1.1.2+空间向量的数量积运算（培优教学课件）数学人教A版2019选择性必修第一册

第一章

空间向量与立体几何

人教A版2019选择性必修第一册·高二1.1空间向量及其运算

1.1.2空间向量的数量积运算

章节导读空间向量的概念及其运算空间向量基本定理与空间向量的坐标表示用空间向量解决立体几何问题空间向量的定义及其表示空间向量的线性运算和数量积运算空间向量运算的定义及其几何意义空间向量运算的运算律空间向量基本定理空间直角坐标系空间向量运算的坐标表示用空间向量表示点、直线、平面等元素用空间向量研究立体几何中的直线、平面的位置关系、距离和夹角问题把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论学

习

目

标123掌握空间向量的夹角、数量积及其运算律,培养逻辑推理的核心素养了解投影向量的概念,培养直观想象和逻辑推理的核心素养能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题,提升逻辑推理、数学运算的核心素养新知导入平面向量及其线性运算空间向量及线性运算推广类比与转化平面向量数量积运算空间向量数量积运算推广你能类比平面向量，给出空间向量的数量积运算的定义吗？回忆平面向量的知识，我们当时是如何研究它的数量积运算？夹角数量积的定义运算律应用新知探究问题1什么是平面向量的夹角？你能类比平面向量的夹角得出空间向量的夹角定义？

由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义.

.OBαA空间向量的夹角新知探究问题2平面向量的数量积是什么？类比平面向量数量积

你能给出空间向量的数量积运算的定义吗？空间向量的数量积已知两个非零向量

，把数量

叫做向量

的数量积(或内积)，记作

，即特别地，零向量与任何向量的数量积等于0.①“·”不能省略不写，也不能写成“×”.注意:

新知探究问题3

如果空间向量

是两个非零向量,它们的数量积有哪些性质呢？设是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则求向量的长度(模)的依据.证明两向量垂直的依据；求两向量夹角的依据.新知探究问题4

在平面向量的学习中,我们学习了向量的投影.类似地,向量

在向量

上的投影有什么意义？向量

向直线l的投影呢？向量

向平面β的投影呢？(1)(2)如图(1)所示,在空间,向量向向量投影,由于它们是自由向量,因此可以先将它们平移到同一个平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量共线的向量.且新知探究AB(3)问题5

空间向量数量积的运算律有哪些？新知探究平面向量数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律交换律分配律空间向量新知探究问题6.1不能问题6.2不

能向量没有除法运算，向量的除法没有意义新知探究问题6.3不

能证明:结论:数量积①不可约分、②不可作商、③不满足结合律。典例分析方法技巧空间向量数量积的应用①求数量积；②求线段长度：即求向量的模.例1

如图所示,在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,AB=5,AD=3,AA′=7,∠BAD=60°,∠BAA′=∠DAA′=45°.求:

(1)(2)AC'的长(精确到0.1).ABCD解:课后练习课本练习方法技巧空间向量数量积的应用:③证线线垂直：证明两向量的数量积为01.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若

，则AB1与BC1所成角的大小为().(A)60°(B)90°(C)105°(D)75°ACBA1C1B1∴AB1与BC1所成角为90°.B课后练习方法技巧空间向量数量积的应用:④求异面直线所成角：即求两向量的夹角或其补角(先求数量积,再除以模之积)变式典例分析例2

如图所示,已知直线m,n是平面α内的两条相交直线,如果直线l⊥m,l⊥n，求证：l⊥α.分析：

要证明l⟂α，就是要证明l垂直于α内的任意一条直线g(直线与平面垂直的定义)．如果我们能在g和m，n之间建立某种联系，并由l⟂m，l⟂n，得到l⟂g，那么就能解决此问题．lmng典例分析方法技巧空间向量数量积的应用⑤证线面垂直：证两次线线垂直例2

如图所示,已知直线m,n是平面α内的两条相交直线,如果直线l⊥m,l⊥n，求证：l⊥α.证明：在α内作任意一条直线g，分别在直线l,m,n,g上取非零向量mn因为直线m与n相交，所以向量不平行，由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对(x,y)，使将上式两边分别与向量作数量积运算，得g应用归纳空间向量数量积的应用①求两向量的数量积②求线段长度(即求向量的模)③证线线垂直(即证两向量数量积为0)④求异面直线所成角(即求向量的夹角或其补角)⑤证线面垂直(即证两次线线垂直，同③)【方法】目标向量用已知模和夹角的(同起点)向量表示课后练习课本练习BDAC课后练习课本练习3.如图,在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,AB=4,AD=3,AA′=5,∠BAD=90°,∠BAA′=∠DAA′=60°.求:

(1)

(2)AB′的长；(3)AC′的长.ACDBC′D′B′A′课后练习课本练习4.如图，线段AB，BD在平面α内，BD⊥AB，AC⊥α，且AB=a，BD=b，AC=c，求C，D两点间的距离.空间向量数量积的运算题型一题型探究

空间向量数量积的运算题型一题型探究提分笔记

利用数量积证明空间中的垂直关系题型二题型探究

题型二题型探究解题感悟利用数量积证明空间中的垂直关系用向量法证明垂直关系的步骤（1）把几何问题转化为向量问题；（2）用已知向量表示直线的方向向量；（3）结合数量积公式和运算律证明数量积为0；（4）将向量问题回归到几何问题.利用数量积解决空间中的夹角问题题型三题型探究

题型探究解题感悟利用数量积解决空间中的夹角问题题型三求两条异面直线所成角的步骤（1）根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量（即直线的方向向量）；（2）将异面直线所成角的问题转化为向量的夹角问题；（3）利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；（4）异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量的数量积求向量夹角的余弦值时应将余弦值加上绝对值