专题01 空间向量的运算及其应用（压轴题7大类型专项训练）高二数学压轴题专项训练系列（人教A版2019选择性必修第一册）解析版

1/10专题01空间向量的运算及其应用目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）TOC\o"1-2"\h\u典例详解 1类型一、根据空间向量的线性运算求参数 1类型二、向量共线、共面的判定及应用 4类型三、空间向量的数量积及参数、最值问题 11类型四、空间向量的模及参数、最值问题 16类型五、空间向量的夹角及参数、最值问题 22类型六、垂直、投影向量及参数问题 27类型七、证明平行、共面、垂直问题 33压轴专练 41类型一、根据空间向量的线性运算求参数一、单选题1．（24-25高二下·全国·课后作业）若，，，，若，，不共面，当时，等于（

）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】A【分析】根据向量的线性运算得出参数值.【详解】由已知得，．所以，故有．故选：A.2．（24-25高二下·江苏淮安·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为的中点，若，且，则（

）

A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解.【详解】因为点分别为的中点，所以，所以，因为，所以，所以，又，则，所以.故选：D.3．（23-24高二下·甘肃临夏·期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（

）

A．1 B．2C． D．【答案】A【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得.【详解】因为，所以，所以，又，所以，则.故选：A二、填空题4．（23-24高二上·山东威海·月考）已知是平行六面体．设是底面的中心，是侧面的对角线上的点，且，设，．

【答案】【分析】由空间向量基本定理得到，从而求出，，，得到答案.【详解】∵，，∴，又，∴，，，故.故答案为：类型二、向量共线、共面的判定及应用共线向量与共面向量1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为．2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使．3、共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使4、拓展对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）．一、单选题1．（24-25高二上·山东济南·月考），若则（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】根据空间向量的平行性质，列出方程组，解出的值，即可得答案.【详解】根据，则存在一个常数使得，所以可得，解之可得，所以.故选：C2．（23-24高二上·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（

）A．共线 B．共线C．共面 D．不共面【答案】C【分析】利用空间向量的共线定理与共面定理.【详解】若共线，则，又，则共线，与条件矛盾，故A错误；同理若共线，则，又，则共线，与条件矛盾，故B错误；根据空间向量的共面定理可知共面，即C正确，D错误.故选：C3．（24-25高二下·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（

）A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0【答案】B【分析】根据三点共线的推理即可求得，.【详解】，B，C三点共线，，，解得，又由，得，由A，B，C三点共线知，，则.故选：B4．（24-25高二上·福建福州·月考）已知，，，若，，三向量共面，则（

）A．18 B． C． D．6【答案】B【分析】利用空间向量共面的条件建立方程，求解参数即可.【详解】由题意知，即，故有，，，解得，故B正确.故选：B.5．（24-25高二下·福建龙岩·期中）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】由，列出方程求解即可.【详解】因为三点共线，所以，即，所以，解得，所以，故选：A6．（24-25高二上·广东佛山·月考）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由向量共面的性质逐项判断即可；【详解】对于A，，所以三向量共面，故A错误；对于B，，所以三向量共面，故B错误；对于C，，所以三向量共面，故C错误；对于D，假设共面，则，即，所以，不符合题意，所以假设不成立，故D正确；故选：D.7．（24-25高二上·安徽铜陵·月考）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（

）A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面【答案】C【分析】由空间向量共面定理的推论求解即可；【详解】因为，所以，即，故，因为，所以四点共面，C正确．另解：由已知得，所以共面，又存在公共点，所以四点共面，C正确．故选：C．8．（23-24高二上·青海海南·期中）已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（

）A．若，则点在棱上 B．若，则点在线段上C．若，为棱的中点 D．若，则点在线段上【答案】ABD【分析】利用空间向量的数乘运算与共线定理逐项判断即可.【详解】作出三棱柱，如图，对于A，当时，，则，所以点在棱上，故A正确；对于B，当时，，所以点在线段上，故B正确；对于C，当时，由B知，所以为棱的中点，故C错误；对于D，当时，，所以，则，即，所以点在线段上，故D正确.故选：ABD.9．（24-25高二上·广东广州·月考）已知点D在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由四点共面可知，结合基本不等式的乘“1”法即可求解.【详解】,因为四点共面，所以，注意到，从而.当且仅当时等号成立，所以的最小值为.故选：B.10．（23-24高二上·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据共线定理及空间向量线性运算可得结果.【详解】如图：连接交于H，则H为中点，连接,因为平面，平面，设，则，又平面，所以平面，故K为与平面的交点，又因为与平面交于点F，所以F与K重合，又E为的中点，G为平面的重心，因为点A，F，G三点共线，则又因为点E，F，H三点共线，则，,所以，解得，即，故.故选：C.11．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由四点共面可得，，运用空间向量的线性运算得到，代入，根据系数对应相等列方程组即可得到答案.【详解】因为四点共面，所以存在唯一的，使得.因为，所以，因为E为的中点，，所以，，所以，，，代入，得，所以，解得.故选：B．类型三、空间向量的数量积及参数、最值问题在几何体中求空间向量数量积的步骤①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.②利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积.③代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解.一、单选题1．（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知满足，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知由空间向量的坐标运算求得，根据数量积的运算律结合，即可得的值．【详解】由已知，，所以，又，所以.故选：D.2．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知正四棱锥的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意作图，根据空间向量的共面定理，求得参数，结合数量积的运算律，可得答案.【详解】由题意可作图如下：由，则，由共面，则，解得，所以.故选：B.3．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知棱长为的正四面体中，是的中点，是上一点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由数量积的定义以及运算律代入计算，即可得到结果.【详解】依题意，有，，设，则．故选:B．4．（24-25高二下·甘肃酒泉·期中）在空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，计算、的坐标，利用数量积的坐标运算化简即可.【详解】由点在直线上运动，故可设，，则，，所以，故当时，取得最小值.故选：C．5．（24-25高二下·河南新乡·期中）记棱长为2的正方体的内切球为球是球O的一条直径，P为该正方体表面上的动点，则的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据空间向量的加法运算和数量积的运算律求解.【详解】由题意可得，球O的半径为1．．当P为正方体顶点时等号成立，故选：B二、填空题6．（24-25高二下·上海浦东新·期末）设正四面体的棱长为，为的中点，为的中点，则．【答案】【分析】根据向量的线性运算和数量积的定义与运算法则求解.【详解】如图所示，

.故答案为：7．（24-25高二下·江苏南京·期中）在直三棱柱中，，点为侧面上的任意一点，则的取值范围是.【答案】【分析】根据空间向量法计算数量积结合二次函数最值计算求解.【详解】如图取中点为原点，建立空间直角坐标系，设，其中，，当，且或时，取最大值4，当，且时，取最小值2，所以的取值范围为.故答案为：.类型四、空间向量的模及参数、最值问题利用向量方法求长度或距离的基本方法（1）将相应线段用向量表示,通过向量运算来求对应向量的模.（2）因为a·a=|a|2,所以|a|=a·a,这是利用向量解决长度或距离问题的基本公式.另外,该公式还可以推广为|a±b|=(a（3）若，则，即一、单选题1．（2025·广东惠州·三模）已知空间向量满足，则（

）A． B．1 C．0 D．【答案】D【分析】应用向量线性运算的坐标表示求出坐标，再由模长的坐标公式求目标式的值.【详解】由题设，，所以.故选：D2．（24-25高二下·江苏南京·月考）在平行六面体中，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由空间向量线性运算，可得，利用数量积运算性质即可得出．【详解】，又，，，，，；故选：A3．（24-25高二下·江苏扬州·期末）在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用、、表示出，再应用空间向量数量积的运算律求的模长，从而得解．【详解】如下图所示：因为，，，，由空间向量数量积的定义可得，，同理可得，由题意可知，四边形是平行四边形，，，，故，则线段的长度为．故选：C．4．（2025·安徽安庆·模拟预测）在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（

）A． B．6 C．3 D．【答案】B【分析】设，，，将向量分别用表示，代入，利用向量数量积的运算律化简，求得，借助于二次函数的性质即可求得的最小值.【详解】

设，，，则，，由，因，，则，代入整理得，，显然，故，因，故当时，取得最大值，此时取得最小值为36，故的最小值为为6.故选：B.二、填空题5．（24-25高二下·上海·月考）已知，设点、在平面上的射影分别为、，则.【答案】【分析】由题意可得，结合空间向量的几何意义计算即可求解.【详解】因为点在平面上的射影分别为，所以，则，所以.故答案为：6．（24-25高二上·福建厦门·月考）已知向量，则.【答案】3或【分析】先利用向量的线性坐标运算求出的坐标，再求出，然后求出即可.【详解】，所以，解得或，故答案为：3或7．（24-25高二下·上海闵行·期末）、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则．【答案】【分析】根据条件，利用数量积的定义及运算，即可求解.【详解】因为，与、的夹角都是，且，，，则，，，则，所以，故答案为：.8．（24-25高二下·湖北·月考）在棱长为的正四面体中，、分别是、的中点，则．【答案】【分析】将用基底表示，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值.【详解】连接，如下图所示：由空间向量数量积的定义可得，同理可得，，所以，.故答案为：.9．（24-25高二上·上海·期末）已知、是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是.【答案】4【分析】利用坐标法，根据空间向量数量积的坐标运算，向量线性运算，不等式思想即可求解．【详解】是空间相互垂直的单位向量，设，，设，又，，又，，，其中，，，当且仅当时取得等号，的最小值是4．故答案为：4．10．（24-25高二下·江苏常州·期中）如图，四棱锥中，平面，底面是边长为1的正方形，且，点是线段上异于的点，当为钝角时，的取值范围为．【答案】【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，由向量共线定理可求得点坐标，因为为钝角，而三点不共线，故，由此可解出的取值范围.【详解】如图，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系：则，，设，，则，故，所以，则，因为为钝角，而三点不共线，故，解得，即的取值范围为.故答案为：.类型五、空间向量的夹角及参数、最值问题求两个非零向量夹角的两种途径（1）转化求角:把向量夹角转化为平面几何中的对应角,利用解三角形的知识求解.（2）利用数量积求异面直线夹角的余弦值.（3）异面直线AB,CD的夹角α∈(0,π2],而<AB→,CD→>∈[0,π],故α=<AB→,CD→一、单选题1．（24-25高二上·广东阳江·月考）若，，与的夹角为120°，则的值为（

）A．17 B． C． D．1【答案】AC【分析】根据空间向量夹角公式得到方程，求出或.【详解】由题意得，即，化简得，解得或故选：AC2．（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】应用夹角是锐角的向量关系计算即可.【详解】因为空间向量，，若与的夹角是锐角，则且不成立，所以或.故选：C.3．（24-25高二上·北京·月考）在正方体中，，，则直线与直线夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出相关图象，建立空间坐标系，利用空间向量求解直线与直线夹角的余弦值，即可求解.【详解】由题意作出相关图象，如下图，以点D为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为，

则，，，，连接，易得与相似，又由正方体性质，所以，从而可得，故，，所以，设直线与直线夹角为，则，故A正确.故选：A.4．（2025·山东枣庄·二模）已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可得，根据空间向量的数量积运算求，即可得结果.【详解】不妨设棱长为2，由题意可知：，因为，则，即，且，可得，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：C.5．（24-25高二下·安徽·月考）设空间两个单位向量与向量的夹角等于，则向量夹角的余弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由题意结合向量数量积定义和模长坐标计算公式得到和，再结合向量夹角余弦公式即可计算求解.【详解】因为空间两个单位向量与向量的夹角等于，所以，所以，结合得则向量夹角的余弦值为.故选：D.6．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知在棱长为1的正四面体中，，，则直线和夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，向量、、表示和，再利用数量积的运算律及夹角公式计算可得.【详解】设，因为，，所以，，所以，，，设向量与的夹角为，则∴直线和夹角的余弦值为．故选：D7．（24-25高二下·江苏常州·期中）已知动点是棱长为1的正方体的对角线上一点，记，当为钝角时，的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，由为钝角，可得，得到不等式，解不等式，可得出答案.【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，，，，故，，则，因为，所以，解得，所以的取值范围为.故选：C类型六、垂直、投影向量及参数问题（1）两个向量的平行与垂直平行（）垂直（）（均非零向量）（2）判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件;已知两向量平行或垂直求参数的值,则利用平行或垂直的充要条件,将位置关系转化为坐标关系,列方程(组)求解.（3）在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．一、单选题1．（24-25高二下·江苏常州·月考）向量，，，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由向量的关系列式求解，的值，再运用向量的数乘及加法的坐标表示公式，结合向量的模公式计算得出结果.【详解】由，，则，解得，，，，.故选：C.2．（24-25高二下·江苏·期中）已知向量，当时，向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求，再由投影向量的计算公式即可求解.【详解】向量，，，所以，解得，所以，，所以向量在向量上的投影向量为.故选：D.3．（23-24高二上·宁夏银川·月考）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】由空间向量在向量方向上的投影数量为，运算即可得解.【详解】由题意，，，，则空间向量在向量方向上的投影数量为.所以所求投影向量的模长为2.故选：A4．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）在空间直角坐标系中，向量（）在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为（

）A． B． C． D．与t有关【答案】A【分析】首先求出的坐标，然后根据向量夹角的余弦公式求出其夹角即可.【详解】因为向量在面上的投影向量为，则.因为在向量上的投影向量为，则.所以.所以向量的夹角为.故选：A.5．（24-25高二上·宁夏银川·月考）如图，正四棱台中，，则在上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点坐标，再利用投影向量公式求解即可.【详解】设正四棱台的高为，所以四边形，是正方形，设其中心分别为，连接，如图，以为原点建立空间直角坐标系，且作，由勾股定理得，所以，由题意得，，所以四边形是平行四边形，所以，故，得到，而，所以，，所以，由投影向量公式得在上的投影向量为，故A正确.故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是建立空间直角坐标系，然后表示出关键点的坐标，再利用投影向量公式得到所要求的投影向量即可．二、填空题6．（23-24高二上·福建福州·期末）已知为单位向量.，若，则在上的投影向量的坐标为.【答案】【分析】根据模与向量的关系求出的值，再根据在上的投影向量公式求出答案即可.【详解】，由题可得：，可得，则在上的投影向量为.故答案为：.7．（23-24高二上·广东佛山·月考）如图所示，已知平面ABC，，，则向量在向量上的投影向量是

.

【答案】【分析】由余弦定理先求，再由投影向量的概念求解【详解】在中，由余弦定理得，，而平面ABC，，故，，在中，，即，得故向量在向量上的投影向量是故答案为：8．（24-25高二下·湖南长沙·期中）如图，棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，动点满足，若，则．【答案】【分析】以为原点建系，分别计算的坐标，利用即可求出.【详解】以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，则，则，则，得，因，则，解得．故答案为：类型七、证明平行、共面、垂直问题(1)合理选择基底,使其能方便表示有关向量,并能进行运算,特别是数量积运算.(2)当直接证明线线垂直但条件不易利用时,常常考虑证明两线段所对应的向量的数量积等于零.利用向量证明垂直的一般方法是把线段转化为向量,并用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算以及数量积和垂直条件来完成位置关系的判定.(3)证明直线与直线平行一般转化为向量共线问题,利用向量共线的充要条件证明.一、解答题1．（24-25高二上·广东中山·期中）如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．证明：平面．【答案】证明见解析【分析】建立适当的空间直角坐标系，求出向量的坐标表示，利用，可证直线EF垂直于CD、，再利用线面垂直的判定定理证明．【详解】如图以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，∵E，F分别为AB，的中点，∴，，，，∵，，∴，又，平面，平面．2．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面．【答案】证明见解析【分析】取，，，由向量的线性运算得与、共面可得答案.【详解】取，，，则所以与共面，又，，所以与、共面，所以四点共面．3．（24-25高二上·陕西汉中·月考）如图，在矩形中，，，矩形所在平面外一点满足平面，、分别是、的中点，且．请建立适当的空间直角坐标系，然后证明：(1)；(2)，，共面．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用坐标法表示直线的方向向量，根据方向向量的位置关系证明直线间的位置关系；（2）利用坐标法表示各向量，结合平面向量基本定理可得证.【详解】（1）如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，由、分别是、的中点，则，，，，，，即；（2）由（1）中建立的空间直角坐标系得，，，，，，又，，，，共面．4．（24-25高二下·江苏镇江·月考）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，.用向量方法证明：平面.【答案】证明见解析【分析】根据题意，求得，，再结合向量的共面定理，得到共面，又平面，得平面.【详解】因为在上，且，所以.同理.所以，又与不共线，则共面，又平面，得平面.5．（24-25高二上·浙江温州·期末）如图，在平行六面体中，，.(1)求的长；(2)求证：直线平面.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由题意可得，再平方即可得到答案；（2）根据，，可得，，再利用线面垂直的判定即可证明.【详解】（1），可得所以；（2），，，所以，所以，所以，，所以，所以，又，平面，所以平面.6．（24-25高二上·河南商丘·期中）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，平面，，且，，.(1)求直线与直线所成角的余弦值；(2)证明：，，，四点共面.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出关键点坐标，得到方向向量，借助向量夹角余弦值公式计算即可；（2）借助向量法，运用空间向量共面的基本定理验证即可.【详解】（1）连接，因为四边形为菱形，又，所以为等边三角形，取的中点E，连接，则，所以.因为平面，平面平面，所以以A为原点，以所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系则由，可知所以于是故直线与直线所成角的余弦值为（2）因为，所以分别为中点，则连接，则，，设，由（1）知，则，则，解得，所以，故M，C，G，H四点共面.7．（24-25高二下·上海宝山·月考）如图所示，已知斜四棱柱的底面是菱形，且，且．

(1)求证：；(2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据已知条件可以构造空间向量，利用空间向量的数量积为0得到垂直关系；（2）根据线面垂直的性质知，要使平面，只需且，根据数量积的定义可知需证明，，结合向量的加减运算和数量积的定义，即可求出与的关系；【详解】（1）证明：设，，，则，底面是菱形，有，则，∴，即.（2）要使平面，只需且.欲使，则可证明，即，也就是，即，由于，显然当时，上式成立.同理可得，当时，.因此，当时，能使平面.一、单选题1．（24-25高二上·山东淄博·期末）设，则（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量的数乘及加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果.【详解】因为，∴，解得∴，∴故选：C．2．（23-24高二上·广东东莞·月考）如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（

）

A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】根据空间向量基本定理得到，求出，得到答案.【详解】正方体中，点为上底面的中心，所以，故，因为，所以，.故选：B.3．（24-25高二上·河南·期中）在四面体中，为棱的中点，为线段的中点，若，则（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.【详解】如图，，又，所以，则.故选：C4．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（

）A．16 B．-13 C．3 D．-3【答案】C【分析】根据，结合，列出方程组，求解即可.【详解】因为是不共面的空间向量且，故，则，解得，所以.故选：C.5．（24-25高二上·山东·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据共面向量定理判断．【详解】A选项，，共面；B选项，，共面；C选项，若存在，使得，则共面，与已知矛盾，所以假设错，不共面．D选项，，共面．故选：C．6．（24-25高二下·甘肃白银·期中）在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据空间向量线性运算法则得到，再由空间共面定理的推论得到方程，解得即可.【详解】因为，所以，即，又点M是平面内一点，所以，解得.故选：B7．（24-25高二上·江苏无锡·期中）设为空间的一个基底，，，，若，，共面，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据向量共面定理列方程，解方程组即可.【详解】由已知，，共面，则可设，即，即，解得，故选：D.8．（23-24高二上·贵州·开学考试）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足，，则下列说法错误的是（）A．当时，点在棱上B．当时，点在线段上C．当时，点在棱上D．当时，点在线段上【答案】B【分析】由空间向量共线定理逐一判断即可.【详解】对于，当时，，，所以，则点在棱上，故正确；对于，当时，，，即，即所以点在线段上，故错误；对于，当时，，，所以，所以，即，所以点在棱上，故正确；对于，当时，所以，，所以，即，即，所以点在线段上，故正确．故选：．9．（24-25高二下·浙江·月考）在空间四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，且.设，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量的线性运算可求得，可判断AB；，可判断C；由，可得，进而计算可得，可判断D.【详解】，故AB错误；因为，所以，所以不一定等于，故C错误；因为，所以，所以，所以，所以，所以，故D正确.故选：D.10．（24-25高二下·甘肃兰州·期中）设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，得到，，结合向量的数量积的定义与运算，即可求得的值，得到答案.【详解】如图所示，因为分别为的中点，可得，，又因为四面体为正四面体，且棱长为，可得.故选：D.11．（24-25高二上·河南许昌·月考）已知是空间的一个单位正交基底，，则空间向量在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据空间向量的投影向量公式计算即可.【详解】因为是空间的一个单位正交基底，所以，，则，，所以空间向量在方向上的投影向量为，故选：D12．（24-25高二上·福建福州·期中）已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】两个向量夹角为钝角则两个向量数量积为负数，但是两个向量反向时夹角为不是钝角，要排除.【详解】由题意可知：，∴，又∵时，即时，共线，∴，∴.故选：A13．（24-25高二上·广东阳江·月考）如图所示，在正方体中，为的中点，则向量在向量上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用空间向量的运算及投影向量的定义求解即可.【详解】设正方体的棱长为1，，，，则，，∵，，∴，∴向量在向量上的投影向量是.故选：D．14．（24-25高二上·广东广州·期中）已知为原点，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，利用坐标计算，最后求一元二次函数的最小值.【详解】因点在直线上运动，则设，于是有，因此，，于是得则当时，，此时，点故选：A15．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（

）

A．2 B．1 C． D．【答案】D【分析】用表示，再根据它们的数量积为零可求的值.【详解】由题设有，故，而，同理，，因为为直角，故，故，故，故（舍）或，故选：D.16．（24-25高二上·福建莆田·月考）在棱长为2的正四面体中，E，F分别是AD，BC的中点，是的重心，则下列结论不正确的是（

）A． B．C．在上的投影向量为 D．【答案】D【分析】A选项，证明出⊥，⊥，得到线面垂直，从而得到⊥，故；B选项，，故利用向量数量积公式得到；C选项，由B选项得，利用空间向量投影向量公式得到答案；D选项，由空间向量基本定理得到.【详解】A选项，因为是等边的中心，所以⊥，又⊥平面，平面，所以⊥，因为，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，故，A正确；B选项，，故，B正确；C选项，由B选项得，故在上的投影向量为，C正确；D选项，，D错误.故选：D17．（2025·山西·一模）如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设，由数量积的坐标表示得到，进而可求解；【详解】如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设，其中，，，，，，，当，且或时，取最大值4，当，且时，取最小值2，所以的取值范围为．故选：C18．（24-25高二上·安徽·期末）已知O为正方形ABCD的中心，E，F分别为BC，AD的中点，若将正方形ABCD沿对角线BD翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】应用向量夹角求法及数量积的运算律求.【详解】翻折后如图所示，易知，，结合已知有，，，，易知，，设正方形边长为2，所以，，所以的值为故选：D19．（24-25高二上·河南周口·月考）如图，在长方体中，，，为棱的中点，是线段上的动点，则下列式子的值为定值的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先计算的长度，得到，接着利用向量数量积的几何意义：等于在上的投影向量与的数量积，逐一分析选项ABCD即可得解.【详解】由题意得，，∴，∴.A.如图，过点作于点，对于A，由向量数量积的几何意义得，由于点是动点，所以不是定值，所以不是定值，故选项A错误；对于B，，由于点是动点，所以不是定值，所以不是定值，故选项B错误；对于C，，由于不是定值，故选项C错误；对于D，由于向量在向量上的投影向量为，所以为定值.故选：D.20．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知空间四边形的四个顶点，，，的坐标分别为，，，，若为平面上的一个动点，则当，且，的夹角取得最小值时，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意利用空间向量求直线与平面的夹角，可知，结合向量运算求模长.【详解】由题意可得：，设平面的法向量为，则，令，则，可得，设直线与平面的夹角为，则，由题意可知：，则，且，所以．故选：C.【点睛】结论点睛：直线与平面内任一条直线的夹角的最小值即为直线与平面的夹角.21．（24-25高二下·福建厦门·月考）在平行六面体中，且，，若，，则棱的最大值为（

）A． B． C．3 D．4【答案】D【分析】设，，，利用空间向量基本定理有，进而可得，利用判别式即可求解.【详解】设，，，则有，由，，所以，，所以，即，所以，整理得，所以，则，解得，则棱的最大值为4.故选：D.二、多选题22．（24-25高二上·辽宁抚顺·开学考试）已知，.若，则与的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】依题意利用空间向量平行的坐标表示，解方程即可得出结果.【详解】根据题意，有且，得，解得，；即可得，解得或；因此与的值可以是或.故选：AB23．（24-25高二上·全国·课后作业）(多选)已知向量，，，则的值为（

）A．2 B．C．3 D．【答案】BC【分析】由向量坐标，写出坐标，由向量模长公式建立等式，求得的值.【详解】∵，，∴.∵，∴.∴，解得或.故选：BC.24．（23-24高二上·全国·课后作业）在下列条件中，使M与A，B，C不一定共面的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据各项中向量之间的线性关系，应用数形结合法判断M与A，B，C是否存在不共面的情况即可.【详解】A：，如下图，，

由的关系不定，则不一定在面上，满足；B：，如下图，此时满足上式，

此时，M与A，B，C不共面，满足；C：因为，所以，所以M，A，B，C共面，不满足.D：，如下图，

此时，M与A，B，C不共面，满足；故选：ABD25．（24-25高二下·广东·月考）平行六面体的各棱长为1，且分别为，，，中点．若两两垂直，则（）A． B．C． D．四面体的体积为【答案】ACD【分析】设，，，用，，表示，，，由向量的线性运算及数量积的定义即可判断，，，由锥体的体积公式即可判断.【详解】设，，，因为平行六面体的棱长为1，所以，因为分别为，，，中点，所以，，，因为两两垂直，所以，，，因为，所以，所以，故正确；因为，所以，所以，故错误；因为，所以，所以，故正确；因为，，，平面，平面，所以平面，，，所以，所以是直角三角形，面积为，所以四面体的体积为，故正确.故选：.26．（24-25高二上·贵州黔东南·开学考试）如图，平行六面体的所有棱长均为2，，，两两所成夹角均为，点，分别在棱，上，且，，则（

）A．，，，四点共面B．在方向上的投影向量为C．D．直线与所成角的余弦值为【答案】ABD【分析】在上取点，使得，可得四边形、四边形为平行四边形，求出，可判断A；对两边平方求出，再由投影向量的定义可判断B；由的线性运算后再平方可判断C；由向量的夹角公式计算可判断D.【详解】对于A，在上取点，使得，连接，因为，所以四边形为平行四边形，可得，因为，所以四边形为平行四边形，可得，所以，可得，，，四点共面，故A正确；对于B，因为平行六面体棱长均为2，、、两两所成夹角均为，所以，则，则，，故B正确；对于C，，，则，故C不正确；对于D，故，故直线与所成角的余弦值为，D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：求向量模长解题的关键点是先对所求向量进行线性运算，再平方计算.三、填空题27．（24-25高二下·全国·课后作业）设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则．【答案】【分析】根据A，B，D三点共线可得，即可得到关于的方程组，即可解出．【详解】因为，，则，又，而A，B，D三点共线，所以存在，使得，即，所以，解得．故答案为：．28．（24-25高二上·吉林·月考）已知向量，，，当时，向量在向量上的投影向量为．（用坐标表示）【答案】【分析】先根据向量垂直得到方程，求出，再利用投影向量公式求出答案.【详解】因为，所以，所以．因为，所以在上的投影向量为．故答案为：29．（24-25高二下·甘肃张掖·期中）若，，为空间两两夹角都是120°的三个单位向量，则.【答案】3【分析】