1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 - （导学案）（解析版）数学人教A版2019必修第一册

1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定导学案理解全称量词命题和存在量词命题的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词。掌握全称量词命题和存在量词命题的否定形式，能正确地对含有一个量词的命题进行否定。理解全称量词命题与存在量词命题之间的关系，提升逻辑推理的核心素养。教学重点：通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定。教学难点：全称命题和特称命题的真假的判定，以及写出含有一个量词的命题的否定。一、自主学习——温故知新知识梳理1．全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，．也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题．2．常见词语的否定形式原词语否定词语原词语否定词语是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有n个至多有(n－1)个小于不小于至多有n个至少有(n＋1)个任意的某个能不能所有的某些等于不等于注意点：总结起来八个字“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对结论进行了否定．一个命题和它的否定不能同时为真，也不能同时为假，只能一真一假．2.存在量词命题的否定存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，．也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题．知识梳理名称符号语言含义否定含义全称量词命题对中任意一个都成立存在中的元素,使不成立.特称量词命题存在中的元素,使成立.对中任意一个都不成立第二环节合作探究（一）课堂导入1同学们，大家好！今天咱们来聊聊一个大家再熟悉不过的话题——“广告语”。在日常生活中，我们经常会看到各种各样的广告语，比如“所有购买我们产品的顾客都能享受终身保修服务” “本店有部分商品正在打折促销”。这些广告语中就蕴含着我们今天要学习的全称量词命题和存在量词命题。那么，如果这些广告语是虚假的，它们的否定又是什么呢？通过学习全称量词命题和存在量词命题的否定，咱们就能更好地理解和辨别这些广告语的真假啦。那接下来，就让我们一起走进全称量词命题和存在量词命题的否定的世界，去探索其中的奥秘吧！情景引入2同学们，大家好！今天咱们来聊聊一个大家再熟悉不过的话题——“命题的真假”。在咱们班里，每个同学都有自己的观点和判断，比如有的同学认为“所有的矩形都是平行四边形”是对的，有的同学认为“存在一个矩形不是平行四边形”也是对的。那大家有没有想过，这两个命题之间有什么关系呢？其实，这两个命题就是我们今天要学习的全称量词命题和存在量词命题的否定。通过学习全称量词命题和存在量词命题的否定，咱们就能更好地理解和解决这些问题啦。那接下来，就让我们一起走进全称量词命题和存在量词命题的否定的世界，去探索其中的奥秘吧！【设计意图】通过贴近生活实际的广告语导入，引起学生的学习兴趣，让学生感受到数学知识在生活中的应用，为后续学习做好铺垫。【教学建议】教师可以提前准备一些常见的广告语，引导学生分析其中的全称量词和存在量词，激发学生的学习积极性。（二）温故知新回顾上节课知识：提问：什么是全称量词？什么是存在量词？（全称量词表示“所有的” “任意一个”等，存在量词表示“存在一个” “至少有一个”等）提问：如何用数学符号表示全称量词命题和存在量词命题？（全称量词命题：∀x∈M，p(x)；存在量词命题：∃x∈M，p(x)）引入新课：提问：全称量词命题和存在量词命题的否定又是怎样的呢？（引出全称量词命题和存在量词命题的否定）【设计意图】通过回顾上节课的知识，帮助学生巩固已学内容，为学习新知识做好衔接。【教学建议】教师可以通过提问的方式，引导学生回顾知识，同时关注学生的回答情况，及时纠正错误。（三）导入新知引例1：假设一个班级里所有同学都喜欢数学，那么这个命题的否定是什么？引例2：假设一个班级里存在一个同学喜欢数学，那么这个命题的否定是什么？类比实数运算：两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加、减、乘、除等运算。如果把命题与实数相类比，那么命题是否也有类似的否定呢？本节就来研究这个问题。【设计意图】通过具体的引例和类比，引导学生初步思考全称量词命题和存在量词命题的否定形式，为后续的探究做好准备。【教学建议】教师可以通过提问和讨论的方式，引导学生思考引例中的问题，鼓励学生发表自己的见解。（四）探究点1：全称量词命题的否定【问题1】写出下列命题的否定：(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)∀x∈R，x＋|x|≥0.它们与原命题在形式上有什么变化？提示上面三个命题都是全称量词命题,即具有“”的形式.其中命题(1)的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”,也就是说,存在一个矩形不是平行四边形;命题(2)的否定是“并非每一个素数都是奇数”,也就是说,存在一个素数不是奇数;命题(3)的否定是“并非所有的”,也就是说,从命题形式看,这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题.一般来说,对含有一个量词的全称量词命题进行否定,我们只需把“所有的”“任意一个”等全称量词,变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可.也就是说,假定全称量词命题为“”,则它的否定为“并非”,也就是“不成立”.通常,用符号“”表示“不成立”.对于含有一个量词的全称量词命题的否定,有下面的结论:全称量词命题:它的否定:也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题。在日常生活和数学中经常使用的两类量词为全称量词和特称量词,含一个量词的全称命题和含一个量词的特称命题也是常见的命题.【设计意图】通过具体的例子和详细的分析，帮助学生理解全称量词命题的否定形式，掌握其规律和方法。【教学建议】教师可以通过提问和讲解的方式，引导学生分析每个例子，总结全称量词命题的否定规律。（五）探究点2：存在量词命题的否定问题2写出下列命题的否定：(1)存在一个实数的绝对值是正数；(2)有些平行四边形是菱形；(3).它们与原命题在形式上有什么变化？提示这三个命题都是存在量词命题，即具有“∃x∈M，p(x)”的形式．命题(1)的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数；命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形；命题(3)的否定是“并非所有的”,也就是说,.从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题．一般来说,对含有一个量词的全称量词命题进行否定,我们只需把“所有的”“任意一个”等全称量词,变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可.也就是说,假定全称量词命题为“”,则它的否定为“并非”,也就是“不成立”.通常,用符号“”表示“不成立”.对于含有一个量词的全称量词命题的否定,有下面的结论:全称量词命题:它的否定:也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题。【知识梳理】存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，p(x)．也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命题．典例分析例3写出下列全称量词命题的否定：（1）所有能被3整除的整数都是奇数；（2）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；（3）对任意，的个位数字不等于3.【解析】（1）该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数.（2）该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上.（3）该命题的否定：，的个位数字等于3.【变式1】写出下列全称量词命题的否定：(1)所有能被2整除的整数都是偶数；(2)每一个三角形的三个顶点在同一个圆上；(3)∀x∈R，使得5x－12＝0.【解析】(1)该命题的否定：存在一个能被2整除的整数不是偶数．(2)该命题的否定：存在一个三角形，它的三个顶点不在同一个圆上．(3)该命题的否定：∃x∈R，使得5x－12≠0.反思感悟全称量词命题否定的关注点：(1)全称量词命题的否定既要改变量词，又要否定结论，所以找出全称量词，明确结论是关键。(2)全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定。例4写出下列存在量词命题的否定：（1），；（2）有的三角形是等边三角形；（3）有一个偶数是素数【解析】（1）该命题的否定：，.（2）该命题否定：所有的三角形都不是等边三角形.（3）该命题的否定：任意一个偶数都不是素数.【变式2】写出下列命题的否定．(1)所有矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0.【解析】(1)存在一个矩形不是平行四边形；(2)存在一个素数不是奇数；(3)∃x∈R，x2－2x＋1<0.例5写出下列命题的否定，并判断真假：（1）任意两个等边三角形都相似；（2），【解析】（1）该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似.因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似.因此这是一个假命题.（2）该命题的否定：，.因为对任意，，所以这是一个真命题.【变式3】写出下列命题的否定,并判断其否定的真假:(1):不论取何实数,方程必有实根;(2).【解析】:存在一个实数,使方程没有实数根.因为该方程的判别式恒成立,故为假命题.(2)为假命题.反思感悟存在量词命题否定的关注点（1）存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和结论．即∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，．存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定．【设计意图】通过典例分析和变式练习，帮助学生巩固全称量词命题和存在量词命题的否定方法，提高学生的逻辑推理能力。【教学建议】教师可以通过提问和讲解的方式，引导学生分析每个例子，总结全称量词命题和存在量词命题的否定规律。同时，教师可以引导学生总结全称量词命题和存在量词命题的否定方法，帮助学生形成知识体系。

1.设命题，则命题p的否定是（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】特称命题的否定及其真假判断【分析】根据题意，结合含有一个量词的命题否定，即可求解.【详解】根据题意，易知命题p的否定为，.故选：C.2.命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【知识点】全称命题的否定及其真假判断【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定.【详解】，的否定是，．故选：A．3.命题“存在”的否定是（

）A．不存在 B．存在C．对任意的 D．对任意的【答案】D【知识点】特称命题的否定及其真假判断【分析】将特称命题否定为全称命题即可【详解】∵“”的否定为“”，∴“存在”的否定为“对任意的”，故选：D．4.命题“任意，使方程都有唯一解”的否定是（

）A．任意，使方程的解不唯一B．存在，使方程的解不唯一C．任意，使方程的解不唯一或不存在D．存在，使方程的解不唯一或不存在【答案】D【知识点】全称命题的否定及其真假判断【分析】根据全称命题的否定为特称命题，否定方法为：修改量词，否定结论.【详解】该命题的否定：存在，使方程的解不唯一或不存在.故选：D.5.命题“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】全称命题的否定及其真假判断【解析】根据含一个量词的命题的否定方法：修改量词并否定结论，即可得到原命题的否定.【详解】因为的否定为，的否定为，所以原命题的否定为：.故选：C.【点睛】本题考查含一个量词的命题的否定，难度较易.注意全称命题的否定为特称命题.6.命题“存在实数，使关于x的方程有实数根”的否定是（

）A．存在实数，使关于x的方程无实根B．不存在实数，使关于x的方程有实根C．对任意实数，方程无实数根D．至多有一个实数，使关于x的方程有实根【答案】C【知识点】特称命题的否定及其真假判断【解析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】由题意，命题“存在实数m，使关于x的方程x2+mx﹣1＝0有实数根”是存在性命题，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题的否定为：“对任意实数m，方程x2+mx﹣1＝0无实数根”.故选：C.7.已知命题：，，则为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【知识点】全称命题的否定及其真假判断【分析】直接利用全称命题的否定定义得到答案.【详解】命题：，，则为：，故选：【点睛】本题考查了全称命题的否定，意在考查学生的推断能力.8.已知命题，，则（）A．命题，为假命题B．命题，为真命题C．命题，为假命题D．命题，为真命题【答案】C【知识点】全称命题的否定及其真假判断【分析】全称命题的否定为特称命题，再判断命题的真假即可得出答案.【详解】有题意知，命题，，又因为方程的，所以命题为假命题.故选：C.9.命题“”的否定为（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】全称命题的否定及其真假判断【分析】“若，则”的否定为“且”【详解】根据命题的否定形式可得：原命题的否定为“”故选：C10.下列结论中正确的个数是（

）①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；②命题“”是全称量词命题；③命题“”的否定为“”；④命题“是的必要条件”是真命题；A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【知识点】必要条件的判定及性质、判断命题是否为全称命题、判断命题是否为特称（存在性）命题、特称命题的否定及其真假判断【分析】根据存在量词命题、全称量词命题的概念，命题的否定，必要条件的定义，分析选项，即可得答案.【详解】对于①：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；对于②：命题“”是全称量词命题；故②正确；对于③：命题，则，故③错误；对于④：可以推出，所以是的必要条件，故④正确；所以正确的命题为②④，故选：C1.（2014·江西·高考真题）下列叙述中正确的是()A．若，则“”的充分条件是“”B．若，则“”的充要条件是“”C．命题“对任意，有”的否定是“存在，有”D．是一条直线，是两个不同的平面，若，则【答案】D【知识点】判断命题的真假、判断命题的充分不必要条件、探求命题为真的充要条件、全称命题的否定及其真假判断【详解】试题分析：当时，推不出，错，当时，推不出，错，命题“对任意，有”的否定是“存在，有”，C错，因为与同一直线垂直的两平面平行，所以D正确.考点：充要关系2.命题“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】全称命题的否定及其真假判断【解析】根据全称量词的否定为存在量词可得结果.【详解】因为全称量词的否定为存在量词，所以命题“”的否定是“”.故选：C3.（2011·黑龙江·一模）已知命题：有的三角形是等边三角形，则A．：有的三角形不是等边三角形B．：有的三角形是不等边三角形C．：所有的三角形都是等边三角形D．：所有的三角形都不是等边三角形【答案】D【知识点】特称命题的否定及其