1.2-1.3集合的基本关系与基本运算复习学案（原卷版及解析）

§1.2-1.3集合的基本关系与基本运算知识点1子集、真子集的概念1．子集的概念定义一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集记法与读法记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)图示或结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A．(2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C．2.真子集的概念定义如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且xA，就称集合A是集合B的真子集记法记作AB(或BA)图示结论(1)AB，BC，则AC．(2)A⊆B且A≠B，则AB．名师点拨☞(1)任意两个集合之间是否有包含关系？(2)符合“∈”与“⊆”有什么区别？提示：(1)不一定，如集合A＝{1,3}，B＝{2,3}，这两个集合就没有包含关系．(2)①“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1∉N.②“⊆”是表示集合与集合之间的关系，比如N⊆R，{1,2,3}⊆{3,2,1}．③“∈”的左边是元素，右边是集合，则“⊆”的两边均为集合．知识点2集合相等自然语言如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素，都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B．符号语言A⊆B且B⊆A⇔A＝B图形语言名师点拨☞：怎样证明或判断两个集合相等？提示：(1)若A⊆B且B⊆A，则A＝B，这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A＝B，只需证A⊆B与B⊆A均成立．(2)判断两个集合相等，可把握两个原则：①设两集合A，B均为有限集，若两集合的元素个数相同，对应元素分别相同，则两集合相等，即A＝B；②设两集合A，B均是无限集，只需看两集合的代表元素满足的条件是否一致，若一致，则两集合相等，即A＝B．知识点3空集定义不含任何元素的集合叫做空集记法∅规定空集是任何集合的子集，即∅⊆A特性(1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅(2)A≠∅，则∅A名师点拨☞：∅，0，{0}与{∅}之间有怎样的关系？∅与0∅与{0}∅与{∅}相同点都表示无的意思都是集合都是集合不同点∅是集合；0是实数∅不含任何元素；{0}含一个元素0∅不含任何元素；{∅}含一个元素，该元素是∅关系0∉∅∅{0}∅{∅}或∅∈{∅}知识点4Venn图在数学中，经常用平面上__封闭曲线__的内部代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法．注意：1.用Venn图可以直观、形象地表示出集合之间的关系．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(A⊆B,A≠B))⇒ABeq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(B⊆A,B≠A))⇒BA知识点5相关结论若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个奇数集：偶数集：x知识点6集合的基本运算表示运算文字语言集合语言图形语言记法说明交集属于A且属于B的所有元素组成的集合{x|x∈A，且x∈B}A∩B图中阴影部分表示交集并集属于A或属于B的元素组成的集合{x|x∈A，或x∈B}A∪B图中阴影部分表示并集补集全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集{x|x∈U，x∉A}∁UA全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异。图中阴影部分表示A的补集。名师点拨☞1、并集概念中的“或”与生活用语中的“或”的含义是不同的．生活用语中的“或”是“或此”“或彼”只取其一，并不兼存；而并集中的“或”则是“或此”“或彼”“或此彼”，可兼有．“x∈A或x∈B”包含三种情形：①x∈A，但x∉B；②x∈B，但x∉A；③x∈A且x∈B．2、集合运算中的“且”与生活用语中的“且”的含义相同，均表示“同时”的含义，即“x∈A，且x∈B”表示元素x属于集合A，同时属于集合B．3、①补集是相对于全集而言的，一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．②补集既是集合之间的一种关系，也是集合之间的一种运算．在给定全集U的情况下，求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的题型一、集合相等1．（多选题）下列与集合表示同一个集合的有（

）A． B． C． D．2．设，若，则_____________.3.下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4题型二、判断两个集合的包含关系1．已知集合，,则下列结论中正确的是A． B． C． D．2.集合,集合,若,则实数_________.题型三、根据集合的包含关系求参数1.若，，且，则实数的取值范围是______.2.已知集合，集合.若，则实数______.3．已知集合，且，则实数m的取值范围是___________.题型四、判断集合的子集（真子集）的个数1．，，则集合M的真子集个数A．32B．31C．16 D．152．设集合，，则集合的真子集个数为A．2 B．3 C．7 D．83．已知集合则的子集的个数为（

）A． B． C． D．题型五、空集1、（多选题）给出的下列选项，其中正确的是（

）A． B． C． D．2．已知集合，或，若，求实数a的取值范围.题型六、Venn图1．设全集，，，则如图阴影部分表示的集合为（

）A． B．C． D．2．已知全集U=R，集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2＜x＜4}．（1）求图中阴影部分表示的集合C；（2）若非空集合D={x|4-a＜x＜a}，且D⊆（A∪B），求实数a的取值范围．题型七、集合的基本运算1．已知集合，集合，则是（

）A．，B．C． D．2．设集合，，则（

）A． B． C． D．3．若集合，且，则集合可能是A． B． C． D．4．已知集合，，则（

）A． B． C． D．5．已知集合，，则（

）A． B． C． D．6．设集合，，则（

）A． B． C． D．.7．若全集，，，则集合等于（

）A． B． C． D．8．设集合，，则（

）A． B． C． D．9．已知全集，集合，则等于（

）A． B． C． D．10．已知集合，，若，则实数a的值为___________.11．设集合，．（1）若，求实数a的值；（2）若，求实数a的取值范围．题型八、集合的应用1．国庆期间，高一某班名学生去电影院观看了《长津湖》、《我和我的父辈》这两部电影中的一部或两部.其中有人观看了《长津湖》，有人观看了《我和我的父辈》则同时观看了这两部电影的人数为（

）A． B． C． D．2．已知集合，，则集合中元素个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．53．高一某班共有15人参加数学课外活动，其中7人参加了数学建模，9人参加了计算机编程，两种活动都参加了的有3人，问这两种活动都没参加的有______人.4．在①；②“”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．问题：已知集合，．(1)当时，求；(2)若______，求实数的取值范围．．题型九、集合的新定义1．若且，则称集合A为“和谐集”已知集合，则集合M的子集中“和谐集”的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（多选题）非空集合关于运算满足：对于任意的、，都有，则称集合关于运算为“回归集”．下列集合关于运算为“回归集”的是（

）A．为，为自然数的减法B．为，为有理数的乘法C．为，为实数的加法D．已知全集，集合，为，为实数的乘法3．（多选题）用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，若，则实数的取值可能为（

）A． B． C． D．2021题型十、综合类大题1．设集合A={x∣−3x+2=0}，B={x∣+2(a+1)x+−5=0}（1）若A∩B={2}，求实数a的值；（2）若U=R，A∩(B)=A.求实数a的取值范围.2．集合A＝{x|x2-ax+a2-13＝0}，B＝{x|x2-7x+12＝0}，C＝{x|x2-4x+3＝0}.（1）若A∩B＝B∩C，求a的值；（2）若A∩B＝∅，A∩C≠∅，求a的值.3．已知集合，全集为实数集R.（1）求，；（2）若，求a的取值范围.4．已知集合，集合.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.

§1.2-1.3集合的基本关系与基本运算知识点1子集、真子集的概念1．子集的概念定义一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集记法与读法记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)图示或结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A．(2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C．2.真子集的概念定义如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且xA，就称集合A是集合B的真子集记法记作AB(或BA)图示结论(1)AB，BC，则AC．(2)A⊆B且A≠B，则AB．名师点拨☞(1)任意两个集合之间是否有包含关系？(2)符合“∈”与“⊆”有什么区别？提示：(1)不一定，如集合A＝{1,3}，B＝{2,3}，这两个集合就没有包含关系．(2)①“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1∉N.②“⊆”是表示集合与集合之间的关系，比如N⊆R，{1,2,3}⊆{3,2,1}．③“∈”的左边是元素，右边是集合，则“⊆”的两边均为集合．知识点2集合相等自然语言如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素，都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B．符号语言A⊆B且B⊆A⇔A＝B图形语言名师点拨☞：怎样证明或判断两个集合相等？提示：(1)若A⊆B且B⊆A，则A＝B，这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A＝B，只需证A⊆B与B⊆A均成立．(2)判断两个集合相等，可把握两个原则：①设两集合A，B均为有限集，若两集合的元素个数相同，对应元素分别相同，则两集合相等，即A＝B；②设两集合A，B均是无限集，只需看两集合的代表元素满足的条件是否一致，若一致，则两集合相等，即A＝B．知识点3空集定义不含任何元素的集合叫做空集记法∅规定空集是任何集合的子集，即∅⊆A特性(1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅(2)A≠∅，则∅A名师点拨☞：∅，0，{0}与{∅}之间有怎样的关系？∅与0∅与{0}∅与{∅}相同点都表示无的意思都是集合都是集合不同点∅是集合；0是实数∅不含任何元素；{0}含一个元素0∅不含任何元素；{∅}含一个元素，该元素是∅关系0∉∅∅{0}∅{∅}或∅∈{∅}知识点4Venn图在数学中，经常用平面上__封闭曲线__的内部代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法．注意：1.用Venn图可以直观、形象地表示出集合之间的关系．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(A⊆B,A≠B))⇒ABeq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(B⊆A,B≠A))⇒BA知识点5相关结论若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个奇数集：偶数集：x知识点6集合的基本运算表示运算文字语言集合语言图形语言记法说明交集属于A且属于B的所有元素组成的集合{x|x∈A，且x∈B}A∩B图中阴影部分表示交集并集属于A或属于B的元素组成的集合{x|x∈A，或x∈B}A∪B图中阴影部分表示并集补集全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集{x|x∈U，x∉A}∁UA全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异。图中阴影部分表示A的补集。名师点拨☞1、并集概念中的“或”与生活用语中的“或”的含义是不同的．生活用语中的“或”是“或此”“或彼”只取其一，并不兼存；而并集中的“或”则是“或此”“或彼”“或此彼”，可兼有．“x∈A或x∈B”包含三种情形：①x∈A，但x∉B；②x∈B，但x∉A；③x∈A且x∈B．2、集合运算中的“且”与生活用语中的“且”的含义相同，均表示“同时”的含义，即“x∈A，且x∈B”表示元素x属于集合A，同时属于集合B．3、①补集是相对于全集而言的，一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．②补集既是集合之间的一种关系，也是集合之间的一种运算．在给定全集U的情况下，求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的题型一、集合相等1．（多选题）下列与集合表示同一个集合的有（

）A． B． C． D．【答案】AC【详解】由解得,所以，所以根据集合的表示方法知A，C与集合M表示的是同一个集合，集合的元素是和两个数，的元素是和这两个等式，与集合M的元素是有序数对(可以看做点的坐标或者对应坐标平面内的点)不同,故BD错误.故选：．2．设，若，则_____________.【答案】-2【详解】因为，所以.【点睛】本题考查了集合相等的概念，考查了数学运算能力.3.下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则，正确；③空集是任意集合的子集，故，正确；④空集没有任何元素，故，错误；⑤两个集合所研究的对象不同，故为不同集合，错误；⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；∴②③正确.故选：B.题型二、判断两个集合的包含关系1．已知集合，,则下列结论中正确的是A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以，故本题选B.【点睛】本题考查了集合表示方法中的列举法，考查了集合之间的子集关系.2.集合,集合,若,则实数_________.【答案】【详解】.因为,所以.当时,这时说明方程无实根,所以；当时,这时说明是方程的实根,故；当时,这时说明是方程的实根,故；因为方程最多有一个实数根,故不可能成立.故答案为题型三、根据集合的包含关系求参数1.若，，且，则实数的取值范围是______.【答案】【详解】因为，，且所以集合的范围要比集合的小或者与集合一样，故的取值范围是2.已知集合，集合.若，则实数______.【答案】2【详解】由知，，即，所以.【点睛】本题主要考查子集的定义应用．3．已知集合，且，则实数m的取值范围是___________.【答案】【详解】解：分两种情况考虑：①若B不为空集，可得：，解得：，，且，解得：，所以,②若B为空集，符合题意，可得：，解得：.综上，实数m的取值范围是.故答案为：.题型四、判断集合的子集（真子集）的个数1．，，则集合M的真子集个数A．32B．31C．16 D．15【答案】D【详解】因为，，所以，即集合中有4个元素，所以集合的真子集个数为.故选.【点睛】本题考查元素与集合的关系，根据集合元素个数求真子集的个数，属于简单题.2．设集合，，则集合的真子集个数为A．2 B．3 C．7 D．8【答案】C【详解】因为集合，∴集合＝{1，，}，∴真子集个数为23﹣1＝7个，故选C．【点睛】本题考查了真子集的概念及性质，考查集合的表示方法：列举法，是一道基础题．3．已知集合则的子集的个数为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为所以所以的子集共有（个）.故选：题型五、空集1、（多选题）给出的下列选项，其中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【详解】对于A，不是的元素，故不正确；对于B，是任何集合的子集，所以是的子集，故正确；对于C，是的元素，故正确；对于D，是的元素，故不正确；.故选：BC2．已知集合，或，若，求实数a的取值范围.【答案】【详解】当时，，解得：，当时，，解得：，综上：实数的取值范围为题型六、Venn图1．设全集，，，则如图阴影部分表示的集合为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】解出集合、，然后利用图中阴影部分所表示的集合的含义得出结果.【详解】，.图中阴影部分所表示的集合为且.故选：D.2．已知全集U=R，集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2＜x＜4}．（1）求图中阴影部分表示的集合C；（2）若非空集合D={x|4-a＜x＜a}，且D⊆（A∪B），求实数a的取值范围．【答案】（1）{x|1≤x≤2}（2）{a|2＜a≤3}【分析】（1）根据题意，分析可得C=A∩（∁UB），进而由补集的定义求出∁UB，再由交集的定义可得A∩（∁UB），即可得出答案；（2）根据题意，先求出集合A∪B，结合集合子集的定义可得，解出的范围，即可得到答案．【详解】（1）根据题意，分析可得：C=A∩（∁UB），B={x|2＜x＜4}，则∁UB={x|x≤2或x≥4}，而A={x|1≤x≤3}，则C=A∩（∁UB）={x|1≤x≤2}；（2）集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2＜x＜4}．则A∪B={x|1≤x＜4}，若非空集合D={x|4-a＜x＜a}，且D⊆（A∪B），则有，解可得2＜a≤3，即实数a的取值范围是{a|2＜a≤3}．题型七、集合的基本运算1．已知集合，集合，则是（

）A．，B．C． D．【答案】D【详解】由题意，集合，集合，联立方程组，解得，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合的交集的概念及运算，属于容易题.2．设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由集合，化简可得，由，.故选：B.【点睛】本题考查了集合的不同表示方法，考查了并集的定义及其运算，考查了转化能力，属于基础题.3．若集合，且，则集合可能是A． B． C． D．【答案】A【详解】试题分析：由知，故选考点：集合的交集．4．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用并集运算法则进行计算.【详解】故选：D5．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由得，，而，所以.故选：A6．设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意可知，，又因为，所以.7．若全集，，，则集合等于（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意，再由可得故选：D【点睛】本题考查了集合的交集、补集运算，考查了学生概念理解，综合分析能力，属于基础题8．设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】=(3,+∞),∴,，解得或,∴,∴,故选：A.9．已知全集，集合，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由集合的交集定义得，再由补集的运算可知.故选:D.10．已知集合，，若，则实数a的值为___________.【答案】或【分析】讨论与时两种情况求解即可.【详解】，当时，为，满足；当时，，若则，即，解得.综上所述，或故答案为：或11．设集合，．（1）若，求实数a的值；（2）若，求实数a的取值范围．【答案】（1）a的值为-1或-3（2）【详解】由，得或，故,（1）因为，所以，代入B中的方程,得，所以或,当时，，满足条件；当时，，满足条件．综上，a的值为-1或-3;（2）对于集合B，,因为，所以,①当，即时，，满足条件；②当，即时，满足条件；③当，即时，，才能满足条件，则由根与系数的关系得即矛盾．综上，a的取值范围是．题型八、集合的应用1．国庆期间，高一某班名学生去电影院观看了《长津湖》、《我和我的父辈》这两部电影中的一部或两部.其中有人观看了《长津湖》，有人观看了《我和我的父辈》则同时观看了这两部电影的人数为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：由已知得同时观看了这两部电影的人数为.故选：A.2．已知集合，，则集合中元素个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】解：因为，，所以或或或，故，即集合中含有个元素；故选：C3．高一某班共有15人参加数学课外活动，其中7人参加了数学建模，9人参加了计算机编程，两种活动都参加了的有3人，问这两种活动都没参加的有______人.【答案】2【详解】因为7人参加了数学建模且两种活动都参加了的有3人,故只参加了数学建模的人数为人,又9人参加了计算机编程,故只参加了计算机编程的人数为人.故参加了活动的人数有人.故两种活动都没参加的有人.故答案为：24．在①；②“”是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．问题：已知集合，．(1)当时，求；(2)若______，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)答案不唯一，具体见解析【分析】（1）根据并集得定义求解即可；（2）选①，由，得，列出不等式组，从而可得出答案.选②，由“”是“”的充分不必要条件，得集合为集合的真子集，列出不等式组，从而可得出答案.选③，根据列出不等式，解之即可得解.（1）解：当时，，，所以；（2）解：若选择①，，则，因为，所以，又，所以，解得：，所以实数的取值范围是.若选择②，“”是“”的充分不必要条件，则集合为集合的真子集，因为，所以，又，所以，且，解得：，所以实数的取值范围是.若选择③，，又因为，，所以或，解得：或，所以实数的取值范围是．题型九、集合的新定义1．若且，则称集合A为“和谐集”已知集合，则集合M的子集中“和谐集”的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【详解】若，则；若，则；若，则；若，则无意义；若，则；若，则.则“和谐集”只有.故选：B.2．（多选题）非空集合关于运算满足：对于任意的、，都有，则称集合关于运算为“回归集”．下列集合关于运算为“回归集”的是（

）A．为，为自然数的减法B．为，为有理数的乘法C．为，为实数的加法D．已知全集，集合，为，为实数的乘法【答案】BC【详解】对于A选项，若，为自然数的减法，则，A不满足条件；对于B选项，若，对任意的、，则，B满足条件；对于C选项，若，对任意的、，则，C满足条件；对于D选项，已知全集，集合，，取，，则，D不满足条件.故选：BC.3．（多选题）用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，若，则实数的取值可能为（

）A． B． C．