(1987-2017)年数学二考研数学历年真题

1997年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)

一'填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)

=，"0,在x=o处连续，贝必=.

(1)己知x=0

(2)设y=ln、K，则y"L°=_____________.

V1+x

7x(4-x)

设厂—匚

(4)

J。+4x+8

(5)已知向量组名=(1,2—1,1),tz2=(2,0,t,0),%=(0,—4,5,—2)的秩为2,则/=,

二、选择题

1.设x-0,时，e1a❶―/与x"是同阶无穷小，则”为()

(A)1(B)2(C)3(D)4

eb1

⑵设在区间句上/(%)>0,r(x)<0，r(x)>0.记S[=£f(x)dx,S2=/(b)(b—a),S.=-[/(«)+/(创3-a),

则()

(A)SX<S2<S3(B)邑<S3<工

(C)S3<H<S2(D)S2<S1<S3

⑶已知函数y=/(x)对一切％满足对■〃(%)+3%"'(动2=1—二,若/'&)=0(/w0),则()

(A)/(尤0层/1(尤的极大值

(B)/(公诞/'(X题极小值

(C)(x0,/(%))是丁=于Qx)的拐点

(D)/(%)不是/(斓勺极值,(%0，/(%)她不是曲线丁=/(x的拐点

(4)设esmsin1力，则尸(%)()

JX

(A)为正常数(B)为负常数(C)恒为零(D)不为常数

2-x,x<0/、*'x(，则g"⑹为()

(5).设g(x)=<,/(x)=

x+2,x>0')-x,x>0

/、2+x2,x<0/、2-x2,x<0

(A)《(B)<

2-x,x>02+x,x>0

/、2—%?%<0/、2+x2,x<0

co《(D)<

2-x,x>02+x,x>0

三、（本题共6小题，每小题5分，满分30分）

（1）求极限lim+l+4

1fVX2+sinx

x=arctan，

(2)设y=心由所确定，求Y".

2y-ty2+ef=5dx

(3)计算Je2x(tanx+l)2dx

(4)求微分方程(3/+2xy-y2)dx+(x2-2xy)dy=0的通解。

（5）已知%=x/+e2x,%=了"+小工,％=xeX+e2'—eT是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。

11-1

(6)已知A=011且A3=E,其中E是三阶单位矩阵，求矩阵B

00-1

四、（本题满分8分）

X

2xl+22-X3=1

4取何值时，方程组1疝i-/+%3=2无解，有惟一解或由无穷多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解。

4%i+5%2-5X3=-1

五、（本题满分8分）

设曲线L的极坐方程为厂=厂（夕）,河（厂,夕）为L上的任一点，此（2,0）为L上一定点，若极径OA/。、与曲线L所

围成的曲边扇形面积值等于L上/°，”两点间弧长值的一半，求曲线L的方程。

六、（本题满分8分）

设函数/⑴在闭区间［0』］上连续，在开区间（0,1）内大于零，并满足矿（x）=/（x）+号公卜为常数）又曲线

y=/（x为x=l,y=o所围成的图形S的面积值为2,求函数y=/（x）,并问。为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得

的旋转体的体积最小。

七、（本题满分8分）

已知函数/（x）连续，且=

八、(本题满分8分)

JT7T

就左的不同取值情况，确定方程x-2sinx=左在开区间(0,一)内根的个数，并证明你的结论。

2,2

1996年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)

一'填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)

x2

y={x+e2)3,则y[x=o=.

(1)设

(2)J(x+Vl-x2)dx-.

(3)微分方程的y"+2y'+5y=0通解为.

(4)limxsinln(l+—)-sinln(l+—)=___________

-81xx

(5)由曲线y=x+4,x=2及y=2所围图形的面积S

X

二、选择题

1.设x—>0时，ex—(af+/zx+1)是比Y混j阶的无穷小,则()

(A)a=—,b=l(B)a=l,b=l

2

(C)ci——,b——1(D)a=-l,b=l

2

⑵设函数/(x)在区间(-万3)内有定义，若当xe(—时，恒有贝阮=。必是/(x)的()

(A)间断点(B)连续而不可导的点

(C)可导的点，且/'(0)=0(D)可导的点，且/'(0)w0

⑶设/(%)处处可导，则()

(A)当limf[x}=-oo,必有lim/'(%)=—00(B)当lim/'(%)=-oo,必有lim/(%)=—00

x—>-oox—>-ooxf-oox—>-oo

(C)当lim/(x)=+oo,必有limff(x)—+oo(D)当lim/'(%)=+8,必有limf(x)=+oo

x—>-oox—>-oox—>-oox—>-oo

(4)在区间(-00,+oo)内，方程即+即_cosx=0()

(A)无实根(B)有且仅有一个实根

(C)有且仅有两个实根(D)有无穷多个实根

(5).设/(x),g(x)在区间[a,句上连续，且g(x)</(x)<zn(zn为常数)，由曲线y=g(x),y=/(x),x=a及r=b所围平

面图形绕直线y=m旋转体体积为()

rb

(A)I7r[2m-/(x)+g(x)][/(x)-g(x)]dx(B)f乃[2"z-/(x)-g(x)]"(x)-g(x)]dx

JaJa

pb

(C)J7T[m-f(x)+g(%)][/(%)-g(x)]dx(D)f7r[m-/(x)-g(x)][/(x)-g(x)]dx

JaJa

三、(本题共6小题，每小题5分，满分30分)

(1)计算。Ri-e口dx.

/、为「dx

(2)求-------.

J1+sinx

,.、八%=f/(沅2)曲目有一R人且加日f(\,n寺d2y

(3)设〈Jo*7'7其中/Q)具有一阶导数，且/(")wO,求一

y=[/(?2)]2,dx-

(4)求函数/(x)=上三在x=0点处带拉格朗日型余项n阶泰勒展开式。

1+x

(5)求微分方程y"+y'=/的通解。

TT

(6)设有一正椭圆柱体，其地面的长、短轴分别为2a、山,用过此柱体底面的短轴与底面成。角(0<[<2)的平面

2

截此柱体，得以锲形体(如图)，求此锲形体的体积V.

四、(本题满分8分)

计算不定积分J吉呈产

五、(本题满分8分)

-1-2%2,x<—1,

设函数/(x)=(x3,

-l<x<x,

12x-16,x>2.

(1)写出/(%)的反函数g(x)的表达式;

(2)g(x)是否由间断点、不可导点，若有，指出这些点。

六、(本题满分8分)

设函数y=y(x)由方程2y3—2旷+2盯-炉=1所确定，试求y=y(x)的驻点，并判别它是否为极值点。

七、(本题满分8分)

设/(%)在区间［a,b］上具有二阶导数，且/(«)=于铉)=0,/,(«)/W>0,试证明:

存在))和〃e(a,Z?),彳吏/'4)=0及/'"(〃)=0.

八、(本题满分8分)

设了(X)为连续函数，

(1)求初值问题的解y(x),其中。为正的常数；

〔丸=。=0

(2)若|/(x)|〈左伏为常数)，证明：当+0时，囿y(x)g：(l-e").

1995年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)

一'填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)

y=cos(r)2sin2贝ijy，=.

⑴设x

(2)微分方程/+y=-2x的通解为.

(3)曲线:=-2处的切线方程为_____________.

［y=t-

12Tl

(4)lim(—----------+—-----------+L+—----------)=.

〃+〃+1〃+〃+2n+n+n

(5)由曲线y=/e*的渐近方程为.

二、选择题

1.设/(x)和0(x)在(一8,+8)内有定义，/(x)为连续函数，且/(x)HO,°(x)有间断点，则()

(A)夕"(初必有间断点(B)即(刈2必有间断点

(C)/［9(x)］必有间断点(D)"也必有间断点

/(X)

⑵曲线y=x(x-1)(2-X)与x轴所围图形的面积可表示为()

(A)-£x(x-1)(2-x)dx(B)£x(x-1)(2-x)dx-x(x-l)(2-x)<7x

(C)-£x(x-1)(2-x(x-l)(2-x)<7x(D)£x(x-1)(2-x)dx

⑶设了(X)在(—8,+8)内可导，且对任意不,乙,当为AX2时，都有/(王)>/(々),则()

(A)对任意x,7'(X)>0(B)对任意X,/'(-x)<0

(C)函数/■(-x)单调增力口(D)函数-/(-x)单调增加

(4)设函数/(x)在［0,1］上/'"(x)〉。,则/'⑴、/'(0)、/(1)-/(O)W(O)-/(1)的大小顺序是()

(A)/(1)>八。)>/(I)-/(O)(B)/(1)>/(1)-/(0)>((0)

(Q/(1)-/(o)>r(i)>/(o)(D)r(i)>/(o)>/⑴-/(o)

(5).设/(%)可导，方(x)=/(x)(l+|sinx|),若使月(%)在x=0处可导，贝U必有()

(A)/(0)=0(B)-(0)二。

(C)/(0)+/\0)=0(D)/(0)-/(0)=0

三、(本题共6小题，每小题5分，满分30分)

(1)求lim

x-»0+x(l-cosVx)

2

(2)设函数y=y(x)由方程工/⑴二，确定，其中/具有二阶导数，且广。1,dy

dx2

(3)设/(x2-1)=ln^—，且人以九)],求j

x2

(4)设/(x)=<xarctan?,x*0,试讨论广⑴在％=o处的连续性。

0,x=0,

(5)求摆线F=l—c°st一拱(Q<t<2^的弧长

y=t-sint

(6)设单位质点在水平面内作直线运动，初速度山力=%，已知阻力与速度成正比(比例常数为1),问f为多少时此

质点的速度为昆？并求到此时刻该质点所经过的路程。

3

四、(本题满分8分)

求函数/(x)=「(27)/团的最大值和最小值。

*0

五、(本题满分8分)

设y=《是微分方程冲'+p(x)y=x的一个解，求此微分方程满足条件y|x=ln2=0的特解。

六、（本题满分8分）

如图，设曲线L的方程为y=/（x）,且了＞0,又分别为该曲线在点双（％,为）处的切线和法线，已知线段

3

（1+婷＞

的长度为（其中弘=之（无0）,芥=＜（3））试推导出点尸学，〃）的坐标表达式。

七、（本题满分8分）

设/（%）=［包，'，计算［f（x）dx.

八、(本题满分8分)

设lim=1,且尸(x)>,证明/'(x)2%.

X

1994年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)

一'填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)

sin2x+e2ax-1八

f(x)=\"在(-00,+oo)上连续，贝必=.

⑴右a,x=0

(2)设函数y=y(x)由参数方程」’所确定，则.

y=t+fdx"

dI-rcos3x

⑶于⑦出=.

ax」

(4)Jx3exdx=.

(5)微分方程ydx+(/—4x)dy=0的通解为.

二、选择题

1.设lim1n(1+x)-S+正)=2则()

x-0%2

(A)a=l,b=~—(B)a=0,b=-2

2

(C)a=0,b=—(D)a=l,b=-2

2

2/r<1

(2)设/(%)=3\贝Y(x)在点x=1处的(

X2,X>1

(A)左、右导数都存在(B))左导数存在，但右导数不存在

(C)左导数不存在，但右导数存在①))左、右导数都不存在

⑶设y=/(x)是满足微分方程记+了一6‘山工=0的解，且广(%)=0,则/(x)在()

(A)X。的某个领域内单调增加(B)与的某个领域内单调减少

(Ox。出取得极小值(D)七处取得极大值

i+x+]

(4)曲线y=e-arctan——-——的渐近线有(

(x-l)(x+2)

(A)l条(B)2条(C)3条(D)4条

(5).设Mgsm：cos，xdx,N=R方(sin3x+cos4x)dx,0=JX(无？sin，X—COS’XltZx,则有()

万]+%一万一万

(A)N<P<M(B)M<P<N

(C)N<M<P(D)P<M<N

三、(本题共5小题，每小题5分，满分25分)

d2y

(1)设y=/(%+y),其中国有二阶导数，且其一阶导数不等于1,求

dx2

(2)计算，x(y~x^ydx.

(3)计算limtan"(至+2).

84n

(4)计算f-----------.

Jsin2x+2sinx

1

(5)如图，设曲线方程为y=f9+],梯形Q43C的面积为O,曲边梯形Q46C的面积为为A的坐标为

D3

(4,0)〃>0,证明——<—.

D12

四、(本题满分9分)

设x>0当时，方程左x+3=l有且仅有一个解，求左的取值范围

五、（本题满分9分）

%3+4

设y=2

X

（1）求函数的增减区间及极值;

（2）求函数图像的凹凸区间及拐点;

（3）求其渐近线；

（4）作出其图形。

六、（本题满分9分）

求微分方程y"+。2丁=5融工的通解，其中常数a>0.

七、（本题满分9分）

设/（x）在［0,1］上连续且递减，证明：当0<%<1时,，

八、（本题满分8分）

求曲线y=3-|/一11与x轴围成的封闭图形绕直线y=3旋转所得的旋转体体积。

1993年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)

一'填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)

limxlnx=.

(1)f

⑵函数y=y(x)由方程sin(x2+y2)+eX一孙2=。所确定，则@=

(3)设R(x)=「(2-1)流(x〉0),则函数F(x)的单调减少区间是

COSX

(5)已知曲线y=/(x)过点(0，—g)，且其上任一点(x,y)处的切线斜率为工%(1+/),贝"(工)=

1.当xf0时，变量二sin—是则(

XX

(A)无穷小(B)无穷大

(C)有界的，但不是无穷小(D)有界的，但不是无穷大

(2)设/Xx)=x—1，"1则在点”1处函知(乃()

2,x=l,

(A)不连续(B))连续，但不可导

(C)可导，但导数不连续(D))可导，且导数连续

(3)己知/(%)=<X—^,。设尸(x)=[/«)力(0<x<2),则/(x)为()

1,1<%<2,Ji

—x3,0<x<1

3

x,l<x<2x,l<x<2

131a1

(C)<3X>°-x<1—x3——,0<x<1

33

x-1,1<x<2x-1,1<x<2

jr

(4)设常数左>0,函数f(x)=lnx——+左在(0,+8)内零点个数为()

e

(A)3(B)2(C)l(D)0

(5).设/(%)=—/(r),在(0,+oo)内尸(%)>0"〃(%)>0,贝犷。)在(-oo,0)内则有()

（A）r（x）＜o,rw＜o（B）r（x）＜o,r（x）＞o

（or（x）＞o,r（x）＜o⑴）/v）＞o,r（x）＞o

三、（本题共5小题，每小题5分，满分25分）

d2y

（1）设丁=$抽"（/）］,其中国有二阶导数,求

dx2

(2)求limxQx2+100+x).

X-»-00

71

(3)求p---------dx.

Jol+cos2x

f+ooX

(4)求［7----^-dx.

Jo(1+x)3

2

(5)求微分方程(%-l)dy+(2孙-cosx)dx=0满足初始条件求y|¥=0=0的特解

四、（本题满分9分）

设二阶常数系数线性微分方程求y"+ay'+j3y=yex的一个特解为求y=e2x+（l+x）e\试确定常数a,0,7,并

求该方程的通解。

五、（本题满分9分）

设平面图形A由求/+丁＜2x与y＞x所确定，求图形A绕直线x=2旋转一周所得旋转体的体积。

六、（本题满分9分）

作半径为求r的球外切正圆锥，问此圆锥的高求//为何值时，其体积求V最小，并求出该最小值。

七、（本题满分6分）

设x〉0,常数a>e,证明（a+x）"<a"+*.

八、（本题满分8分）

设求/'（x）在［0,0上连续，且/（0）=0,证明：1/（X）向〈出J其中M=max|r（x）|.

Jo20<x<tz'1

1992年全国硕士研究生入学统一考试（数学二）

一'填空题（本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上）

其中网"导，国'（0）。0,则？L。=_____________.

（1）设〔y=/（e-1）,dx

JT

（2）函数y=%+2cosx在［0,万］上的最大值为.

/c、'八r1-J］一-

（3）设lim---------------=______________.

x

e-COSX

尸dx

(4)1x(x+1)

（5）由曲线y=%/与直线y=勿所围成的图形的面积S=.

二、选择题

1.当x-0时，的则（）

（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小

（C）等价无穷小（D）同阶但非等价的无穷小

⑵设/(%)=<,则()

x+x,x>0

-x2,x<0-(x2+x),x<0

(A)f(-X)==(B))/(-%)=<

一(%2+%),%>0-x2,x>0

x2,x<0x2-x,x<0

(C)f(-x)=z<(D))/(T)=

%2-x,x>0x2,x>0

r2-l工

(3)当x-1时，函数^——ei的极限()

X-1

(A)等于2(B)等于0(C)等s(D)不存在但不为8

(4)设/(x)连续，F(x)=「/(/)介则V(x)等于内零点个数为()

J0

(A)/(x4)(B)X2/(-^4)(C)2xf(x4)(D)2V(x2)

(5).若/(x)的导函数是sinx,则/'(x)有一个原函数为则有()

(A)1+sinx(B)1—sinx(C)1+cosx(D)1—cosx

三、(本题共5小题，每小题5分，满分25分)

3+x—

(1)求2.

6+x

(2)设函数y=y(x)由方程y-xe，=1所确定，求的值.

r%3

(3)求].dx.

(4)求(J1-sinxdx.

(5)求微分方程(y-d)dx-2xdy=0的通解.

四、(本题满分9分)

、[l+x2,x<0_^<-3

设F(x)=<x八，求，f(x-2)dx.

e-x,x>0J1

五、(本题满分9分)

求微分方程/-3/+2y=xe'的通解.

六、(本题满分9分)

计算曲线y=ln(l-f)上相应于0<g的一段孤的长度

七、(本题满分6分)

求曲线y=6的一条切线/，使该曲线与切线/及直线x=0,x=2所围成的平面图形面积最小。

八、(本题满分8分)

已知产(%)<0,/(0)=0,试证：对任意的二正数再和工2,恒有了(%1+X2)V/(%1)+/(%2)成立,

1991年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)

一'填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)

y=ln(l+3一工),贝I]dy=.

(1)设

(2)曲线y=的上凸间是.

⑶设「『=.

(4)质点以速度/sin(J)米每秒作直线运动，则从时刻4=后秒到马=而秒内质点所经过的路程等于米.

1—

(5)lim----r=.

%—()+-

x+ex

二、选择题

1.若曲线y=/+ax+/7和2y=-1+个3在点(i,—D处相切，其中。力是常数，贝U()

(A)a=。力=-2(B)a=l,b=—3

(C)a=-3,b—\(D)a——1,Z?=—1

⑵设函数/(%)=<%t己方(1)=「/«)力,002,则()

2-x,l<x<2,Jo

f/V3

—,0<x<l—,0<x<l

33

(A)F(x)=<2(B))F(x)=<2

1x7x

-+2x-—,l<x<2——+2x---,l<x<2

33162

V3

—,0<x<l—,0<%<1

33,

(C)F(x)=<22(D))F(x)=<

—+2x--,l<x<22x--,l<x<2

1322

⑶设函数/(X)在(-8,+00)内有定义,X。关0是函数/(X)的极大点，则()

(A)x0必是/(x)的驻点(B)-与必是-/(-x)的极小点

(C)-x()必是-/(x)的极小点(D)对一切x都有/(x)</(%0)

1+「2

(4)曲线y=—()

l-e~x

(A)没有渐近线(B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线

(5).如图，x轴上有一线密度为常数〃，长度为/的细杆，有一质量为加的质点到杆右端的距离为a,已知引力系数

为左，则质点和细杆之间引力的大小为()

km/Li「kmpi

dx(B)dx

(a—x)2(tz-x)2

「kmpikm/Li

2dx(D)2j；dx

J-g(6Z-X)(a—%)?

三、(本题共5小题，每小题5分，满分25分)

x=tcost

(1)设

y=tsmt

计算「dx

(2)

x(l+Vx)

x-smx

(3)求lim

x-0x2(ex-l)'

(4)求［xsin2x6?x

（5）求微分方程犯'+y=x"满足y⑴=1的特解.

四、（本题满分9分）

利用导数证明：当x>l时，有不等式蚂匕坦〉上成立

In%1+x

五、（本题满分9分）

求微分方程y"+y=x+cosx的通解.

六、（本题满分9分）

曲线丁=（%-1）（大-2）和工轴围成一平面图形，求此平面图形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积.

七、（本题满分9分）

如图，A和。分别是曲线y="和y=e小上的点，A廓口DC均垂直x轴，且

\AE\:\DC\=2:1,Mq<1,求点B和C的横坐标，使梯形13coe勺面积最大

八、(本题满分8分)

设函数/(X)在(-00,+00)内满足/(x)=/0-7)+5也%且/'(》)=匕1：6[0,7),计算//(%)及

1990年全国硕士研究生入学统一考试(数学二)

一'填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)

"3

X-COSt7C»I>-i_/坨,.prpa

<t=一点处的法线方程是______________.

(1)曲线[y=sin'f上对应于点6

11

tan-Irt.

(2)设y=e".sin—,贝！Jy=.

x

(3)jxy/1-xdx=.

(4)下列两个积分的大小关系是：3dx\~\ex3dx.

(5)设函数〃x)=>「区:，则函甄"(切=.

二、选择题

(2\

1.已知lim———ax-b=0,其中a乃是常数，则()

(A)a=l,b=l(B)a=-l,b=1

(C)a=l,b=—1(D)a=—\,b=—1

⑵设函数/(x)在(一8,+8)上连续，贝女//(%)公捋于()

(A)f(x)(B))于3dx

(C)/(x)+C(D))f'(x)dx

⑶已知函数/■(%)具有任意阶导数，且/'(X)="(%)]2,则当,为大于2的正整数时，/(x)的〃阶导数/⑺

(A)划"(尤)产(B)n[/(x)]，!+1(C)"(x)产(D)矶此切2”

⑷设/(x)是连续函数，且R(x)=f则F'(x)等于()

Jx

(A)-—/(x)(B)-H"(er)+/(x)

(C)e~xf(e-x)-f(x)(D)e~xf(e-x)+/(x)

"(x)

(5).设/(x)=尤"其中/Xx)在X=0出可导，((0)手0,/(0)=0,则X=0是R(x)的

〔/(0),x=0

(A)连续点(B)第一类间断点

(C)第二类间断点(D)连续点或间断点不能由此确定

三、(本题共5小题，每小题5分，满分25分)

(1)已知lim(史上厂=9,求常数a

xt8x-a

(2)求由方程2丁-1=0-丁)111(%-)0所确定的函数丁二'(%)的微分力.

(3)求曲线丁=」^(%>0)的拐点

1+x

(4)计算I*二％亏<&.

」(1-x)2

(5)求微分方程xln羽fy+(y-Inx)dx=0满足条件乂口=1的特解

四、(本题满分9分)

在椭圆马+与=1的第一象限部分上求一点尸，使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形面积为最小(其中

ab

Q>0,b>0).

五、(本题满分9分)

证明：当x>0,有不等式arctanx+—〉一.

x2

六、(本题满分9分)

设内)=［普以,其中x>0,W«+/A.

七、(本题满分9分)

过点尸(1,0)作抛物线丁=的切线，该切线与上述抛物线及X轴围成一平面图形，求此平面图绕X轴旋转一

周所围成旋转体的体积。

八、(本题满分8分)

求微分方程<+4>'+4>=6这之通解，其中。为实数.

1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、填空题(本题共5小题,每小题3分，满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)limxcot2x=.

了…

(2)f/sintdt=.

*o

(3)曲线y=二«—I*-2)力在点(0,0)处的切线方程是.

(4)的(x)=x(x+l)(x+2)...(x+〃),贝1J/'(0)=.

(5)设/谣连续函数，且/(x)=无+2工作垃,贝叭x)=.

a+bx2,x<0

(6)设/1(%)=sin6%在%=0处连续，则常麴与万应满足的关系是_____________.

，尤〉u

(7)设tany=x+y,则dy=.

二'计算题(每小题4分，满分20分.)

(1)已知y=arcsine-石，求y’.

Q用3,

£

(3)求lim(2sin%+cosx)".

x->0

⑷已知卜=Ml+r)求心及之.

y=arctan%,dxdx

(5)已知f⑵=g"'⑵=0及If{x}dx=1,求(x2f,r(2x)dx.

三、选择题(每小题3分，满分18分.每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号

内)

(1)设%>0时，曲线y二九sin，()

x

(A)有且仅有水平渐近线(B)有且仅有铅直渐近线

(C)既有水平渐近线，也有铅直渐近线(D)既无水平渐近线，也无铅直渐近线

(2)若3/贝！J方程/+2〃炉+3Z?x+4c=0()

(A)无实根田)有唯一实根C)有三个不同实根(D)有五个不同实根

TT7T

(3)曲线y=cosx(-与x轴所围成的图形，绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为()

TC7C27

(A)y(B)万(C)y(D)/

(4)设两函数/(x)及g(x)都在x=a处取得极大值，则函数网x)=/(x)g(x庵x=a处()

(A)必取极大值(B)必取极小值(C)不可能取极值(D)是否取极值不能确定

(5)微分方程y"-y=e*+l的一个特解应具有形式(式中。力为常数)()

(A)aex+b(B)axex+b(C)aex+bx(D)axex+bx

(6)设/(x)在x=a的某个领域内有定义，则/(x庵x=a处可导的一个冲分条件是()

(A)lim/z"(a+1)-/3)］存在(B)lim,十力一十处存在

A—>+ooh用一>0h

r于(a+H)-于9一埼廿”于(d)-于(a-li)w

(C)hm-----------------------存在(D)lim八、八------^存在

…2hnoh

四、（本题满分6分）

求微分方程xyf+（l+x）y=e2，（0<x<”》前足y（l）=0的解.

五、（本题满分7分）

/（x）=sin其中/为连续函数，求/（X）.

六、（本题满分7分）

证明方程1nx=：-（Jl-cos2xdx在区间（0,+oo）内有且仅有两个不同实根.

七'（本题满分口分）

y-L1

对函数y=W，填写下表:

x

单调减少区间

单调增加区间

极值点

极值

凹（U）区间

凸（n）区间

拐点

渐近线

八、（本题满分io分）

设抛物线y=ax2+6x+c过原点，当0<x<l时，y20,又已知该抛物线与x轴及直线尤=1所围图形的面积为

|，试确定a,b,c使此图形绕x选择一周而成的旋转体的体积V最小.

1988年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试卷

一、（本题共3小题,每小题5分，满分15分）

8fV—3V

（1）求事级数〉;巴旦的收敛域.

⑵设f（x）=J[0（x）]=1-%且夕⑴20,求0（x）及其定义域.

(3)设X为曲面+)?+z?=1的外侧，计算曲面积分/=<^)j(?dydz+y3dzdx+z3dxdy.

z

二、填空题(本题共4小题,每小题3分，满分12分.把答案填在题中横线上)

⑴若于⑦=limz(l+-)2tt,则/⑺=_____________.

X—>00%

⑵设f(x)连续且£3"'=%,则/(7)=.

(3)设周期为2的周期函数，它