3.1.1+函数的概念课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第3章

函数的概念与性质3.1.1函数的概念【素养目标】通过丰富实例,学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用.(数学抽象)了解构成函数的三要素.(数学抽象)能够正确使用“区间”的符号表示某些集合.(直观想象)理解同一个函数的概念.(数学抽象)能判断两个函数是否是同一个函数.(逻辑推理)【学法解读】函数概念的引入,学生以熟悉的例子为背景进行抽象,从变量之间的依赖关系、实数集合之间的对应关系、函数图象的几何直观等角度整体认识函数的概念.例如,学生可以从已知的、基于变量关系的函数定义入手,通过生活或数学中的问题,构建函数的一般概念,体会用对应关系定义函数的必要性,感悟数学抽象的层次.本节重点是理解函数的定义,会求简单函数的定义域,难点是理解y=f(x)的含义,学生要加深理解.初中对函数的定义：

本节我们将在集合的基础上，用新的观点进一步学习函数的概念.问题1：函数知识回顾与更新问题1:请同学们根据如下情境回答问题：某高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时.(1)这段时间内，列车行进的路程S(单位：km)与运行时间t(单位：h)的关系如何表示?这是一个函数吗?为什么?(3)你认为如何表述S与t的对应关系才能更精确?(2)如果有人说：“根据对应关系S=350t,这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km."你认为这个说法正确吗?问题1：函数知识回顾与更新问题2

某电气维修公司要求工人每周至少工作1天，至多不超过6天．如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么：(3)你能伤照同题1中对S与1的对应关系的精确表示，给出这个间题中w与d的对应关系的精确表示吗?追问：问题1和2中函数的对应关系相同，你认为它们是同一个函数吗?为什么?（2）一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？（1）你认为该这样确定一个工人每周的工资？问题3

图3.1-1是北京市2016年11月23日的空气质量指数（AirQualityIndex，简称AQI）变化图．（1）如何根据该图确定这一天内任一时刻th的空气质量指数（AQI）的值I？（2）你认为这里的I是t的函数吗？如果是，你能仿照前面的方式描述I与t的对应关系吗？再问：(1)你能根据图3.1-1找到中午12时的AQI的值吗?这个值是否唯一存在？(2)对于数集A3={t|0≤t≤24}中的任意一个值t,你会用什么方法寻我此时对应的I值？表3.1-1我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况年份y2006200720082009201020112012201320142015恩格尔系数r（%）36.6936.8138.1735.6935.1533.5333.8729.8929.3528.57（1）你认为按表3.1-1给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？（2）如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数？(3）如果我们引入B4={r|0≤r≤1}，将对应关系表述为“对于任意一个年份y，都有B4中唯一确定的r与之对应”，你认为有道理吗?归纳上述问题1～问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？上述问题的共同特征有：（1）都包含两个非空数集，用A，B表示；（2）都有一个对应关系；（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应．事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法．为了表示方便，我们引进符号f统一表示对应关系．

显然,值域是集合B的子集,在问题1与问题2中,值域就是B1和B2;在问题3中,值域是数集B3的真子集;在问题4中,值域C4={0.3669,0.3681,0.3817,0.3569,0.3515,0.3353,0.3387.0.2989,0.2935,0.2857},是数集B={r|0<r≤1}的真子集.问题2：函数的概念

【说明】通常一个函数的定义域和对应关系确定后，值域就确定了.所以有

时候也称定义域和对应关系为函数的二要素.

问题2：函数的概念

②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.③唯一性：每一个自变量都有唯一的函数值与之对应.④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系.但是，从值域到定义域的话，新的对应关系就不一定是函数关系.问题3：函数的四个特征函数类型定义域对应关系值域一次函数

二次函数反比例函数

问题4：一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、对应关系和值域应用题出题的过程就是构建出一个情景，使它和我们已知的数学模型和数学规律对应上.

函数的解析式是舍弃问题的实际背景抽象而来的，它所反映的是两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律.例如，正比例函数y=kx(k≠0)可以用来刻画匀速直线运动中的路程和时间之间的规律、某个均匀物体的质量与体积之间的规律，圆的周长与直径之间的关系等.问题5：函数的应用

试构建一个问题情景，使其中的变量关系可以用解析式y=x(10-x)来描述。问题5：函数的应用【练习】一枚炮弹发射后，经过26秒落到地面击中目标.炮弹的射高为845米，且炮弹距地面的高度h(米)与发射时间t(秒)的关系为：

求上式所表示的函数的定义域和值域，并用函数的定义

描述这个函数.

2．2016年11月2日8时至次日8时（次日的时间前加0表示）北京的温度走势如图所示．（1）求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域；（2）根据图象，求这一天12时所对应的温度．

其中③和④都可以称作半开半闭区间问题6：什么是区间各个区间的含义及表示方法如下表所示：

闭区间开区间左开右闭区间左闭右开区间

问题6：什么是区间常见区间的含义及表示方法如下表所示：

问题7：求函数的定义域和函数值问题7：求函数的定义域和函数值由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域.因为值域是由定义域和对应关系决定