2.4.2圆的一般方程课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.4.2圆的一般方程第二章直线和圆的方程学习目标核心素养1.理解圆的一般方程及其特点，掌握圆的一般方程和标准方程的互化(重点)数学抽象2.会用待定系数法求圆的方程以及与圆有关的轨迹问题.

(难点)逻辑推理我们知道，方程(x-1)²+(y+2)²=4表示以(1,-2)为圆心，2为半径的圆.可以将此方程变形为x²+y²-2x+4y+1=0.一般地，圆的标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²

可以变形为

x²+y²+Dx+Ey+F=0

(2)

的形式.反过来，形如(2)的方程一定能通过恒等变形变为圆的标准方程吗?新课引入例如，对于方程

x²+y²-2x-4y+6=0,

对其进行配方，得(x-1)²+(y-2)²=-1,

因为任意一个点的坐标(x,y)

都不满足这个方程，所以这个方程

不表示任何图形.所以，形如(2)的方程不一定能通过恒等变形变为圆的标准方程.这表明，形如(2)的方程不一定是圆的方程.新知学

习将方程(2)的左边配方，并把常数项移到右边，①方程

x²+y²+

Dx+Ey+F=0

中的D,E,F满足什么条件时，这个方程表示圆?新知学习②思考(1)当D²+E²-4F>0时，比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程(2)表示

为圆心，

为半径的圆(2)当D²+E²-4F=0时，方程(2)只有实数解

/它

表示一个(3)当D²+E²-4F<0时，方程(2)没有实数解，它不表示任何图形.

新知学习新知学习圆的一般方程：当D²+E²-4F>0时，方程(2)表示一个圆方程x²+y²+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程

.圆的一般方程的结构特征：(1)方程中二次项x²,y²

的系数相等且均为1;(2)方程中不含

x

与

y

的乘积项

.知识拓展圆的标准方程指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显；圆的一般方程表明圆的方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显.圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点?新知学习②思考分析：将点O,M₁,M₂的坐标分别代入圆的一般方程，可得一个三元一次方程组，解方程组即可求出圆的方程.例

4求过三点00

,0),M₁(1,1),M₂(4,2)

的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.解：设圆的方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0.①因为

0,M₁,M₂三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解.把它们的坐标依次代入方程①,得到关于D,E,F的一个三元一次方程组解这个方程组，得所以，所求圆的方程是x²+y²-8x+6y=0.由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是(4,-3),半径例题巩新知学习与例2的方法比较，你有什么体会?同圆的标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²一样，圆的一般方程x²+y²+Dx+Ey+F=0中也含有三个待定系数(D,E,F),因此必须具备三个独立条件，

才能确定一个圆.已知圆上点的坐标时，由圆的一般方程得到的表达式比由圆的标准方程得到的表达式在形式上更简单.

新知学习足求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a,b,r

或

D,E,F

的方程组；(

3

)

解

出a,b,r或

D,E,F,

得到标准方程或一般方程新知学习例

5已知线段AB的端点B

的坐标是(4,3),端点A

在圆(x+1)²+y²=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.分析：如图，点A运动引起点M

运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程(x+1)²+y²=4.建立点M

与点

A坐标之间的关系，就可以利用点A

的坐标所满足的关系式得

到点M

的坐标满足的关系式，求出点M

的轨迹方程.例题巩固Y个A0BxM例题巩解：设点M

的坐标是(x,y),点

A

的坐标是(x₀

,y%).由于点B

的坐标是(4

,3),且M

是线段AB

的中点，所以

.于是有x₀=2x-4,yo=2y-3.①因为点A

在圆(x+1²+y²=4上运动，所以点A

的坐标满足圆的方程，即(x₀+1)²+y2=4.②把①代入②,得(2x-4+1²+(2y-3)²=

4,

整理

，这就是点M的轨迹方程，它表示以为圆心，半径为1的圆.点

M的轨迹方程是指点M

的坐标(x,y)

满足的关系式.轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形.在解析几何中，我们常常把图形看作点的轨迹(集合)

.新知学习足解析：原方程可化为(x-1)²+(y+3)²=2,所以半径r=

√2,

所以圆的面积S=πr²=2π

.1.圆x²+y²-2x+6y+8=0

的面积为(A.8π

B.4πC.2π

D.π解析：将x²+y²-2x-2y-7=0化为(x-1)²+(y-1)²=9,

则圆心为(1,1),其到直线x+y=0

的距离

.故选A.2.圆x²+y²-2x-2y-7=0

的圆心到直线x+y=0

的距离为(A)A.√2

B.√3

C.2D.33.已知两定点A(-2,0),B(1,0),若动点P

满足|PA|=2|PB|,

则

P的轨迹为(A.

直线

B.线段

C.圆

D.半圆解析：设点P

的坐标为(x,y),因

为A(-2,0),B(1,0),动

点P

满足|PA|=2|PB|,所以√(x+2)²+y²=2

√

(x-1²+y²,两边平方得(x+2)²+y²=4[(x-1²+y²],即(x-2)²+y²=4.所以P的轨迹为圆.故选

C.4.

(多选)若点A(a,a)在圆x²+y²-2ax+a²+2a-3=0

外，则实数a

的值可以是(

ABA.-5B.-4C.4D.5解析：法一：由题意得(-2a²+0²-4(a²+2a-3)>0,解得

又点A(a,a)在圆x²+y²-2ax+a²+2a-3=0外，所以a²+a²-2a²+a²+2a-3>0,即a²+2a-3>0,解得a<-3或a>1综上所述，

a的取值范围为故选AB.法二：把圆的方程化为标准方程为(x-a)²+y²=3-2a,设圆心为P,则P(a,0),半径r=

√3-2a,易知3-2a>0,所以若点A(a,a)在圆x²+y²-2ax+a²+2a-3=0外，则IAPI=

√a-a²+(a-0)²>r=

√

3-2a,即有a²>3-2a,解得a<

-

3或a>1,又

所以实数a的取值范围是

.故选AB.随堂练习印解析：将圆C的方程化为标准方程得(x-2)²+(y+3)²=16,(2,-3),故所求圆的半径r=CMI=√(2+1)²+(-3-1)²=5,(x-2)²+(y+3)²=25,即

x²+y²-4x+6y-12=0.则圆心

C的坐标为所以所求圆的方程为5.过

点M(-1,1),且圆心与已知圆C:x²+y²-4x+6y-3=0相同的圆的一般方程为x²+y²-4x+6y-12=06.已知圆的方程是x²+y²-2ax+2(a-2y+2=0,

则圆心的轨迹方程为x+y-2=0(x≠1).解析：因为方程x²+y²-2ax+2(a-2)y+2=0表示圆，所以(-2a)²+[2(a-2)]²-4×2=8(a-1)²>0,即a≠1.易知圆心坐标为(a,2-a),且a≠1.设圆心坐标为(x,y),则有

消去a,得x+y-2=0(x≠1),即为所求圆心的轨迹方程.7.圆心在直线2x-y-7=0上的圆

C

与

y轴交于A(0,-4),B0,-2)

两点，则圆

C的一般方程为x²+y²-4x+6y

+8=0解析：设圆

C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0.因为圆心

在直线2x-y-7=0