广东高考试卷真题数学及答案

广东高考试卷真题数学及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，则\(A\capB=(\)\)A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,4\}\)D.\(\varnothing\)2.复数\(z=1+2i\)（\(i\)为虚数单位），则\(\vertz\vert=(\)\)A.\(\sqrt{5}\)B.\(5\)C.\(\sqrt{3}\)D.\(3\)3.已知向量\(\vec{a}=(1,-2)\)，\(\vec{b}=(2,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，则\(m=(\)\)A.\(-4\)B.\(4\)C.\(-1\)D.\(1\)4.函数\(y=\log_2(x+1)\)的定义域为（）A.\((-1,+\infty)\)B.\((-\infty,-1)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((-\infty,0)\)5.等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，则\(a_5=(\)\)A.\(9\)B.\(10\)C.\(11\)D.\(12\)6.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，则\(\cos\alpha=(\)\)A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)7.抛物线\(y^2=4x\)的焦点坐标是（）A.\((0,1)\)B.\((0,-1)\)C.\((1,0)\)D.\((-1,0)\)8.若\(x\)，\(y\)满足约束条件\(\begin{cases}x+y\geq1\\x-y\leq1\\y\leq1\end{cases}\)，则\(z=3x-y\)的最大值为（）A.\(-1\)B.\(1\)C.\(2\)D.\(3\)9.已知函数\(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)，则\(f(x)\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(4\pi\)10.一个圆柱的底面半径为\(1\)，高为\(2\)，则该圆柱的侧面积为（）A.\(2\pi\)B.\(4\pi\)C.\(6\pi\)D.\(8\pi\)二、多项选择题（每题2分，共10题）1.以下哪些函数是奇函数（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=2^x\)D.\(y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})\)2.已知直线\(l_1\)：\(ax+2y+6=0\)，\(l_2\)：\(x+(a-1)y+a^2-1=0\)，若\(l_1\parallell_2\)，则\(a\)的值可能为（）A.\(-1\)B.\(2\)C.\(1\)D.\(0\)3.下列说法正确的是（）A.若\(a\gtb\)，则\(ac^2\gtbc^2\)B.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，则\(a-c\gtb-d\)C.若\(a\gtb\gt0\)，则\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}{b}\)D.若\(a\ltb\lt0\)，则\(a^2\gtb^2\)4.关于函数\(y=\cosx\)，以下说法正确的是（）A.函数\(y=\cosx\)的图象关于\(y\)轴对称B.函数\(y=\cosx\)的最小正周期是\(2\pi\)C.函数\(y=\cosx\)在\([0,\pi]\)上单调递减D.函数\(y=\cosx\)的值域是\([-1,1]\)5.已知\(\triangleABC\)中，角\(A\)，\(B\)，\(C\)所对的边分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)，则以下哪些条件能确定\(\triangleABC\)（）A.\(a=1\)，\(b=2\)，\(A=30^{\circ}\)B.\(a=1\)，\(b=\sqrt{3}\)，\(A=30^{\circ}\)C.\(a=\sqrt{3}\)，\(b=\sqrt{3}\)，\(A=60^{\circ}\)D.\(a=1\)，\(b=2\)，\(c=\sqrt{5}\)6.以下哪些是基本不等式的变形（）A.\(a^2+b^2\geq2ab\)B.\(ab\leq(\frac{a+b}{2})^2\)C.\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)）D.\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)）7.已知函数\(f(x)=x^2-2x+3\)，则以下说法正确的是（）A.函数\(f(x)\)的对称轴为\(x=1\)B.函数\(f(x)\)在\((-\infty,1)\)上单调递减C.函数\(f(x)\)的最小值为\(2\)D.函数\(f(x)\)的图象与\(y\)轴交点为\((0,3)\)8.已知向量\(\vec{a}=(1,1)\)，\(\vec{b}=(-1,2)\)，则（）A.\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\)B.\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{2}\)C.\(\vert\vec{b}\vert=\sqrt{5}\)D.向量\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的夹角余弦值为\(\frac{\sqrt{10}}{10}\)9.对于双曲线\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)），以下说法正确的是（）A.双曲线的渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)B.双曲线的离心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(c^2=a^2+b^2\)）C.双曲线的实轴长为\(2a\)D.双曲线的虚轴长为\(2b\)10.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)为实数，且\(a+b+c=0\)，\(abc\gt0\)，则\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)的值（）A.小于\(0\)B.大于\(0\)C.可能为\(0\)D.不确定三、判断题（每题2分，共10题）1.空集是任何集合的真子集。（）2.若\(a\gtb\)，则\(a^2\gtb^2\)。（）3.函数\(y=x^0\)的定义域是\(x\neq0\)。（）4.若\(\sin\alpha=\sin\beta\)，则\(\alpha=\beta\)。（）5.直线\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)）的斜率为\(k\)。（）6.圆\(x^2+y^2=r^2\)的圆心为\((0,0)\)，半径为\(r\)。（）7.若数列\(\{a_n\}\)满足\(a_{n+1}-a_n=d\)（\(d\)为常数），则\(\{a_n\}\)是等差数列。（）8.函数\(y=\log_ax\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）在\((0,+\infty)\)上单调递增。（）9.两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。（）10.若\(z=a+bi\)（\(a\)，\(b\inR\)），则\(\overline{z}=a-bi\)。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.求函数\(y=2\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)，\(x\in[0,\frac{\pi}{2}]\)的值域。答案：当\(x\in[0,\frac{\pi}{2}]\)时，\(2x+\frac{\pi}{6}\in[\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{6}]\)。\(\sin(2x+\frac{\pi}{6})\in[-\frac{1}{2},1]\)，所以\(y=2\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)的值域是\([-1,2]\)。2.已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，\(a_1=1\)，\(S_3=9\)，求\(a_n\)。答案：\(S_3=3a_1+\frac{3\times2}{2}d=3+3d=9\)，解得\(d=2\)。则\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。3.已知\(\triangleABC\)中，\(a=\sqrt{3}\)，\(b=1\)，\(A=60^{\circ}\)，求\(B\)。答案：由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}\)，得\(\sinB=\frac{b\sinA}{a}=\frac{1\times\sin60^{\circ}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{2}\)。因为\(a\gtb\)，\(A=60^{\circ}\)，所以\(B=30^{\circ}\)。4.求过点\((1,2)\)且与直线\(2x-y+1=0\)平行的直线方程。答案：已知直线斜率\(k=2\)，所求直线与之平行斜率也为\(2\)。由点斜式\(y-y_0=k(x-x_0)\)，得\(y-2=2(x-1)\)，即\(2x-y=0\)。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论函数\(y=x^3-3x\)的单调性与极值。答案：求导得\(y^\prime=3x^2-3=3(x+1)(x-1)\)。令\(y^\prime\gt0\)，得\(x\lt-1\)或\(x\gt1\)，函数递增；令\(y^\prime\lt0\)，得\(-1\ltx\lt1\)，函数递减。极大值为\(y(-1)=2\)，极小值为\(y(1)=-2\)。2.讨论直线与圆的位置关系有哪些判断方法。答案：一是几何法，通过比较圆心到直线的距离\(d\)与圆半径\(r\)的大小，\(d\gtr\)相离，\(d=r\)相切，\(d\ltr\)相交；二是代数法，联立直线与圆的方程，根据判别式\(\Delta\)判断，\(\Delta\lt0\)相离，\(\Delta=0\)相切，\(\Delta\gt0\)相交。3.讨论在数列求和中，常用的方法有哪些。答案：常用方法有公式法，如等差数列、等比数列求和公式；分组求和法，将数列拆分成可求和的组；错位相减法，用于等差乘等比型数列；裂项相消法，把通项拆成两项差再求和等。4.讨论如何根据已知条件求椭圆的标准方程。答案：首先确定椭圆焦点位置，若已知焦点坐标则可确定焦点在\(x\)轴还是\(y\)轴。再根据椭圆定义及已知条件，如\(a\)，\(b\)，\(