2024-2025学年江西省抚州市九年级（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年江西省抚州市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）1．（3分）下列各式是一元二次方程的是（）A．x2﹣3＝（x+3）2 B． C．ax2+bx+c＝0 D．x2+3x＝102．（3分）下列命题：①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②一组邻边相等的四边形是菱形；③对角线互相平分且相等的四边形是矩形：④一组邻边相等的矩形是正方形（）A．4 B．3 C．2 D．13．（3分）如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（）A． B． C． D．4．（3分）不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后，放回并摇匀，则两次都摸到相同颜色的小球的概率是（）A． B． C． D．5．（3分）如图，△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tanB的值为（）A．1 B． C． D．6．（3分）如图，直线y＝2x+3与函数的图象交于A点，过点B作BC∥x轴，交反比例函数图象于点C，且∠BCD＝∠BCA，则点D的坐标为（）A． B． C． D．（1，0）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）已知，那么＝．8．（3分）设α，β是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则α2+αβ﹣α的值为．9．（3分）如图，在△ABC中，点D，AC上．添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是．（写出一种情况即可）10．（3分）如图，若点A在反比例函数的一支图象上，则△AMO的面积为．11．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，点P，Q，K分别为线段BC，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为．12．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4cm，且AP＝3cm，点E是正方形边上一动点，速度为每秒2cm，运动时间为t，则t的值为．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）（1）解方程：x2﹣6x+5＝0（2）计算：（﹣1）2024+2sin30°﹣8tan45°14．（6分）某品牌儿童玩具是由一个长方体和两个四分之一圆柱体构成的几何体，该玩具的两个视图如图所示，（本题所有小题结果均保留π）．（1）求该几何体体积；（2）求该几何体前后两个面的面积之和．15．（6分）如图，是一个17×6的网格图，图中已画出了线段AB和线段EG，B，E，G均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形．（1）画出以AB为边的正方形ABCD；（2）画一个以EG为一条对角线的菱形EFGH（点F在EG的左侧），且面积与（1）中正方形的面积相等．16．（6分）已知y＝m+n，m与x+1成正比例，n与x成反比例，y＝0；x＝2时17．（6分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好．小明从中随机抽取一张邮票，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票．（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）．（1）小明抽取第一张邮票，抽到“雨水”的概率为；（2）请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）容睿使用桌上书架如图1所示．睿睿发现，当书架与桌面的夹角∠AOB＝150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为15cm，最后发现当张角∠A′OB＝120°时（点A′是A的对应点），舒适度较为理想．（1）书架在旋转过程中，求顶部边缘A点到A′走过的路径长．（2）如图2这个平面图形，如果睿睿的眼睛在E处，书上有一点F，睿睿看点F的俯角为18°，眼睛到桌面高度为EB，求此时眼睛到F点的距离，即EF的长度．（结果精确到1cm；参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）19．（8分）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的奇异线．（1）如图，在△ABC中，AD为角平分线，∠C＝33°，求证：AD为△ABC的奇异线；（2）在△ABC中，∠B＝48°，AD为△ABC的奇异线，求∠BAC的度数．20．（8分）今年抚州市广昌县白莲喜获丰收，该县某村委会在网上直播销售A，B两种优质白莲礼包．（1）已知今年7月份销售A种白莲礼包2560包，8、9月该礼包十分畅销，销售量持续走高，9月份的销售量达到4000包．若设8、9两个月销售量的月平均增长率为x，求x的值．（2）若B种白莲礼包每包成本价为30元，当售价为每包50元时，每月销量为2000包．为了尽快减少库存，经调查发现，若B种白莲礼包每包每降价1元，当B种白莲礼包每包降价多少元时，该村销售B种白莲礼包在10月份可获利44800元．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）（1）如图①，在正方形ABCD中，点E，F，AB，CD上，请直接判断AE与GF的数量关系．（2）如图②，在矩形ABCD中，将矩形ABCD沿GF折叠，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，求GF与AE之间的数量关系．（3）在（2）的条件下，若，，求CE的长．22．（9分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于A，与y轴交于点D，已知点A坐标为（3，1）（﹣2，m）．（1）求反比例函数的表达式和一次函数的表达式；（2）观察图象直接写出时x的取值范围是．（3）若P为y轴上一动点，请直接写出当△OBP是以OB为腰的等腰三角形时，点P的坐标．六、解答题（本大题共1小题，共12分）23．（12分）问题情境：“综合与实践”课上，老师让每个组准备了一张矩形纸片ABCD．如图1，把矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形纸片AB′C′D′，C，D的对应点为B′，C′，设旋转角为α（0°＜α＜360°）操作中，请你解答：操作探究：（1）“奋进小组”提出问题：如图2，当旋转后的矩形纸片AB′C′D′中的点B′落在AD上时，延长C′B′（2）“团结小组”提出问题：如图3，连接CC′，取CC′的中点M，若CD＝3，AD＝5数学思考：（3）“善思小组”提出问题：如图4，连接AC，当旋转后的矩形纸片AB′C′D′中的点C′在AD的延长线上时，交BC于点F，交AC于点P

2024-2025学年江西省抚州市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）题号123456答案DBDADA一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）1．（3分）下列各式是一元二次方程的是（）A．x2﹣3＝（x+3）2 B． C．ax2+bx+c＝0 D．x2+3x＝10【解答】解：A、x2﹣3＝（x+8）2整理得，6x+12＝6，故此选项不符合题意；B、中含有分式，故此选项不符合题意；C、当a＝0时2+bx+c＝8不是一元二次方程，故此选项不符合题意；D、x2+3x＝10是一元二次方程，故此选项符合题意；故选：D．2．（3分）下列命题：①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②一组邻边相等的四边形是菱形；③对角线互相平分且相等的四边形是矩形：④一组邻边相等的矩形是正方形（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是真命题；②一组邻边相等的平行四边形是菱形，故②不是真命题；③对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是真命题：④一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题，故选：B．3．（3分）如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（）A． B． C． D．【解答】解：这个“堑堵”的左视图如下：故选：D．4．（3分）不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别．随机摸出一个小球后，放回并摇匀，则两次都摸到相同颜色的小球的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：画树状图如下：共有4种等可能的结果，其中两次都摸到相同颜色的小球的结果有2种，∴两次都摸到相同颜色的小球的概率为＝．故选：A．5．（3分）如图，△ABC的三个顶点均在正方形网格的格点上，则tanB的值为（）A．1 B． C． D．【解答】解：如图：过A点作AD⊥BC与点D，，tanB＝＝，故选：D．6．（3分）如图，直线y＝2x+3与函数的图象交于A点，过点B作BC∥x轴，交反比例函数图象于点C，且∠BCD＝∠BCA，则点D的坐标为（）A． B． C． D．（1，0）【解答】解：由条件可知，解得，∴A（8，5），∵直线y＝2x+4与y轴交于点B，令x＝0，得y＝3，∴B（8，3），过点B作BC∥x轴，交反比例函数图象于点C，过点D作DF⊥BC于点F，∴AE＝5﹣2＝2，∴点C的坐标为，∴，∴，∵∠BCA＝∠BCD，∴，∴CF＝4，∴，∴，故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）已知，那么＝．【解答】解：∵，∴令m＝2k，n＝4k，∴＝＝，故答案为：．8．（3分）设α，β是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，则α2+αβ﹣α的值为0．【解答】解：∵α，β是方程x2﹣x﹣2024＝0的两个实数根，∴α3﹣α＝2024，αβ＝﹣2024，∴α2+αβ﹣α＝α2﹣α+αβ＝2024﹣2024＝6，故答案为：0．9．（3分）如图，在△ABC中，点D，AC上．添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是∠ADE＝∠C（答案不唯一）．（写出一种情况即可）【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC，∴添加条件：∠ADE＝∠C（答案不唯一），判定△ADE∽△ACB，故答案为：∠ADE＝∠C（答案不唯一）．10．（3分）如图，若点A在反比例函数的一支图象上，则△AMO的面积为3．【解答】解：，故答案为：3．11．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，点P，Q，K分别为线段BC，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为3．【解答】解：作点P关于BD的对称点P′，连接P′K，过点A作AH⊥CD于H，则PK+QK＝P′K+QK≥P′Q，∴当P′，K，Q共线，PK+QK的最小值，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB＝AD＝6，∴∠ADH＝180°﹣∠A＝180°﹣120°＝60°，∴∠DAH＝30°，∴DH＝AD＝3，∴AH＝＝3，∴PK+QK的最小值为，故答案为：．12．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4cm，且AP＝3cm，点E是正方形边上一动点，速度为每秒2cm，运动时间为t，则t的值为或或．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD＝BC＝4cm，∵AP＝3cm，∴BP＝3cm，①当DP＝DE时，如图，∵AD＝CD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴△ADP≌△CDE（HL），∴AP＝CE＝3cm，∴BE＝PB＝1cm，此时，②当DE＝PE时，如图，设DE＝PE＝xcm，则AE＝（5﹣x）cm，则AE2+AP2＝PE7，即（4﹣x）2+72＝x2，解得，∴，③当DE＝PE时，如图，设CE＝xcm，则BE＝（5﹣x）cm，则CE2+DC2＝DE5，PB2+BE2＝PE7，∴CE2+DC2＝PB8+BE2，即x2+82＝14+（4﹣x）2，解得，∴，∴，综上可知，t的值为或或．故答案为：或或．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）（1）解方程：x2﹣6x+5＝0（2）计算：（﹣1）2024+2sin30°﹣8tan45°【解答】解：（1）x2﹣6x+6＝0，∴（x﹣1）（x﹣8）＝0，∴x﹣5＝7或x﹣1＝0，解得x2＝5，x2＝7；（2）原式＝＝1+1﹣4＝﹣6．14．（6分）某品牌儿童玩具是由一个长方体和两个四分之一圆柱体构成的几何体，该玩具的两个视图如图所示，（本题所有小题结果均保留π）．（1）求该几何体体积；（2）求该几何体前后两个面的面积之和．【解答】解：（1）长方体的体积V1＝2×5×1＝2，圆柱的底面半径为2，高为1，则该几何体的体积．（2）＝＝8+π．15．（6分）如图，是一个17×6的网格图，图中已画出了线段AB和线段EG，B，E，G均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形．（1）画出以AB为边的正方形ABCD；（2）画一个以EG为一条对角线的菱形EFGH（点F在EG的左侧），且面积与（1）中正方形的面积相等．【解答】解：（1）如图，正方形ABCD即为所求．（2）如图，菱形EFGH即为所求．16．（6分）已知y＝m+n，m与x+1成正比例，n与x成反比例，y＝0；x＝2时【解答】解：已知y＝m+n，m与x+1成正比例，设m＝a（x+1）（a≠3），n与x成反比例，设，∴（a≠3），把x＝1，y＝0和x＝5，得，解得，∴，∴y与x之间的函数关系式是．17．（6分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好．小明从中随机抽取一张邮票，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票．（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）．（1）小明抽取第一张邮票，抽到“雨水”的概率为；（2）请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率．【解答】（1）解：“立春”“清明”“雨水”共有三种情况，则小明抽取第一张邮票．故答案为：（2）解：根据题意可画树状图如下：由图知一共9种结果，其中两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的情况有2种，∴小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率为．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）容睿使用桌上书架如图1所示．睿睿发现，当书架与桌面的夹角∠AOB＝150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为15cm，最后发现当张角∠A′OB＝120°时（点A′是A的对应点），舒适度较为理想．（1）书架在旋转过程中，求顶部边缘A点到A′走过的路径长．（2）如图2这个平面图形，如果睿睿的眼睛在E处，书上有一点F，睿睿看点F的俯角为18°，眼睛到桌面高度为EB，求此时眼睛到F点的距离，即EF的长度．（结果精确到1cm；参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）【解答】解：（1）∵∠AOB＝150°，∴∠AOC＝180°﹣150°＝30°，在Rt△AOC中，AC＝15cm，则OA＝2AC＝30cm，∵∠A′OB＝120°，∠AOB＝150°，∴∠AOA′＝∠AOB﹣∠A′OB＝150°﹣120°＝30°，∴顶部边缘A点到A′走过的路径长为：；（2）如图7，过点F作FM⊥BC于M，则四边形FMBN为矩形，∴FN＝BM，在Rt△OFM中，OF＝20cm，则OM＝OFcos∠FOM＝10（cm），∴BM＝OM+OB＝40（cm），∴FN＝40cm，在Rt△EFN中，FN＝40cm，则，答：眼睛到F点的距离约为42cm．19．（8分）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的奇异线．（1）如图，在△ABC中，AD为角平分线，∠C＝33°，求证：AD为△ABC的奇异线；（2）在△ABC中，∠B＝48°，AD为△ABC的奇异线，求∠BAC的度数．【解答】（1）证明：∵∠B＝49°，∠C＝33°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝98°．∵AD是角平分线，∴，∴∠B＝∠BAD，∠B＝∠DAC，∴AD＝BD，则△ABD是等腰三角形．∵∠C＝∠C，∴△ACD∽△BCA，∴AD是△ABC的奇异线；（2）解：∵∠B＝48°，△ABD是以AD为腰的等腰三角形，当AD＝AB，∴∠ADB＝∠B＝48°，∴∠BAD＝84°，∠ADC＝132°．∵AD是△ABC的奇异线，△ABD是以AD为腰的等腰三角形，∴△ACD∽△BCA，∴∠BAC＝∠ADC＝132°；∵∠B＝48°，△ABC不是三角形；当AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝48°，∴∠ADB＝84°，∴∠ADC＝96°．∵AD是△ABC的奇异线，△ABD是以AD为腰的等腰三角形，∴△ACD∽△BCA，∴∠BAC＝∠ADC＝96°．综上所述，∠BAC＝96°．20．（8分）今年抚州市广昌县白莲喜获丰收，该县某村委会在网上直播销售A，B两种优质白莲礼包．（1）已知今年7月份销售A种白莲礼包2560包，8、9月该礼包十分畅销，销售量持续走高，9月份的销售量达到4000包．若设8、9两个月销售量的月平均增长率为x，求x的值．（2）若B种白莲礼包每包成本价为30元，当售价为每包50元时，每月销量为2000包．为了尽快减少库存，经调查发现，若B种白莲礼包每包每降价1元，当B种白莲礼包每包降价多少元时，该村销售B种白莲礼包在10月份可获利44800元．【解答】解：（1）设8、9两个月销售量的月平均增长率为x，依题意得：2560（6+x）2＝4000，解得：x1＝6.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）．答：x的值为25%．（2）设B种白莲礼包每包降价m元，则每包的销售利润为（50﹣m﹣30）元，依题意得：（50﹣m﹣30）（2000+200m）＝44800，整理得：m7﹣10m+24＝0，即（m﹣4）（m﹣5）＝0，解得：m1＝5，m2＝6．∵为了尽快减少库存，∴m＝6．答：当B种白莲礼包每包降价6元时，该村销售B种白莲礼包每包降价在10月份可获利44800元．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）（1）如图①，在正方形ABCD中，点E，F，AB，CD上，请直接判断AE与GF的数量关系AE＝GF．（2）如图②，在矩形ABCD中，将矩形ABCD沿GF折叠，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，求GF与AE之间的数量关系．（3）在（2）的条件下，若，，求CE的长．【解答】解：（1）AE与GF的数量关系为AE＝GF；理由如下：如图①，四边形ABCD为正方形，交CD于点H，∴∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC，∵GF⊥AE，∴∠FOE＝90°，∵BH∥FG，∴∠BQE＝∠FOE＝90°，∴∠EBQ+∠BEQ＝∠BEQ+∠EAB＝90°，∴∠EBQ＝∠EAB，在△ABE和△BCH中，，∴△ABE≌△BCH（ASA），∴AE＝BH，∵AB∥CD，BH∥FG，∴四边形FBHG为平行四边形，∴GF＝BH，∴AE＝GF，故答案为：AE＝GF；（2）如图2，四边形ABCD为矩形，  ∴∠ABC＝∠C＝90°，∠GMF＝90°，∴四边形BCGM为矩形，∴GM＝BC，∵将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，∴GF垂直平分AE，∴∠AFO+∠BAE＝90°，又∵∠FGM+∠AFO＝180°﹣∠GMF＝90°，∴∠BAE＝∠FGM，∵∠ABE＝∠GMF＝90°，∴△ABE∽△GMF，∴，∵，∴．即；（3）∵，，∴，在Rt△BEF中，，∴，设BE＝7x，则EF＝5x，在直角三角形BEF中，由勾股定理得：，由折叠性质得：AF＝EF＝5x，∴AB＝AF+BF＝7x，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+BE2＝AE4，∴，解得：，（不合题意，∴AB＝8x＝12，BE＝6x＝6，∵，∴，∴CE＝BC﹣BE＝2．22．（9分）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于A，与y轴交于点D，已知点A坐标为（3，1）（﹣2，m）．（1）求反比例函数的表达式和一次函数的表达式；（2）观察图象直接写出时x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜3．（3）若P为y轴上一动点，请直接写出当△OBP是以OB为腰的等腰三角形时，点P的坐标．【解答】解：（1）一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于A，点A坐标为（3，点B的坐标为（﹣2．将点A的坐标代入得：4＝，解得：k＝3，∴反比例函数的解析式是；将点B的坐标代入，得：﹣2m＝8，解得：，∴，将点A、点B的坐标分别代入y＝ax+b，解得：，∴一次函数的解析式为；（2）时x的取值范围是