专题05 立体几何中的新文化及创新定义问题（压轴题5大类型专项训练）高二数学压轴题专项训练系列（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）

1/10专题05立体几何中的数学文化及创新定义问题目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）TOC\o"1-2"\h\u典例详解 1类型一、立体几何中的数学文化 1类型二、离散曲率 4类型三、曼哈顿距离 7类型四、向量叉乘 8类型五、立体几何其他新定义问题 11压轴专练 13类型一、立体几何中的数学文化数学文化试题常常是以数学文化为背景命制的与核心考点相关联的题目,把数学史、数学美、数学语言、数学思维、数学学科核心索养及数学思想方法结合起来，能有效考查考生在新情境中对数学文化的鉴赏能力、对数学知识的阅读理解能力、对数学方法的迁移能力.解决此类问题主要是学会提前关键信息，抓住信息重点.一、单选题1．（24-25高二上·山东淄博·期末）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥为阳马，平面，点是边上一点，且，若，则（

）A．1 B． C．2 D．2．（2024·河北·模拟预测）1941年中国共产党在严重的困难面前，号召根据地军民，自力更生，艰苦奋斗，尤其是通过开展大生产运动，最终走出了困境．如图就是当时缠线用的线拐子，在结构简图中线段与所在直线异面垂直，分别为的中点，且，线拐子使用时将丝线从点出发，依次经过又回到点，这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”．图中，则丝线缠一圈长度为（

）A． B． C． D．3．（2025·安徽合肥·模拟预测）中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为，、、、均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．4．一个分子的极性大小通常可以用偶极矩来衡量，偶极矩是一个矢量，化学键极性向量之和即为分子的偶极矩，方向规定为从正电中心指向负电中心，用符号表示．一般而言，越大，分子极性越大．现有分子A的两个化学键极性向量可分别表示为和．分子B的三个化学键极性向量可分别表示为，和．分子C的两个化学键极性向量可分别表示为和．则下列说法错误的是（

）A．分子A的偶极矩模长最小 B．分子C的极性最大C．A，C分子的偶极矩大小之差小于2.6 D．B，C分子的偶极矩大小之差大于1.6二、多选题5．（24-25高二上·广东珠海·月考）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则（

）A． B．直线与平面所成角的余弦值为C．点到直线的距离是 D．异面直线与所成角的余弦值为三、填空题6．（24-25高二上·全国·课后作业）《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形为矩形，，若和都是正三角形，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为．

7．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个高为4的正八面体，G为的中点，则异面直线与所成角的正弦值为．

四、解答题8．（24-25高二上·辽宁·期中）《九章算术》是我国古代的一部数学经典著作，在其中一篇《商功》中有如下描述：“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.如图，在堑堵中，，，，为棱的中点，为棱的中点.(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面夹角的正弦值.类型二、离散曲率一、单选题1．（24-25高二下·湖南长沙·月考）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为，则正十二面体的总曲率为（

）A． B． C． D．二、多选题2．（2024·福建泉州·模拟预测）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）．已知正三棱台中，，棱，的中点分别为，．若该棱台顶点，的曲率之差为，则（

）A．B．平面C．直线与平面所成角的正弦值等于D．多面体顶点D的曲率的余弦值等于三、解答题3．（24-25高二上·上海·期中）刻画空间的弯曲性是几何研究中的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性.规定，多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中经过该顶点的多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体的每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，分别是、的中点，，且点的曲率为；(1)证明：平面；(2)求点B到平面的距离；(3)求二面角的大小.4．（24-25高三下·甘肃白银·月考）空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：①多面体顶点的曲率等于减去多面体在该点处所有面角之和；②多面体的总曲率等于多面体所有顶点的曲率之和，多面体各顶点的平均曲率等于它的总曲率与顶点数之商，其中多面体的面的内角叫作多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．(1)如图1，已知四棱锥的底面ABCD为菱形，，O为BD的中点，且平面ABCD，．①求该四棱锥在顶点P处的曲率的余弦值；②求二面角的平面角的正弦值；(2)瑞士数学家莱昂哈德·欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他对简单多面体进行研究后，提出了著名的欧拉定理：简单多面体的顶点数V、棱数E与面数F满足．请运用欧拉定理解决下列问题：碳60（）具有超导特性、抗化学腐蚀性、耐高压以及强磁性，是一种应用广泛的材料．它的分子结构十分稳定，形似足球，也叫足球烯，如图2所示．已知碳60（）的分子结构是一个由60个C原子构成的分子，这个多面体有60个顶点，试求碳60（）各顶点的平均曲率．类型三、曼哈顿距离一、填空题1．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）“曼哈顿距离（ManhattanDistance）”是由19世纪赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和.例如：在空间直角坐标系中，点，之间的曼哈顿距离为.现已知在空间直角坐标系中，点为坐标原点，动点满足，则动点围成的几何体的体积为.2．（24-25高三上·贵州贵阳·期末）对于两个空间向量与，我们可以定义它们之间的欧式距离为，欧式距离可以简单理解为两点之间的直线距离；根据需要，还可以定义它们之间的曼哈顿距离为，曼哈顿距离最初指的是区块建设的城市（如曼哈顿）中，两个路口间的最短行车距离，因此也被称为城市街区距离．如图，在棱长为的正方体中，；若点在上底面内（含边界）运动，且，则的取值范围是．二、解答题3．（24-25高二上·广东汕头·期末）“出租车几何或曼哈顿距离（ManhattanDistance）”是由十九世纪赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，是使用在几何度量空间的几何学用语，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和．例如：在空间直角坐标系中，点，之间的曼哈顿距离为．(1)在平面直角坐标系中，已知点O为坐标原点，记为点M与直线l上的所有点的曼哈顿距离的最小值．（i）已知点，求；（ii）已知点，直线l：，求证：．(2)在空间直角坐标系中，已知点O为坐标原点，动点P满足，求动点P围成的几何体的体积．类型四、向量叉乘一、单选题1．（24-25高二上·北京·期中）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算，规定：①为同时与垂直的向量；②三个向量构成右手系（如图1）；③．如图2，在长方体中中，，则下列说法中错误的是（

）A．B．C．D．二、解答题2．（24-25高二上·上海金山·期末）我们称为向量与的向量积，现定义空间向量与的向量积：若，，则.区别于向量的数量积的结果是标量，向量的向量积的结果仍然为向量.已知在三棱锥中，记.(1)若，求；(2)①向量是即有大小又有方向的量.试根据问题（1）的结果，猜测一个有关方向的一般结论（不必证明）.②若，求直线与平面的所成角的大小；(3)证明，并用表示三棱锥的体积.3．（24-25高二上·福建福州·期中）新定义：已知，.空间向量的叉积.若在空间直角坐标系中，直线的方向向量为，且过点，直线的方向向量为，且过点，则与方向向量的叉积为，与的混合积为.混合积性质：若，则与共面；若，则与异面.已知直线的一个方向向量为，且过点，直线的一个方向向量为，且过点.(1)用混合积性质证明：与是异面直线；(2)若点，求的长的最小值；(3)若为坐标原点，直线，求的坐标.4．（2024高二上·全国·专题练习）已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为上一点，.(1)求的长；(2)若为的中点，求二面角的余弦值；(3)若为上一点，且满足，求.5．（24-25高二上·重庆九龙坡·期中）行列式是解决复杂代数运算的算法，二阶行列式其运算法则如下：.若，则称为空间向量与的向量积，其中，，为单位正交基底.以为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，已知是空间直角坐标系中异于的不同两点，且三点不共线.(1)①若，，求；②求证：是平面的一个法向量；且.(2)①记的面积为，证明：.②三棱锥，其中，，，求三棱锥的体积.（用，，表示）(3)如图，两点分别是三角形的两条边上的动点（不含端点），其中的中点为，其中的中点为.求证：三角形面积是四边形面积的四分之一.类型五、立体几何其他新定义问题面对新情景、新定义，首先要深入理解并分析这些新元素，将其与已知的立体几何知识相结合。明确解题目标后，灵活运用基本定理和性质，如平行、垂直的判定与性质，以及空间角、距离的计算公式。在解题过程中，合理构造辅助线和面，以揭示隐藏的空间关系，简化问题。对于复杂问题，可尝试建立空间直角坐标系，利用向量法进行计算和证明。同时，要善于将空间问题平面化，通过截面、投影等方式转化求解对象。最后，解题后要进行验证和反思，确保结论的正确性，并总结所使用的方法和技巧，以便在未来遇到类似问题时能够迅速应对.一、单选题1．（24-25高二上·安徽·期末）已知向量，，是空间中的一个单位正交基底.规定向量积的行列式计算：，其中行列式计算表示为，所得向量垂直于向量，所确定的平面.利用向量积可以计算由两个不共线向量确定的平面的法向量.若向量，，则平面的法向量为（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·湖北·期中）在《线性代数》中定义：对于一组向量，，存在一组不全为0的实数，，使得：成立，那么则称，，线性相关，只有当时，才能使成立，那么就称，，线性无关.若为一组不共面的空间向量，则以下向量组线性无关的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，3．（24-25高二上·北京通州·期中）如图，空间直角坐标系中，点，，定义.正方体的棱长为3，E为棱的中点，平面内两个动点P，M，分别满足，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题4．已知单位向量，，两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的为（

）A．已知，，则B．已知，，其中，则当且仅当时，向量的夹角取得最小值C．已知，，则D．已知，，，则三棱锥的表面积三、解答题5．（24-25高二上·浙江·期中）在空间直角坐标系中，任何一个平面都能用方程表示.（其中，，，且），且空间向量为该平面的一个法向量.有四个平面，，，(1)若平面与平面互相垂直，求实数的值；(2)请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为；(3)若四个平面，，，围成的四面体的外接球体积为，求该四面体的体积.6．（24-25高二上·江西上饶·期末）在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中．(1)已知直线的点方向式方程为，平面的一般式方程为，求直线与平面所成角的余弦值；(2)已知平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，若，证明：；(3)已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面夹角的余弦值．一、单选题1．（24-25高二上·广东东莞·月考）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M，N分别是的中点，是的中点，若，则（

）

A． B． C． D．2．（24-25高二上·全国·课后作业）沼气是一种混合气体，其主要成分是甲烷，其分子式为，且分子结构是正四面体结构，其结构简式如图所示．记上顶点为，底面三个顶点分别为，设，则（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上·河南驻马店·期末）青铜豆最早见于商代晚期，盛行于春秋战国时期，它不仅可以作为盛放食物的铜器.还是一件十分重要的礼器，图①为河南出土的战国青铜器—方豆，豆盘以上是长方体容器和正四棱台的斗形盖.图②是与主体结构相似的几何体，其中，，，点为上一点，且，点为的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（

）

A． B． C． D．4．（2025·云南曲靖·二模）公元前300年，几何之父欧几里得在《几何原本》里证明了世界上只存在正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体这5种正多面体.公元前200年，阿基米德把这5种正多面体进行截角操作（即切掉每个顶点），发现了5种对称的多面体，这些多面体的面仍然是正多边形，但各个面却不完全相同，如图所示，现代足球就是基于截角正二十面体的设计，则图2所示的足球截面体的棱数为（

）A．60 B．90 C．120 D．1805．（24-25高二上·湖南郴州·开学考试）已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（

）

A．B．当时，C．若，，则D．平行六面体的体积6．（23-24高二下·广东揭阳·期末）已知为球面上四点，分别是的中点，以为直径的球称为的“伴随球”.若三棱锥的四个顶点均在表面积为的球面上，它的两条棱的长度分别为8和6，则的伴随球的体积的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题7．（23-24高二上·福建三明·期中）很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（

）A．平面B．若是棱的中点，则与平面平行C．点到平面的距离为D．该半正多面体的体积为8．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，，点的曲率为分别为AC，的中点，则（

）A．直线BF与直线所成角余弦值为B．在三棱柱中，点的曲率为C．过BC作三棱柱的截面，使得截面与平面平行，则截面面积为D．当点在线段AB上运动时，的最小值为三、填空题9．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为.根据曲率的定义，正方体在每个顶点的曲率为，四棱锥的总曲率为.10．（24-25高二上·浙江·期中）中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为，则图中平面与平面所成角的余弦值为.11．（23-24高二下·江苏扬州·月考）《九章算术》第五卷中涉及一种几何体——羡除，它下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．该羡除是一个多面体，如图，四边形，均为等腰梯形，，面面，梯形、的高分别为3，7，且，，，则，异面直线所成角的余弦值是.12．（24-25高二上·贵州黔西·月考）阅读材料：数轴上，方程（）可以表示数轴上的点；平面直角坐标系中，方程（、不同时为0）可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系中，方程（、、不同时为0）可以表示坐标空间内的平面.过点且一个法向量为的平面的方程可表示为.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为.四、解答题13．（23-24高二上·福建泉州·期末）宋元时期，泉州作为海洋商贸中心，成为世界第一大港.作为海上丝绸之路的起点，泉州的海外贸易极其频繁，但海上时常风浪巨大，使用原始船出行的风险也大.因此，当时的设计师为了海外贸易的正常进行，便在船只设计中才用了楔形零件结构，由此海上出行无需再惧怕船体崩溃，这也为海上贸易的发达作出了巨大贡献，而其智慧至今仍熠熠生辉.如图是从棱长为3的正方体木块中截出的一个楔形体ABCDMNPQ，将正方体的上底面平均分成九个小正方形，其中是中间的小正方形的顶点.(1)求楔形体的表面积；(2)求平面APQ与平面的夹角的余弦值.14．（24-25高二上·山东济南·月考）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，在阳马中，侧棱平面，且，E为BC的中点，F为DP上的点，．(1)当时，证明：平面．(2)判断是否存在，使得EF与平面PCD所成角的正弦值为，若存在，求出λ，若不存在，请说明理由．15．“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的．如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距