接圆的圆心，若AO=xAB+yAC(x,y∈R),且

x+2y=1,则△ABC的面积的最大值为

A.2B.8C.16D.18

一

8.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为A₁D₁的中点，Q

为A₁B₁上任意一点，E,F为CD上任意两点，且EF的长为定值，则下面

的四个值中不为定值的是

A.△QEF的面积

B三棱锥Q-PEF的体积

C.直线PQ与平面PEF所成的角

D.二面角P-EF-Q的大小

二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全

部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分)

9.关于空间向量，以下说法正确的是

A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面

B若两个非零向量a,b的夹角<a,b>是钝角，则a·b<0

C.已知,平面α的法向量为m=(1,2,3),则AB//a

D.已知向量组(a,b,c)是空间的一个基底，则(a+b,b+c,a+c)也是空间的一个基底

10.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,D为边BC的中点，则下列说法正确的是

A.存在A>B,满足cosA>cosBB.若,则△ABC是直角三角形

C.若,则△ABC是锐角三角形D.若,则△ABC是钝角三角形

11.如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截面是一个椭圆.若圆柱的底面圆半

径为,则

A.椭圆的长半轴长等于4

B.椭圆的离心率

C.椭圆的标准方程可以

D.椭圆上的点到一个焦点的距离的最大值为4-2√3

高二数学试卷第2页(共4页)

三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

12.一个圆柱的内切球的表面积为16π,则这个圆柱的体积为

13.如图，椭圆的左、右焦点分别为F₁,F₂,过点F₁,F₂

分别作弦AB,CD.若AB//CD,则|AF₁I+|CF₂|的最小值

为_·

14.已知实数x·x₂,yiy₂满足x²+y²=16,x²+yz=16,

lx₁y₂一x₂y₁I=16,则|x₁+y₁-81+|x₂+y₂-8|的最大值

是_

四、解答题(本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(本小题13分)

荆州是楚文化发祥地，出土大量青铜器与竹简。荆州市某学校为促进学生对楚文化的了解程度，

举办了“楚文化”知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据(满分

100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：(40,50),(50,60),…,[90,100],并作出如图所示

的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)样本数据的第59百分位数约为多少；

(3)若落在[50,60]中的样本数据平均数是52,方差是6;落在[60,70]中的样本数据平均数是64,方

差是3,求这两组数据的总平均数x和方差σ².

频率

组距

0.030

a

0.020

0.015

0.010

0.005

oh

405060708090100分数

16.(本小题15分)

已知直线1经过点P(-5,一5),圆C:x²+y²+2x-6y-6=0.

(1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程；

(2)若直线I被圆C截得的弦长为4√2,求直线l的方程.

高二数学试卷第3页(共4页)

17.(本小题15分)

已知平面四边形ABCD中，AD//BC,BC⊥CD,且.以AD为腰作等腰直

角三角形PAD,且PA=AD,将△PAD沿直线AD折起，使得平面PAD⊥平面ABCD.

(1)证明：AB⊥平面PAC;

(2)若M是线段PD上一点，且PB//平面MAC,求平面PBC与平面ABM夹角的余弦值.

18.(本小题17分)

已知椭圆()的左、右焦点分别为F₁,F₂,点T(0,1),过点F₂的直线l交

椭圆于A,B两点，交y轴于P点，△F₁AB的周长为8,椭圆的离心率为·

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求点T到椭圆上点的距离的最大值：

(3)设PA=λ₁AF₂,PB=λ₂BF₂,试判断λ₁+λ2是否为定值?

请说明理由.

19.(本小题17分)

法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构

造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在△ABC

中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asinA-bsinB=c(sinC—sinB),以AB,BC,AC为边向

外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O₁,O₂,O₃.

(1)求A;

(2)若△AO₁O₃外接圆半径为1,求△O₁O₂O₃的边长；

(3)若a=√3,△O₁O₂O₃的面积为,求△ABC的周长.

高二数学试卷第4页(共4页)

2025年高二年级11月阶段练习

高二数学试卷参考答案与解析

题号1234567891011

答案BDCCABACABDBDABC

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的)

1.【答案】B

【详解】z=i(2—i)=1+2i,∴z=1-2i.

2.【答案】D

【详解】对于A,截距相等且为0的直线不可以用方程表示，故错误；

对于B,经过点P(2,1),倾斜角为θ=90°的直线方程不能写成y-1=tanθ(x-2),故错误；

对于C,“a=2”是“直线l₁:ax+2y+a=0与l₂:2x+ay-a=0互相平行”的充要条件；

对于D,当x₁≠x2时，直线的斜率存在，直线方程为

即(y₂-y₁)(x-x₁)—(x₂一x₁)(y-y₁)=0.

当x₁=x2时，直线的斜率不存在，直线方程为x=x1,

此时满足方程(y₂-y₁)(x-x₁)—(x₂一x₁)(y-y₁)=0.所以D正确.

3.【答案】C

【详解】从5个数字中随机抽取两个数字(不允许重复)一共有10种，若乘积为偶数，则一共有7种，所

以概率为.故选：C.

4.【答案】C

【详解】∵AC₁=AB+BC+CC₁=AB+AD+AA∴|AC₁I²=(AB+AD+AA)²=AB²+AD²+

∴AC₁I=√13

5.【答案】A

【详解】因为向量a,b满足|a|=2,|b|=1,|a—b|=2,

所以(a—b)²=la-b|²=(a)²-2a·b+(b)²=|a|²—2a·b+|b|²=4,解得

所以a在b方向上的投影向量,故选：A.

高二数学试卷参考答案与解析第1页(共7页)

6.【答案】B

【详解】不同的观察角度所得到的样本空间也可以不同，A正确；考虑样本空间中一共含有：正正正，正

正反，正反正，反正正，正反反，反反正，反正反，反反反共8个样本点时，事件“至少2次正面朝上”与事

件“至少1次反面朝上”能同时发生，不是互斥事件，故B不正确；事件“至少1次正面朝上”与事件“3

次反面朝上”是对立事件，故C正确；事件“1次正面朝上2次反面朝上”发生的概率是,故D

正确.

7.【答案】A

【详解】取AC的中点D,如图.

因为AO=xAB+yAC,所以AO=xAB+2yAD,

因为x+2y=1,所以B,O,D三点共线，

法1:因为O是三角形的外接圆的圆心，所以BDLAC,设AD=DC=B

m,则BD=√4-m²,所以

当且仅当m=√2时取得等号.故△ABC面积最大值为2.故答案为2,选A.

取等.故△ABC面积最大值为2.故答案为2,选A.

8.【答案】C

【详解】A中，∵EF的长为定值，且Q点到EF的距离即为两平行直线A₁B₁与CD之间的距离也为定

值，∴△QEF的面积为定值；

B中，∵△QEF的面积是定值.(∵EF定长，Q到EF的距离就是Q到CD的距离也为定长，即底和高

都是定值),

再根据QEF平面也就是平面A₁B₁CD,既然P和平面QEF都是固定的，∴P到平面QEF的距离是

定值，∴三棱锥的高也是定值，于是体积固定.∴三棱锥P-QEF即三棱锥Q-PEF的体积是定值；

C中，容易知道Q到平面PEF距离是定值(事实上即Q到平面PCD距离),而PQ长度在变化中，所

以直线PQ与平面PEF所成的角不是定值；

D中，二面角P—EF-Q的平面角即是二面角P-CD-B₁的平面角，而二面角P—CD-B₁的两个

半平面均是固定平面，显然为定值，故选：C.

二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全

部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分)

9.【答案】ABD

【详解】对于A,根据空间向量共面定理可知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定

共面，A正确；

高二数学试卷参考答案与解析第2页(共7页)

对于B,由<a,b〉是钝角，可得a,b为非零向量，且cos<a,b〉<0,

故|a|>0,|b|>0,所以a·b=|a|b|cos<a,b〉<0,B正确；

对于C,因所以AB⊥m,

所以AB//α或ABCα,故C错误；

对于D,以正方体为例，a,b,c是以顶点A出发的三条两两垂直的棱构成的一组不共面向量，则a+b,

b+c,a+c可以看成是以点A出发的三条面对角线构成的一组向量，显然不共面，故选：ABD.

10.【答案】BD

【详解】选项A:在△ABC中，∵π>A>B>0,由余弦函数的单调性知：cosA<cosB,A错误；选项B:

利用正弦定理bsinA=asinB,代入,得,根据中线性质，当斜边上中线等于斜边

一半时，△ABC为直角三角形，B正确；选项C:由中线长公式推得b²+c²>a²,仅能说明角

A为锐角，无法保证其它角为锐角，举反例：若a=2,b=3,c=4,,但角C为钝角，C错误；选

项D:由推得b²+c²<a²,根据余弦定理，cosA<0,角A为钝角，△ABC为钝角三角形，D正

确.故选：BD.

11.【答案】ABC

【详解】设椭圆的长半轴长为a,短半轴长为b,焦半距为c,则,得a=4.又b=2,则c²=

a²—b²=12,得c=2√3.所以椭圆的长半轴长等于4,离心率为,当椭圆的焦点在x轴时，椭圆的标

准方程椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a—c=4-2√3,选ABC.

三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

12.【答案】16π

【详解】因为球的表面积为16π,所以球的半径为2,因为该球内切于圆柱，所以圆柱的底面半径为2,高

为4,所以圆柱的体积V=16π.

13.【答案】3

【详解】由椭圆的对称性可知|AB|=|CD|,|AF₁I=|DF₂I,|BF₁I=|CF₂|.设点A(x₁,y₁),

B(x₂,y2).所以|AF₁I+|CF₂|=|AB|,当直线AB的斜率不存在时，|AF₁l+|CF₂|取最小为3.

14.【答案】24

【详解】设Ax₁,y₁),B(x2,y2),所以A,B是圆O:x²+y²=16上两点，

∴,所以OALOB,记直线l:x+y-8=0,过A作l的

高二数学试卷参考答案与解析第3页(共7页)

垂线，垂足为D,过B作l的垂线，垂足为F,设AB的中点为M,过M

作l的垂线，垂足为E,如图所示，|x₁+y₁-8|+|x₂+y₂-8|=√2×

,所以|x₁+y₁-8|+|x₂+y₂-8|

表示的是A,B两点到直线x+y-8=0的距离之和的√2倍，又|AD|

+|BF|=2|ME|,所以|x₁+y₁-8|+|x₂+y₂-8|=√2×

,表示的是M到直线x+y—8=0的

距离的2√2倍，由于△ABO是直角三角形，所以所以M在圆x²

+y²=8上运动，圆心为(0,0),半径为2√2,所以M到直线x+y-8=0的距离最大值

√2=6√2,又6√2×2√2=24,所以|x₁+y₁-8|+|x₂+y₂-8|的最大值是24.故答案为：24.(也可以

选择三角代换)

四、解答题(本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(本小题13分)

【详解】

(1)根据题意可知，(0.005+0.010+0.020+a+0.030+0.010)×10=1,

解得a=0.025………………………(3分)

(2)因为(0.005+0.010+0.020)×10=0.35,

(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65,

所以样本数据的第59百分位数在(70,80)内，

所以样本数据的第59百分位数为78分；…………(7分)

(3)样本数据落在(50,60)的个数为0.1×100=10,

落在(60,70)的个数为0.2×100=20,

总方差…………(13分)

16.(本小题15分)

【详解】

(1)当直线l的斜率存在时，设直线的方程为y+5=k。(x+5),又圆的半径为r=4,则圆心C(-1,3)

高二数学试卷参考答案与解析第4页(共7页)

到直线l的距离为,解得.故直线l的方程为即

3x-4y-5=0.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-5也成立；故所求直线的方程为

3x-4y—5=0或x=-5.…………(7分)

(2)由题意可知直线l的斜率k存在，故可设直线的方程为y+5=k(x+5),则圆心C(-1,3)到直线

l的距离为,则r²=d²+(2√2)²,即,解得k₁=1或k₂=7.故所求直线

的方程为x-y=0或7x-y+30=0(15分)

17.(本小题15分)

【详解】

(1)因AD//BC,BC⊥CD,故ADLCD,

,且PA=AD,故AC=4√2,AB=4√2,

在直角梯形ABCD中，BC=√(4√2)²—4²+4=8,

由AB²+AC²=BC²可得ABLAC;

因平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥AD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PAC平面PAD,

则PA⊥平面ABCD,又ABC平面ABCD,

则PA⊥AB,又PA∩AC=A,因PA,ACC平面PAC,

故AB⊥平面PAC(6分)

(2)如图，连接BD交AC于G,因为

故AB=4√2,AC=√AD²+CD²=4√2,

则△ABC为等腰直角三角形，故BC=8,

又AD//BC,,则G为BD靠近D的三等分点，

又因为平面PBD∩平面ACM=GM,PB//平面MAC,PBC平面PBD,

故PB//GM,则M为PD靠近D的三等分点，…………………(8分)

以点A为坐标原点，分别以AB,AC,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0),

B(4√2,0,0),C(0,4√2,0),P(0,0,4),D(-2√2,2√2,0),

所以，BC=(-4√2,4√2,0),PC=(0,4√2,—4),

设平面PBC的一个法向量为m=(x₁,y₁,z1),

高二数学试卷参考答案与解析第5页(共7页)

可取m=(1,1,√2),(10分)

由PB//平面MAC知：

……………………(11分)

,AB=(4√2,0,0),

设平面ABM的一个法向量为n=(x2,y2,≈2),则由

可取n=(0,1,—√2),(13分)

…………………(14分)

故平面PBC与平面ABM夹角的余弦值………………(15分)

18.(本小题17分)

【详解】

(1)由题意,可得,又b²=a²—c²=4-1=3,

所以椭圆C的方程…………………(4分)

(2)法1:设Q(xo,yo)是椭圆上任意一点，则满,T(0,1),

2√3+4(y₀∈[-√3,√3]),故|TQ|的最大值是√3+1.……(10分)

法2:设Q(