2.5.2+圆与圆的位置关系+课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

选择性必修第一册

第二章《直线和圆的方程》2.5.2圆与圆的位置关系创设背景，引入新知我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的?日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日。日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生。日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食。问题1：在平面中，圆与圆的位置关系有几种？问题2：类比直线与圆位置关系的判定方法，如何判断圆与圆的位置关系？两圆的交点个数圆心距与两半径的关系两圆方程的公共解个数外离相交内含外切内切探究新知探究如何利用两圆的半径和圆心距的关系判定圆与圆的位置关系？O1O2O1O2O1O2O1O2O1O2rR一种特殊的内含几何法探究新知思考：类比直线与圆的位置关系，请同学们思考：圆与圆有哪几种位置关系？两个圆之间存在以下三种位置关系：(1)两圆相交，有两个公共点；(2)两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；(3)两圆相离，包括外离与内含，没有公共点．外切内切外离内含两圆相交两圆相切两圆相离新知1：圆与圆位置关系的判定圆与圆的位置关系外离外切相交内切内含图示两圆交点个数0个1个2个1个0个几何法：圆心距d与R±r的关系代数法：联立两圆方程，消元所得方程解的个数(△的正负)当Δ=0或Δ<0时，不能确定两圆的位置关系巩固：圆与圆位置关系的判定外切或内切典例详解：圆与圆位置关系的判定及公共弦问题典例详解：圆与圆位置关系的判定及公共弦问题相交1.公共弦的定义：两圆相交时两个交点的连线；2.公共弦的性质：相交两圆的连心线垂直平分其公共弦。新知2：两圆的公共弦3.求两圆公共弦所在直线方程：法2：两圆方程作差法1：联立两圆方程求交点，由两点求直线方程新知2：两圆的公共弦3.求两圆公共弦所在直线方程：法2：两圆方程作差[注]①当两圆方程中二次项系数相同时,才能作差求解,否则应先化同系数.②两圆相切时，(*)表示过切点且垂直于连心线的切线方程；③两圆外离或内含时，(*)表示垂直于连心线的直线方程；法1：联立两圆方程求交点，由两点求直线方程4.求两圆公共弦长：法1：联立两圆方程求交点，求两点距离法2：求公共弦所在直线方程+垂径定理综合巩固——公共弦问题【结论】若圆的一条直径的端点分别是A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，则此圆的方程是(x-x₁)(x-x₂)+(y-y1)(y-y₂)=0.解：（2）直线PA，PB是圆Q的切线.因为点A,B在圆上，且PQ是直径，所以PA⊥AQ，PB⊥BQ，所以直线PA，PB是圆Q的切线.（3）将两圆方程，相减，得6x+5y-25=0，即直线AB的方程是6x+5y-25=0.小结：两圆的公共弦问题1.公共弦的性质：相交两圆的连心线垂直平分其公共弦。2.求两圆公共弦所在直线方程：两圆方程作差①两圆相切时，(*)表示过切点且垂直于连心线的切线方程；②两圆外离或内含时，(*)表示垂直于连心线的直线方程；3.求两圆公共弦长：求公共弦所在直线方程+垂径定理

圆的相切问题和两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线。外公切线：两圆在公切线的同旁。内公切线：两圆在公切线的两侧。位置关系图形公切线条数外离4外切3相交2内切1内含0切线方程相关结论的运用小结：两圆的公共弦问题1.公共弦的性质：相交两圆的连心线垂直平分其公共弦。2.求两圆公共弦所在直线方程：两圆方程作差①两圆相切时，(*)表示过切点且垂直于连心线的切线方程；②两圆外离或内含时，(*)表示垂直于连心线的直线方程；3.求两圆公共弦长：求公共弦所在直线方程+垂径定理5.过圆外一点的切线长的最值[例8]若过直线l:x－y－3=0上一点P引圆C(x+1)2+y2=2的切线，相切于点A、B，(1)求切线长|PA|的最小值.(2)求四边形PAOB面积的最小值.(3)求两切线的夹角的最大值；

(4)求|PA|最短时，切点间的距离|AB|;5.过圆外一点的切线长的最值[例8]若过直线l:x－y－3=0上一点P引圆C(x+1)2+y2=2的切线，相切于点A、B，(1)求切线长|PA|的最小值.(2)求四边形PACB面积的最小值.(3)求两切线的夹角的最大值；(4)求|PA|最短时，切点间的距离|AB|;复习回顾习题2.5（第98页）BACOxy习题2.5（第98页）BACOxy习题2.5（第98页）习题2.5（第98页）回顾：直线系方程当λ(λ∈R)变化时，方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0表示过直线l1：A1x+B1y+C1=0和l2：A2x+B2y+C2=0交点的直线束方程，但不包括直线l2.(不包括直线2x-y+3=0)(不包括直线x+3y-1=0)问题：类比上述直线系方程的形式和推导过程，尝试写出过两圆交点的圆系方程.新知3：圆系方程当λ(λ∈R)变化时，方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0表示过直线l1：A1x+B1y+C1=0和l2：A2x+B2y+C2=0交点的直线束方程，但不包括直线l2.习题2.5（第98页）BMCC1习题2.5（第98页）习题2.5（第98页）圆上的点到到定直线的距离为定值的点的个数d=r+1：1个0≤d<r－1：4个r－1<d<r+1：2个d>r+1：0个d=r－1：3个圆上的点到直线距离为a(a<r)的点的个数：考虑圆心到直线距离d与r±a的关系新知1：圆与圆位置关系的判定圆与圆的位置关系外离外切相交内切内含图示两圆交点个数0个1个2个1个0个几何法：圆心距d与R±r的关系代数法：联立两圆方程，消元所得方程解的个数(△的正负)当Δ=0或Δ<0时，不能确定两圆的位置关系

圆的相切问题和两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线。外公切线：两圆在公切线的同旁。内公切线：两圆在公切线的两侧。位置关系图形公切线条数外离4外切3相交2内切1内含0

两圆的公共弦

求两圆公共弦所在直线方程：法2：两圆方程作差法1：联立两圆方程求交点，由两点求直线方程新知2：两圆的公共弦3.求两圆公共弦所在直线方程：法2：两圆方程作差[注]①当两圆方程中二次项系数相同时,才能作差求解,否则应先化同系数.②两圆相切时，(*)表示过切点且垂直于连心线的切线方程；③两圆外离或内含时，(*)表示垂直于连心线的直线方程；法1：联立两圆方程求交点，由两点求直线方程4.求两圆公共弦长：法1：联立两圆方程求交点，求两点距离法2：求公共弦所在直线方程+垂径定理综合巩固——公共弦问题【结论】若圆的一条直径的端点分别是A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，则此圆的方程是(x-x₁)(x-x₂)+(y-y1)(y-y₂)=0.解：（2）直线PA，PB是圆Q的切线.因为点A,B在圆上，且PQ是直径，所以PA⊥AQ，PB⊥BQ，所以直线PA，PB是圆Q的切线.（3）将两圆方程，相减，得6x+5y-25=0，即直线AB的方程是6x+5y-25=0.切线方程相关结论的运用5.过圆外一点的切线长的最值[例8]若过直线l:x－y－3=0上一点P引圆C(x+1)2+y2=2的切线，相切于点A、B，(1)求切线长|PA|的最小值.(2)求四边形PAOB面积的最小值.(3)求两切线的夹角的最大值；

(4)求|PA|最短时，切点间的距离|AB|;5.过圆外一点的切线长的最值[例8]若过直线l:x－y－3=0上一点P引圆C(x+1)2+y2=2的切线，相切于点A、B，(1)求切线长|PA|的最小值.(2)求四边形PACB面积的最小值.(3)求两切线的夹角的最大值；(4)求|PA|最短时，切点间的距离|AB|;习题2.5（第98页）BACOxy习题2.5（第98页）BACOxy习题2.5（第98页）习题2.5（第98页）回顾：直线系方程当λ(λ∈R)变化时，方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0表示过直线l1：A1x+B1y+C1=0和l2：A2x+B2y+C2=0交点的直线束方程，但不包括直线l2.(不包括直线2x-y+3=0)(不包括直线x+3y-1=0)问题：类比上述直线系方程的形式和推导过程，尝试写出过两圆交点的圆系方程.新知3：圆系方程当λ(λ∈R)变化时，方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0表示过直线l1：A1x+B1y+C1=0和l2：